新高一2022年暑假講義第13講 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（解析版）

1、第13講：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解等式的性質(zhì).2.掌握不等式的基本性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題【基礎(chǔ)知識】知識點(diǎn)一：等式的基本性質(zhì)1如果ab，那么ba.2如果ab，bc，那么ac.3如果ab，那么acbc.4如果ab，那么acbc.5如果ab，c0，那么eq f(a,c)eq f(b,c).知識點(diǎn)二：不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性abbb，bcac不可逆3可加性abacbc可逆4可乘性ab，c0acbcab，c0acb，cdacbd同向6同向同正可乘性ab0，cd0acbd同向7可乘方性ab0anbn(nN，n2)同正【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：不等式性質(zhì)判斷真假例1對

2、于任意實(shí)數(shù)，下列命題正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則C【詳解】A：若，則，故A錯誤；B：若，則，則，故B錯誤；C：因?yàn)椋瑒t，兩邊同除以，得，故C正確；D：若，則，故D錯誤.故選：C.變式訓(xùn)練1：若，則下列不等關(guān)系一定正確的是（ ）ABCDB【詳解】，所以故選：B變式訓(xùn)練2：已知，則下列不等式一定成立的是（ ）ABCDD【詳解】 故A錯誤; 故B錯誤; 故C錯誤; 故D正確.故選: D變式訓(xùn)練3：下列結(jié)論正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則C【詳解】對于A：當(dāng)時，若取，則有.故A不正確；對于B：當(dāng)時，取時，有.故B不正確；對于C：當(dāng)，兩邊同乘以，則.故C正確；對于D：當(dāng)，

3、取時，有.故D不正確.故選：C.考點(diǎn)二：利用不等式性質(zhì)證明例2已知，求證：（1）；（2）.（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】證明：（1）且，即；（2），又，.變式訓(xùn)練1：若.求證.證明見解析.【詳解】由，得，故得，即，又因?yàn)?，在不等式兩邊同時乘以得：，不等式得證.變式訓(xùn)練2：已知，求證：見解析【詳解】因?yàn)?，故，要證，即證，即證，即證：，因?yàn)?，故，故，因?yàn)?，故，故，故原不等式成?變式訓(xùn)練3：已知，.證明：（1）；（2）.（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】解：證明：（1），又，故；（2）由，得，又，即，又，.考點(diǎn)三：不等式求解范圍（一）例3已知，求的范圍.【詳解】解：，又，.

4、變式訓(xùn)練1：已知，則的取值范圍是_【分析】由條件可得，然后可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以故變式?xùn)練2：若，則的取值范圍是_.【詳解】因?yàn)椋?，且，所以，?故答案為.變式訓(xùn)練3：若角滿足，則的取值范圍是_，的取值范圍是_；【詳解】由，則，且，所以，所以的取值范圍是，的取值范圍是.故；考點(diǎn)四：不等式求解范圍（二）例4已知，,則的范圍_的范圍_.；【詳解】由，可得，又由，所以，即，所以的范圍；由，可得，所以，又由，所以，即，所以的范圍.變式訓(xùn)練1：已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是_.【詳解】解：令，解得：，又，即的最大值是.故答案為.變式訓(xùn)練2：已知，則的取值范圍是_，的取值范圍是_；【詳解】，即

5、，又，；又，又，.綜上所述：的取值范圍為；的取值范圍為.故；.變式訓(xùn)練3：已知，則的范圍是_，的范圍是_；【詳解】，兩個不等式相加可得，解得，設(shè)，所以，解得，因?yàn)?，由不等式的基本性質(zhì)可得.故；.【過關(guān)檢測】1、若，則下列不等式中，不能成立的是（ ）ABCDB【詳解】若，則，即，A成立；，即，B不成立；，C成立；，D成立；故選：B2、如果那么下列說法正確的是（ ）ABCDD【詳解】因?yàn)?，不等式兩邊同時減去得，D正確，若，則AB錯誤，若，C錯誤故選：D3、已知，且，那么下列各式中正確的是（ ）ABCDD【詳解】對于A選項(xiàng)：舉反例，則，則A不成立；對于B選項(xiàng)：舉反例，則，所以，則B不成立；對于C選項(xiàng)

