2022屆廣東第二師范學院番禺高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知，則（ ）ABCD2函數(shù)的定義域為，集合，則（ ）ABCD3設分別為的三邊的中點，則（ ）ABCD4已知集合，則集合( )ABCD5已知集合AxN|x28x，B2，3，6，C2，3

2、，7，則（ ）A2，3，4，5B2，3，4，5，6C1，2，3，4，5，6D1，3，4，5，6，76定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調遞減，已知是銳角三角形的兩個內角，則的大小關系是（ ）ABCD以上情況均有可能7已知角的終邊經(jīng)過點,則ABCD8已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點（設點位于第一象限），過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為點，拋物線的準線交軸于點，若，則直線的斜率為A1BCD9若，則“”是“的展開式中項的系數(shù)為90”的（ ）A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件10定義在上函數(shù)滿足，且對任意的不相等的實數(shù)有成立，若關于x的不等式在

3、上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）ABCD11達芬奇的經(jīng)典之作蒙娜麗莎舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，數(shù)百年來讓無數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者對蒙娜麗莎的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于點，測得如下數(shù)據(jù)：（其中）.根據(jù)測量得到的結果推算：將蒙娜麗莎中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角大約等于（ ）ABCD12已知向量，是單位向量，若，則（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13的二項展開式中，含項的系數(shù)為_14已知兩個單位向量滿足，則向量與的夾角為_.15已知數(shù)列的前項和為，則滿足的正整數(shù)的值為_.16函

4、數(shù)的定義域是_（寫成區(qū)間的形式）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數(shù)x與燒開一壺水所用時間y的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），得到了散點圖（如圖）.表中，.（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數(shù)x的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據(jù)判斷結果和表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；（3）若旋轉的弧度數(shù)x與單位時間內煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時，燒開一壺水最省煤氣？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分

5、別為，.18（12分）山東省2020年高考將實施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目成績組成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學、外語，自主選擇的3門普通高中學業(yè)水平等級考試科目是從物理、化學、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分數(shù)不直接用，而是按照學生分數(shù)在本科目考試的排名來劃分等級并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級考試科目中考生的原始成績從高到低分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個等級。參照正態(tài)分布原則，

6、確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績.舉例說明.某同學化學學科原始分為65分，該學科C+等級的原始分分布區(qū)間為5869，則該同學化學學科的原始成績屬C+等級.而C+等級的轉換分區(qū)間為6170，那么該同學化學學科的轉換分為：設該同學化學科的轉換等級分為x，69-6565-58=70-xx-61，求得x66.73.四舍五入后該同學化

7、學學科賦分成績?yōu)?7.（1）某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布N(60,122).（i）若小明同學在這次考試中物理原始分為84分，等級為B+，其所在原始分分布區(qū)間為8293，求小明轉換后的物理成績；（ii）求物理原始分在區(qū)間(72,84)的人數(shù)；（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取4人，記X表示這4人中等級成績在區(qū)間61,80的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.（附：若隨機變量N(,2)，則P-+=0.682，P-2+2=0.954，P-3+3=0.997）19（12分）某公司打算引進一臺設備使用一年，現(xiàn)有甲

8、、乙兩種設備可供選擇.甲設備每臺10000元，乙設備每臺9000元.此外設備使用期間還需維修，對于每臺設備，一年間三次及三次以內免費維修，三次以外的維修費用均為每次1000元.該公司統(tǒng)計了曾使用過的甲、乙各50臺設備在一年間的維修次數(shù)，得到下面的頻數(shù)分布表，以這兩種設備分別在50臺中的維修次數(shù)頻率代替維修次數(shù)發(fā)生的概率.維修次數(shù)23456甲設備5103050乙設備05151515（1）設甲、乙兩種設備每臺購買和一年間維修的花費總額分別為和，求和的分布列；（2）若以數(shù)學期望為決策依據(jù)，希望設備購買和一年間維修的花費總額盡量低，且維修次數(shù)盡量少，則需要購買哪種設備？請說明理由.20（12分）已知拋

