專題二十七平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用

1、專題二十七 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用【高頻考點解讀】1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系2.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算3.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系4.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題【熱點題型】題型一 平面向量的數(shù)量積例1、已知向量a，b，滿足|a|3，|b|2eq r(3)，且a(ab)，則a與b的夾角為()A.eq f(,2) B.eq f(2,3) C.eq f(3,4) D.eq f(5,6)【提分秘籍】 1兩向量的夾

2、角是指當兩向量的起點相同時，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點不同，應通過移動，使其起點相同，再觀察夾角2兩向量的夾角為銳角cos 0且cos 1.3向量的投影是一個實數(shù)，其值可正，可負，可為零【舉一反三】已知向量a，b的夾角為120，且|a|1，|b|2，則向量ab在向量ab方向上的投影是_【熱點題型】題型二 數(shù)量積的性質(zhì)及運算律例2、如圖，在平面四邊形ABCD中，若AB2，CD1，則(eq o(AC,sup10()eq o(DB,sup10()(eq o(AB,sup10()eq o(CD,sup10()()A5 B0C3 D5【提分秘籍】 1在實數(shù)運算中，若a，bR，則|ab|a|b

3、|，但對于向量a，b卻有|ab|a|b|，當且僅當ab時等號成立這是因為|ab|a|b|cos |，而|cos |1.2實數(shù)運算滿足消去律：若bcca，c0，則有ba.在向量數(shù)量積的運算中，若abac(a0)，則不一定得到bc.3實數(shù)運算滿足乘法結(jié)合律，但向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結(jié)合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量，而a(bc)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線【熱點題型】題型三 平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論例3、已知向量a和b的夾角為120，|a|1，|b|3，則|ab|()A.eq r(13) B2eq r(3) C.eq r(15) D

4、4解析：|ab|2(ab)(ab)|a|2|b|22ab19213eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)13，故|ab|eq r(13).答案：A【提分秘籍】在實數(shù)運算中，若ab0，則a與b中至少有一個為0，而在向量數(shù)量積的運算中，不能從ab0推出a0或b0成立實際上由ab0可推出以下四種結(jié)論：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.【舉一反三】若向量a，b滿足|a|1，|b|2，且a(ab)，則a與b的夾角為()A.eq f(,2) B.eq f(2,3) C.eq f(3,4) D.eq f(5,6)【熱點題型】題型四 平面向量的夾角與模例4、(1)平面向量

5、a與b的夾角為60， |a|2，|b|1，則|a2b|()A.eq r(3) B2eq r(3) C4 D10(2)(2013年高考江西卷)設e1，e2為單位向量，且e1，e2的夾角為eq f(,3)，若ae13e2，b2e1，則向量a在b方向上的投影為_【提分秘籍】 1當ab是非坐標形式時，求a與b的夾角，需求得ab及|a|，|b|或得出它們的關(guān)系2利用數(shù)量積求長度問題是數(shù)量積的重要應用，要掌握此類問題的處理方法：(1)|a|2a2aa；(2)|ab|2(ab)2a22abb2；(3)若a(x，y)則|a| eq r(x2y2).【舉一反三】已知a，b都是單位向量，且|ab|1，則a，b的夾

6、角的取值范圍是_解析：|ab|1，(ab)21，即a2b22ab1，a，b都是單位向量，112cos 1，cos eq f(1,2)，0，eq blcrc(avs4alco1(0，f(2,3).答案：eq blcrc(avs4alco1(0，f(2,3)【熱點題型】題型五 數(shù)量積研究垂直問題及應用例5、(2013年高考江蘇卷)已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0.(1)若|ab| eq r(2)，求證：ab；(2)設c(0,1)，若abc，求，的值【提分秘籍】1利用數(shù)量積研究垂直時注意給出的形式：(1)可用定義式ab0|a|b|cos 0；(2)可用坐標式ab0 x1

7、x2y1y20.2在解決與平面幾何有關(guān)的數(shù)量積問題時，充分利用向量的線性運算，將所求向量表示為共同的基底向量，再利用數(shù)量積進行求解【舉一反三】已知銳角三角形ABC中的內(nèi)角為A、B、C的對邊分別為a、b、c，定義向量m(2sin B，eq r(3)，neq blc(rc)(avs4alco1(2cos2f(B,2)1，cos 2B)，且mn.(1)求f(x)sin 2xcos Bcos 2xsin B的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)如果b4，求ABC面積的最大值解析：mn，mn2sin Bcos Beq r(3)cos 2Bsin 2Beq r(3)cos 2B2sineq blc(rc)(avs4alc

8、o1(2Bf(,3)0，2Beq f(,3)k(kZ)，Beq f(k,2)eq f(,6)(kZ)，0Beq f(,2)，Beq f(,3).【熱點題型】題型六 函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)量積中的應用例6、(2013年高考浙江卷)設e1，e2為單位向量，非零向量bx e1y e2，x，yR.若e1，e2的夾角為eq f(,6)，則eq f(|x|,b)的最大值等于_【提分秘籍】向量夾角與模的范圍問題是近幾年來高考命題的熱點內(nèi)容，它不僅考查了數(shù)量積的應用，同時還考查了學生綜合解題能力，常涉及函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想模的最值問題多采用將其表示為某一變量或某兩個變量的函數(shù)，利用函數(shù)值域的方法確定最值

