第9講MATLAB符號計算

1、第9章 MATLAB符號計算9.1 符號對象9.2 符號微積分9.3 級 數(shù)9.4 符號方程求解19.1 符號對象9.1.1 建立符號對象1建立符號變量和符號常量 MATLAB提供了兩個建立符號對象的函數(shù)：sym和syms，兩個函數(shù)的用法不同。(1) sym函數(shù) sym函數(shù)用來建立單個符號量，一般調(diào)用格式為：符號量名=sym(符號字符串) 該函數(shù)可以建立一個符號量，符號字符串可以是常量、變量、函數(shù)或表達式。 例如， a=sym(a),用戶可以使用變量a進行各種運算.2 應(yīng)用sym函數(shù)還可以定義符號常量，使用符號常量進行代數(shù)運算時和數(shù)值常量進行的運算不同。下面的命令用于比較符號常量與數(shù)值常量在代

2、數(shù)運算時的差別。 pi1=sym(pi);k1=sym(8); pi2=pi;k2=8; sin(pi1/3) ans = 1/2*3(1/2) sin(pi2/3) ans = sqrt(k1) sqrt(k2) 0.8660 ( 2*2(1/2) 2.8284 )3(2) syms函數(shù) 函數(shù)sym一次只能定義一個符號變量，使用不方便。MATLAB提供了另一個函數(shù) syms，一次可以定義多個符號變量。syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為： syms 符號變量名1 符號變量名2 符號變量名n 用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符串分界符()，變量間用空格而不要用逗號分隔。42建立符號表達式 含

3、有符號對象的表達式稱為符號表達式。建立符號表達式有以下3種方法：(1)利用單引號來生成符號表達式。如：y=1/sqrt(2*x) (2)用sym函數(shù)建立符號表達式。如：U=sym(3*x2-5*y+2*x*y+6 )(3) 使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達式。如：syms x y; V=3*x2-5*y+2*x*y+659.1.2 符號表達式運算1符號表達式的四則運算 符號表達式的加、減、乘、除運算可分別由函數(shù)symadd、symsub、symmul和symdiv來實現(xiàn)，冪運算可以由sympow來實現(xiàn)。如， f=2*x2+3*x-5 ; g=x2-x+7 ; symadd(f,g) ans=

4、 3*x2+2*x+2 symmul(f,g) ans= (2*x2+3*x-5) *(x2-x+7)62符號表達式的提取分子和分母運算 如果符號表達式是一個有理分式或可以展開為有理分式，可利用numden函數(shù)來提取符號表達式中的分子或分母。其一般調(diào)用格式為：n,d=numden(s) 該函數(shù)提取符號表達式s的分子和分母，分別將它們存放在n與d中。 (numerator, denominator)73符號表達式的因式分解與展開 MATLAB提供了符號表達式的因式分解與展開的函數(shù)，函數(shù)的調(diào)用格式為：factor(s)：對符號表達式s分解因式。expand(s)：對符號表達式s進行展開。colle

5、ct(s)：對符號表達式s合并同類項。collect(s,v)：對符號表達式s按變量v合并同類項。84符號表達式的化簡 MATLAB提供的對符號表達式化簡的函數(shù)有：simplify(s)：應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對s進行化簡。simple(s)：調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達 式進行綜合化簡，并顯示化簡過程。95符號表達式與數(shù)值表達式之間的轉(zhuǎn)換 利用函數(shù)sym可以將數(shù)值表達式變換成它的符號表達式。如， sym(3.14) ans= 157/50 函數(shù)numeric或eval可以將符號表達式變換成數(shù)值表達式。如， numeric(1+sqrt(5)/2) ans= 1.6180109.1.3 符號表達式中

6、變量的確定 MATLAB中的符號可以表示符號變量和符號常量。findsym可以幫助用戶查找一個符號表達式中的的符號變量。該函數(shù)的調(diào)用格式為：findsym(s,n) 函數(shù)返回符號表達式s中的n個符號變量，若沒有指定n，則返回s中的全部符號變量。119.1.4 符號矩陣 符號矩陣也是一種符號表達式，所以前面介紹的符號表達式運算都可以在矩陣意義下進行。但應(yīng)注意這些函數(shù)作用于符號矩陣時，是分別作用于矩陣的每一個元素。 由于符號矩陣是一個矩陣，所以符號矩陣還能進行有關(guān)矩陣的運算。MATLAB還有一些專用于符號矩陣的函數(shù)，這些函數(shù)作用于單個的數(shù)據(jù)無意義。例如transpose(s)： 返回s矩陣的轉(zhuǎn)置矩

7、陣。determ(s)：返回s矩陣的行列式值。其實，曾介紹過的許多應(yīng)用于數(shù)值矩陣的函數(shù)，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接應(yīng)用于符號矩陣。129.2 符號微積分9.2.1 符號極限limit函數(shù)的調(diào)用格式為：(1) limit(f,x,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。即計算當變量x趨近于常數(shù)a時，f(x)函數(shù)的極限值。(2) limit(f,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。由于沒有指定符號函數(shù)f(x)的自變量，使用該格式時，符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f) 確定的默認自變量，即變量x趨近于a。13(3) limit(f)：求符號函數(shù)

8、f(x)的極限值。符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認變量；沒有指定變量的目標值時，系統(tǒng)默認變量趨近于0，即a=0的情況。(4) limit(f,x,a,right)：求符號函數(shù)f的極限值。right表示變量x從右邊趨近于a。(5) limit(f,x,a,left)：求符號函數(shù)f的極限值。left表示變量x從左邊趨近于a。14例9-1 求下列極限：(1) (2)(1) syms a m x; f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a); limit(f,x,a) ans = (1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp

9、(tan(a)+1)/a(2) syms x t; limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf) ans = exp(6*t)15(3) (4)(3) syms x; f=x*(sqrt(x2+1)-x); limit(f,x,inf,left) ans = 1/2(4) syms x; f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4); limit(f,x,2,right) ans = -1/2169.2.2 符號導(dǎo)數(shù) diff函數(shù)用于對符號表達式求導(dǎo)數(shù)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：diff(s)：沒有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù)，則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默

10、認變量對符號表達式s求一階導(dǎo)數(shù)。diff(s,v)：以v為自變量，對符號表達式s求一階導(dǎo)數(shù)。diff(s,n)：按findsym函數(shù)指示的默認變量對符號表達式s求n階導(dǎo)數(shù)，n為正整數(shù)。diff(s,v,n)：以v為自變量，對符號表達式s求n階導(dǎo)數(shù)。17例9-2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1) y= ，求y (2) y= ，求y ，y (3) ,求y ,y (4) z= ，求zx ，zy syms a b t x y z; f1=sqrt(1+exp(x);diff(f1) %求(1) f2=x*cos(x);diff(f2,x,2) %求(2)中y diff(f2,x,3) %求(2)中y g1=a

11、*cos(t); g2=b*sin(t); diff(g1)/ diff(g2) %求(3)中y , 下行求y (diff(g1)*diff(g2,2)- diff(g1,2)*diff(g2)/ (diff(g1)3 f4=x*exp(y)/y2; diff(f4,x) %求(4)diff(f4,y) %求(4)189.2.3 符號積分符號積分由函數(shù)int來實現(xiàn)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：int(s)：沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按 findsym函數(shù)指示的默認變量對被積函數(shù)或符 號表達式s求不定積分。int(s,v)：以v為自變量，對被積函數(shù)或符號表達式s求 不定積分。int(s,v,

12、a,b)：求定積分運算。a,b分別表示定積分的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分。a和b可以是兩個具體的數(shù)，也可以是一個符號表達式，還可以是無窮(inf)。當函數(shù)f關(guān)于變量x在閉區(qū)間a,b上可積時，函數(shù)返回一個定積分結(jié)果。當a,b中有一個是inf時，函數(shù)返回一個廣義積分。當a,b中有一個符號表達式時，函數(shù)返回一個符號函數(shù)。19例9-3 求下列積分。 (2) (4)命令如下： x=sym(x);t=sym(t); int(abs(1-x),1,2) %求(1) 1/2 f=1/(1+x2); int(f,-inf,inf) %求(2) pi f=x3/(x-1)10; I=int

13、(f,2,3) %求(3) 138535/129024 int(4*x/t,t,2,sin(x) %求(4) 4*log(sin(x)*x-4*log(2)*x209.2.4 積分變換 常見的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換和Z變換。1傅立葉(Fourier)變換傅立葉變換:逆變換： 在MATLAB中，進行傅立葉變換的函數(shù)是：fourier(f,x,t)： 求函數(shù)f(x)的傅立葉像函數(shù)F(t)。ifourier(F,t,x)：求傅立葉像函數(shù)F(t)的原函數(shù) f(x)。212拉普拉斯(Laplace)變換拉普拉斯變換：逆變換：在MATLAB中，進行拉普拉斯變換的函數(shù)是：laplace(fx,x

14、,t)： 求函數(shù)f(x)的拉普拉斯像函數(shù) F(t)。ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函數(shù)F(t)的原 函數(shù)f(x)。223Z變換當函數(shù)f(x)呈現(xiàn)為一個離散的數(shù)列f(n)時，對數(shù)列f(n)進行z變換：逆變換：對數(shù)列f(n)進行z變換的MATLAB函數(shù)是：ztrans(fn,n,z)：求f(n)的Z變換像函數(shù)F(z)。iztrans(Fz,z,n)：求F(z)的z變換原函數(shù)f(n)。239.3 級 數(shù)9.3.1 級數(shù)符號求和求無窮級數(shù)的和需要符號表達式求和函數(shù)symsum，其調(diào)用格式為：symsum(s,v,n,m)其中s表示一個級數(shù)的通項，是一個符號表達式。v是求和變量，v省略時

15、使用系統(tǒng)的默認變量。n和m是求和的開始項和末項。例9-4 求下列級數(shù)之和。(1) (2)249.3.2 函數(shù)的泰勒級數(shù) MATLAB提供了taylor函數(shù)將函數(shù)展開為冪級數(shù)，其調(diào)用格式為：taylor(f,v,n,a) 該函數(shù)將函數(shù)f按變量v展開為泰勒級數(shù)，展開到第n項(即變量v的n-1次冪)為止，n的缺省值為6。v的缺省值與diff函數(shù)相同。參數(shù)a指定將函數(shù)f在自變量v=a處展開，a的缺省值是0。259.4 符號方程求解9.4.1 符號代數(shù)方程求解 在MATLAB中，求解用符號表達式表示的代數(shù)方程可由函數(shù)solve實現(xiàn)，其調(diào)用格式為：solve(s)：求解符號表達式s的代數(shù)方程，求解 變量為

16、默認變量。solve(s,v)：求解符號表達式s的代數(shù)方程，求 解變量為v。solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)： 求解符號表達式s1,s2,sn組成的代數(shù)方程組，求解變量分別v1,v2,vn。26例9-5 解下列方程和方程組。(1) (2)(3)命令如下： x=solve(2*sin(3*x-pi/4)=1) %解方程(1) x=solve(x+x*exp(x)-10, x) %解方程(2) x y=solve(x+y-8, x(1/3)+y(1/3)-2, x,y) %解方程組(3)279.4.2 符號常微分方程求解 在MATLAB中，用大寫字母D表示導(dǎo)數(shù)。例如，Dy表示y，D2y表示y，Dy(0)=5表示y(0)=5。D3y+