9、物線的頂點為原點，其焦點關于直線的對稱點為，且.若點為的準線上的任意一點，過點作的兩條切線，其中為切點.（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線恒過定點，并求面積的最小值.21（12分）已知 （1）當時，判斷函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）記，若存在實數(shù)，使直線與函數(shù)的圖象交于不同的兩點，求證：22（10分）已知各項均不相等的等差數(shù)列的前項和為, 且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）求數(shù)列的前項和.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】利用誘導公式得，再利用倍角公式，即可得答案.【詳解】由可得，.故選：C.【點

10、睛】本題考查誘導公式、倍角公式，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意三角函數(shù)的符號.2A【解析】根據(jù)函數(shù)定義域得集合，解對數(shù)不等式得到集合，然后直接利用交集運算求解.【詳解】解：由函數(shù)得，解得，即；又，解得，即，則.故選：A.【點睛】本題考查了交集及其運算，考查了函數(shù)定義域的求法，是基礎題.3B【解析】根據(jù)題意,畫出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線性運算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,可得幾何關系如下圖所示:,故選:B【點睛】本題考查了向量加法的線性運算,屬于基礎題.4D【解析】根據(jù)集合的混合運算，即可容易求得結果.【詳解】，故可得.故選：D.【點睛】本題考查集

11、合的混合運算，屬基礎題.5C【解析】根據(jù)集合的并集、補集的概念，可得結果.【詳解】集合AxN|x28xxN|0 x8，所以集合A1，2，3，4，5，6，7B2，3，6，C2，3，7，故1，4，5，6，所以1，2，3，4，5，6.故選：C.【點睛】本題考查的是集合并集，補集的概念，屬基礎題.6B【解析】由已知可求得函數(shù)的周期，根據(jù)周期及偶函數(shù)的對稱性可求在上的單調性，結合三角函數(shù)的性質即可比較【詳解】由可得，即函數(shù)的周期，因為在區(qū)間上單調遞減，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，在上單調遞增，因為，是銳角三角形的兩個內角，所以且即，所以即，故選：【點睛】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，

12、根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系是解決本題的關鍵7D【解析】因為角的終邊經(jīng)過點,所以,則,即.故選D8C【解析】根據(jù)拋物線定義，可得，又，所以，所以，設，則，則，所以，所以直線的斜率故選C9B【解析】求得的二項展開式的通項為,令時,可得項的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結果.【詳解】若則二項展開式的通項為,令,即,則項的系數(shù)為,充分性成立;當?shù)恼归_式中項的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【點睛】本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計算能力,難度較易.10B【解析】結合題意可知是偶函數(shù),且在單調遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,

13、結合導函數(shù)與原函數(shù)的單調性關系,構造新函數(shù),計算最值,即可.【詳解】結合題意可知為偶函數(shù),且在單調遞減,故可以轉換為對應于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質和導函數(shù)與原函數(shù)單調性關系,計算范圍,可以轉化為函數(shù),結合導函數(shù),計算最值,即可得出答案.11A【解析】由已知，設可得于是可得，進而得出結論【詳解】解：依題意，設則，設蒙娜麗莎中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角為則，故選：A【點睛】本題考查了直角三角形的邊角關系、三角函數(shù)的單調性、切線的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題12C【解析】設，根據(jù)題意

14、求出的值，代入向量夾角公式，即可得答案；【詳解】設，是單位向量，,，聯(lián)立方程解得：或當時，；當時，；綜上所述：.故選：C.【點睛】本題考查向量的模、夾角計算，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意的兩種情況.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】寫出二項展開式的通項，然后取的指數(shù)為求得的值，則項的系數(shù)可求得.【詳解】，由，可得.含項的系數(shù)為.故答案為：【點睛】本題考查了二項式定理展開式、需熟記二項式展開式的通項公式，屬于基礎題.14【解析】由得，即得解.【詳解】由題意可知，則.解得，所以，向量與的夾角為.故答案為：【點睛】本題主要考