6、：舉反例，則，所以，則C不成立；對于D選項(xiàng)：，又，即.則D成立故選：D.4、已知，滿足，則（ ）ABCDC【詳解】因，則a0，b0，A不正確；，則，B不正確；又，即，則，C正確；由得，D不正確.故選：C5、下列命題中，正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則C【詳解】對于A，當(dāng)，時，滿足，但不滿足，故A不正確；對于B，當(dāng)時，由可得，故B不正確；對于C，若，則，即，故C正確；對于D，當(dāng)，時，滿足，但是，故D不正確.故選：C6、若為實(shí)數(shù)，且，則下列命題正確的是（ ）ABCDD【詳解】對于A，當(dāng)時，A錯誤；對于B，當(dāng)，時，此時，B錯誤；對于C，C錯誤；對于D，D正確.故選：D.7、下列說法不正

7、確的是（ ）A若都是正數(shù)，則B若，則C若都是正數(shù)，且則D若，則A【詳解】A中，由，當(dāng)時，故A錯；B中，由 所以則，故B正確；C中，由，則所以得；由 所以即，所以，C正確；D中，由所以，則，D正確故選：A8、對于任意實(shí)數(shù)，有下列結(jié)論：若，則；若，則；若，則；若，則其中正確的是（ ）ABCDC【詳解】對于：若，則；故錯誤；對于：若，則；故錯誤；對于：若，則 ，所以，把乘以，得.故正確；對于：若，取a=1，b=-1，此時；故錯誤.故選：C9、若，則的取值范圍是（ ）ABCDC【詳解】因?yàn)?，所以，即的取值范圍是故選：C10、角滿足，則的取值范圍是（ ）ABCDA【詳解】因?yàn)?，則， 所以，即，又，所以.

8、故選：A.11、設(shè)，滿足，則的取值范圍是（ ）ABCDA【詳解】，滿足，故選：A12、已知，則的取值范圍是（ ）ABCDA【詳解】因?yàn)椋傻?，所以，即；故選：A.13、已知實(shí)數(shù)滿足則（ ）A的取值范圍為B的取值范圍為C的取值范圍為D的取值范圍為ABD【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，則，故A正確；因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，所以，故B正確；因?yàn)?，所以，則，故C錯誤；因?yàn)?，所以，則，故D正確.故選：ABD.14、已知，則下列正確的是（ ）ABCDAB【詳解】因?yàn)?，所以，則，即，則；故AB正確，CD錯.故選：AB.15、已知實(shí)數(shù)滿足，則（ ）ABCDAC【詳解】因?yàn)椋?，A正確；因?yàn)椋?，解?/p>

9、，B錯誤；因?yàn)?，所以，C正確；，所以， D錯誤.故選：AC.16、已知，則的取值范圍是_.；【詳解】解：，因?yàn)?，所以，所以，故答案? 17、已知，則的取值范圍是_.【詳解】解：令，則，解得，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以的取值范圍為，?8、已知，則的取值范圍是_【詳解】設(shè)，因此得：，因?yàn)?，所以，因此，所?故 19、若，則的范圍是_，的范圍是_；【詳解】因?yàn)?，所以，由可得，所以，由可得，因?yàn)?，所以，所以的范圍是，的范圍是，故?20、設(shè)，則的取值范圍是_（取值范圍寫成區(qū)間形式）【詳解】解：由，得，所以，所以，即，因?yàn)椋?，即，所以的取值范圍是，?1、已知，滿足.（1）求證：；

10、（2）現(xiàn)推廣：把的分子改為另一個大于1的正整數(shù)，使對任意恒成立，試寫出一個，并證明之.（1）證明見解析；（2），證明見解析.【詳解】（1）由于，所以，要證，只需證明.左邊（2）要使，只需，左邊，所以只需即可，即，所以可以取，3代入上面過程即可.22、（1）已知，求證：；（2）已知，求證：；（3）已知，求證.（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【詳解】證明：（1）因?yàn)?，所?則.（2）因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以，即，因?（3）因?yàn)?，根?jù)（2）的結(jié)論，得.又因?yàn)?，則 ，即.23、若，,（1）求證：；（2）求證：；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一個代數(shù)式，滿足所求式？若能，請直接寫出該代數(shù)式；若不能，請說明理由.（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）能，.【詳解】（1）因?yàn)?，且，所以，所?（2）因?yàn)椋杂忠驗(yàn)?，所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得所以所以， 因?yàn)?，所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得所以，所以由兩邊都是正?shù)的同向不等式的相乘可得.（3）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所?所以在（2）中的不等式中，能找到一個代數(shù)式滿足題意.24、設(shè)，求，的