9、體現(xiàn)了函數(shù)思想的運用，多與二次函數(shù)與基本不等式相聯(lián)系【舉一反三】若平面向量，滿足|1，|1，且以向量，為鄰邊的平行四邊形的面積為eq f(1,2)，則與的夾角的取值范圍是_ 【答案】eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(5,6)【高考風向標】 1（2014北京卷）已知向量a，b滿足|a|1，b(2，1)，且ab0(R)，則|_【答案】eq r(5)【解析】ab0，ab，|eq f(|b|,|a|)eq f(r(5),1)eq r(5).2（2014湖北卷）設向量a(3，3)，b(1，1)若(ab)(ab)，則實數(shù)_ 3（2014江西卷）已知單位向量e1與e2的夾角為，且cos

10、eq f(1,3)，向量a3e12e2與b3e1e2的夾角為，則cos _ 4（2014全國卷）若向量a，b滿足：1，(ab)a，(b)b，則|()A2 B.eq r(2) C1 D.eq f(r(2),2)【答案】B【解析】因為(ab)a，所以(ab)0，即2因為(b)b，所以(b)0，即b20，與20聯(lián)立，可得20，所以eq r(2)eq r(2).5（2014新課標全國卷 設向量a，b滿足|ab|eq r(10)，|ab|eq r(6)，則()A1 B2 C3 D5【答案】A【解析】由已知得|ab|210，|ab|26，兩式相減，得4ab4，所以ab1.6（2014山東卷）在ABC中，已

11、知eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()tan A，當Aeq f(,6)時，ABC的面積為_ 7（2014天津卷）已知菱形ABCD的邊長為2，BAD120，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BEBC，DFDC.若eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()1，eq o(CE,sup6()eq o(CF,sup6()eq f(2,3)，則()A.eq f(1,2) B.eq f(2,3) C.eq f(5,6) D.eq f(7,12)得eq f(5,6).8(2013年高考湖北卷)已知點A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，則向量eq o(AB,su

12、p10()在eq o(CD,sup10()方向上的投影為()A.eq f(3r(2),2) B.eq f(3r(15),2) Ceq f(3r(2),2) Deq f(3r(15),2) 9(2013年高考湖南卷)已知a，b是單位向量，ab0.若向量c滿足|cab|1，則|c|的取值范圍是()Aeq r(2)1，eq r(2)1 B.eq blcrc(avs4alco1(r(2)1，r(2)2)C1，eq r(2)1 D1，eq r(2)2 10(2013年高考遼寧卷)設向量a(eq r(3)sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，xeq blcrc(avs4alco1(0，f

13、(,2).(1)若|a|b|，求x的值；(2)設函數(shù)f(x)ab，求f(x)的最大值 11 (2013年高考陜西卷)已知向量aeq blc(rc)(avs4alco1(cos x，f(1,2)，b (eq r(3)sin x，cos 2x)，xR，設函數(shù)f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)上的最大值和最小值解析：f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(cos x，f(1,2)(eq r(3)sin x，cos 2x)eq r(3)cos xsin xeq f(1,2)cos 2xeq f(r(3),2)si

14、n 2xeq f(1,2)cos 2xcoseq f(,6)sin 2xsineq f(,6)cos 2xsineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6).【隨堂鞏固】 1若向量a，b滿足|a|b|ab|1，則ab的值為()Aeq f(1,2)B.eq f(1,2)C1D1解析：依題意得(ab)2a2b22ab22ab1，所以abeq f(1,2)，選A.答案：A2已知a，b滿足|a|1，|b|6，a(ba)2，則a與b的夾角為()A.eq f(,6) B.eq f(,4) C.eq f(,3) D.eq f(,2) 3已知向量a(x1,1)，b(1，y2)，且ab，則x2y2的

15、最小值為()A.eq f(1,3) B.eq f(2,3) C.eq f(1,2) D1 4在ABC中，eq o(AB,sup10()(eq r(3)，1)，eq o(BC,sup10()(1，eq r(3)，則cos B()Aeq f(r(3),2) B.eq f(r(3),2) C.eq f(r(3),4) D0 5.如圖，在圓O中，若弦AB3，AC5，則eq o(AO,sup10()eq o(BC,sup10()的值是()A8 B1C1 D8 6已知a(3,2)，b(2，1)，若向量ab與ab的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是_ 7設向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定義一種向量積a

16、b(a1b1，a2b2)，已知向量meq blc(rc)(avs4alco1(2，f(1,2)，neq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，0)，點P(x，y)在ysin x的圖象上運動Q是函數(shù)yf(x)圖象上的點，且滿足eq o(OQ,sup10()meq o(OP,sup10()n(其中O為坐標原點)，則函數(shù)yf(x)的值域是_ 8已知向量e1eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,4)，sin f(,6)，e2eq blc(rc)(avs4alco1(2sin f(,4)，4cos f(,3)，則e1e2_.解析：由向量數(shù)量積公式得e1e2cos eq f(,4)2sin eq f(,4)sin eq f(,6)4cos eq f(,3)eq f(r(2),2)eq r(2)eq f(1,2)22.答案：29已知兩個單位向量a，b的夾角為60，cta(1t)b.若bc0，則t_. 10在A