15、查平面向量的數(shù)量積的計算和夾角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.156【解析】已知，利用，求出通項，然后即可求解【詳解】，當時，；當時，故數(shù)列是首項為-2，公比為2的等比數(shù)列，.又，.【點睛】本題考查通項求解問題，屬于基礎題16【解析】要使函數(shù)有意義，需滿足，即，解得，故函數(shù)的定義域是三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）更適宜（2）（3）x為2時，燒開一壺水最省煤氣【解析】（1）根據(jù)散點圖是否按直線型分布作答；（2）根據(jù)回歸系數(shù)公式得出y關于的線性回歸方程，再得出y關于x的回歸方程；（3）利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.【詳解】

16、（1）更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數(shù)x的回歸方程類型.（2）由公式可得：，所以所求回歸方程為.（3）設，則煤氣用量，當且僅當時取“”，即時，煤氣用量最小.故x為2時，燒開一壺水最省煤氣.【點睛】本題考查擬合模型的選擇，回歸方程的求解，涉及均值不等式的使用，屬綜合中檔題.18 (1)（i）83.;（ii）272.(2)見解析.【解析】（1）根據(jù)原始分數(shù)分布區(qū)間及轉換分區(qū)間，結合所給示例，即可求得小明轉換后的物理成績；根據(jù)正態(tài)分布滿足N60,122，結合正態(tài)分布的對稱性即可求得72,84內的概率，根據(jù)總人數(shù)即可求得在該區(qū)間的人數(shù)。（2）根據(jù)各等級人數(shù)所占比例可知在區(qū)間61,80內的概率

17、為25，由二項分布即可求得X的分布列及各情況下的概率，結合數(shù)學期望的公式即可求解?！驹斀狻浚?）（i）設小明轉換后的物理等級分為x，93-8484-82=90-xx-81，求得x82.64.小明轉換后的物理成績?yōu)?3分；（ii）因為物理考試原始分基本服從正態(tài)分布N60,122，所以P(7284)=P(6084)-P(6072)=12P(3684)-12P(4872)=120.954-0.682=0.136.所以物理原始分在區(qū)間72,84的人數(shù)為20000.136=272（人）；（2）由題意得，隨機抽取1人，其等級成績在區(qū)間61,80內的概率為25，隨機抽取4人，則XB4,25.PX=0=354

18、=81625，PX=1=C4125353=216625，PX=2=C42252352=216625，PX=3=C43253351=96625，PX=4=254=16625.X的分布列為X01234P816252166252166259662516625數(shù)學期望EX=425=85.【點睛】本題考查了統(tǒng)計的綜合應用，正態(tài)分布下求某區(qū)間概率的方法，分布列及數(shù)學期望的求法，文字多，數(shù)據(jù)多，需要細心的分析和理解，屬于中檔題。19（1）分布列見解析，分布列見解析；（2）甲設備，理由見解析【解析】（1）的可能取值為10000，11000，12000，的可能取值為9000，10000，11000，12000，

19、計算概率得到分布列；（2）計算期望，得到，設甲、乙兩設備一年內的維修次數(shù)分別為，計算分布列，計算數(shù)學期望得到答案.【詳解】（1）的可能取值為10000，11000，12000，因此的分布如下100001100012000的可能取值為9000，10000，11000，12000，因此的分布列為如下9000100001100012000（2）設甲、乙兩設備一年內的維修次數(shù)分別為，的可能取值為2，3，4，5，則的分布列為2345的可能取值為3，4，5，6，則的分布列為3456由于，因此需購買甲設備【點睛】本題考查了數(shù)學期望和分布列，意在考查學生的計算能力和應用能力.20（1）（2）見解析，最小值為4【解析】（1）根據(jù)焦點到直線的距離列方程，求得的值，由此求得拋物線的方程.（2）設出的坐標，利用導數(shù)求得切線的方程，由此判斷出直線恒過拋物線焦點.求得三角形面積的表達式，進而求得面積的最小值