高中數(shù)學(xué)立體幾何經(jīng)典大題訓(xùn)練632

1、-. z.高中數(shù)學(xué)立體幾何大題訓(xùn)練1.如下圖，在長方體中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點(diǎn)求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；證明：平面ABM平面A1B1M12.如圖，在矩形中，點(diǎn)分別在線段上，.沿直線將翻折成，使平面.求二面角的余弦值；點(diǎn)分別在線段上，假設(shè)沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長。3.如圖，直三棱柱中，為的中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，證明：為異面直線與的公垂線；設(shè)異面直線與的夾角為45，求二面角的大小4.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點(diǎn).()證明：EF平面PAD；()求三棱

2、錐EABC的體積V.5.如圖，棱柱的側(cè)面是菱形，證明：平面平面；設(shè)是上的點(diǎn)，且平面，求的值.6.三棱錐PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB， N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點(diǎn).證明：CMSN；求SN與平面CMN所成角的大小.7.如圖BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。求點(diǎn)A到平面MBC的距離；求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值。8.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H為BC的中點(diǎn)，()求證：FH平面EDB;求證：AC平面E

3、DB; 求四面體BDEF的體積；9.如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.求證：AF平面BDE；求證：CF平面BDE；求二面角A-BE-D的大小。10.正方體ABCDABCD的棱長為1，點(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn)，點(diǎn)O是對角線BD的中點(diǎn).求證：OM為異面直線AA和BD的公垂線；求二面角MBCB的大小；求三棱錐MOBC的體積.參考答案1.2.解：取線段EF的中點(diǎn)H，連結(jié)，因?yàn)?及H是EF的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)槠矫嫫矫?如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-*yz則2，2，C10，8，0，F(xiàn)4，0，0，D10，0，0. 故=-2，2，2，=6，0，0.設(shè)=*

4、,y,z為平面的一個法向量， -2*+2y+2z=0所以 6*=0.取，則。又平面的一個法向量，故。所以二面角的余弦值為解：設(shè)則，因?yàn)榉酆?，與重合，所以，故，得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時點(diǎn)在線段上，所以。方法二：解：取線段的中點(diǎn),的中點(diǎn),連結(jié)。因?yàn)?及是的中點(diǎn)，所以又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?又平面,故，又因?yàn)?、是、的中點(diǎn)，易知，所以，于是面，所以為二面角的平面角，在中，=，=2，=所以.故二面角的余弦值為。解：設(shè),因?yàn)榉酆螅c重合，所以，而，得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時點(diǎn)在線段上，所以。3.I連接A1B，記A1B與AB1的交點(diǎn)為F.因?yàn)槊鍭A1BB1為正方形，故A1BAB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以

5、FE=EB1，又D為BB1的中點(diǎn)，故DEBF，DEAB1. 3分作CGAB，G為垂足，由AC=BC知，G為AB中點(diǎn).又由底面ABC面AA1B1B.連接DG，則DGAB1，故DEDG，由三垂線定理，得DECD.所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線.II因?yàn)镈GAB1，故CDG為異面直線AB1與CD的夾角，CDG=45設(shè)AB=2，則AB1=，DG=，CG=，AC=.作B1HA1C1，H為垂足，因?yàn)榈酌鍭1B1C1面AA1CC1，故B1H面AA1C1C.又作HKAC1，K為垂足，連接B1K，由三垂線定理，得B1KAC1，因此B1KH為二面角A1-AC1-B1的平面角，由此可求出二面角大小4.解()

6、在PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面PAD,EF平面PAD,EF平面PAD.()連接AE,AC,EC,過E作EGPA交AB于點(diǎn)G,則BG平面ABCD,且EG=PA.在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=. 5. 解：因?yàn)閭?cè)面BCC1B1是菱形，所以又所又平面A1BC1，又平面AB1C ，所以平面平面A1BC1 .設(shè)BC1交B1C于點(diǎn)E，連結(jié)DE，則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線，因?yàn)锳1B/平面B1CD，所以A1B/DE.又E是BC1的中點(diǎn)，所以D為A1C1

7、的中點(diǎn).即A1D：DC1=1.6.證明：設(shè)PA=1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為*，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則P0,0,1，C0,1,0，B2,0,0，M1,0,，N,0,0，S1,0. ,因?yàn)?，所以CMSN ,設(shè)a=*，y，z為平面CMN的一個法向量，則因?yàn)樗許N與片面CMN所成角為45。7.解法一：1取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OBCD，OMCD.又平面平面,則MO平面，所以MOAB，A、B、O、M共面.延長AM、BO相交于E，則AEB就是AM與平面BCD所成的角.OB=MO=，MOAB，MO/面ABC，M、O到平面ABC的距離相等，作OHBC于H，連MH，則MH

8、BC，求得：OH=OCsin600=,MH=,利用體積相等得：。2CE是平面與平面的交線.由1知，O是BE的中點(diǎn)，則BCED是菱形.作BFEC于F，連AF，則AFEC，AFB就是二面角A-EC-B的平面角，設(shè)為.因?yàn)锽CE=120，所以BCF=60. ，所以，所求二面角的正弦值是.解法二：取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OBCD，OMCD，又平面平面,則MO平面.以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC、BO、OM為*軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.OB=OM=，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O0，0，0，C1，0，0，M0，0，B0，-，0，A0，-，2，1設(shè)是平面MBC的法向量，則，由得；由得；取，則距離2，.設(shè)平面

9、ACM的法向量為，由得.解得，取.又平面BCD的法向量為，則設(shè)所求二面角為，則.8.1設(shè)底面對角線交點(diǎn)為G，則可以通過證明EGFH，得平面；2利用線線、線面的平行與垂直關(guān)系，證明FH平面ABCD，得FHBC，F(xiàn)HAC，進(jìn)而得EGAC，平面；3證明BF平面CDEF，得BF為四面體B-DEF的高，進(jìn)而求體積.9.證明：I設(shè)AC與BD交與點(diǎn)G。因?yàn)镋F/AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AF/平面EG，因?yàn)槠矫鍮DE，AF平面BDE，所以AF/平面BDE.II因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如圖，以C為原點(diǎn)，

10、建立空間直角坐標(biāo)系C-.則C0，0，0，A，0，B0，0.所以，.所以,所以,.所以BDE.(III) 由II知，是平面BDE的一個法向量.設(shè)平面ABE的法向量,則，.即所以且令則.所以.從而。因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的大小為.10.解法一：1連結(jié)AC，取AC中點(diǎn)K，則K為BD的中點(diǎn)，連結(jié)OK因?yàn)镸是棱AA的中點(diǎn)，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)所以AM所以MO由AAAK，得MOAA因?yàn)锳KBD,AKBB，所以AK平面BDDB所以AKBD所以MOBD又因?yàn)镺M是異面直線AA和BD都相交故OM為異面直線AA和BD的公垂線2取BB中點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MN平面BCCB過點(diǎn)N作NHBC于H，連結(jié)MH則由三垂線定理

11、得BCMH從而,MHN為二面角M-BC-B的平面角MN=1,NH=Bnsin45=在RtMNH中，tanMHN=故二面角M-BC-B的大小為arctan2(3)易知，SOBC=SOAD，且OBC和OAD都在平面BCDA點(diǎn)O到平面MAD距離hVM-OBC=VM-OAD=VO-MAD=SMADh=解法二：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖空間直角坐標(biāo)系D-*yz則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),D(0,0,1)(1)因?yàn)辄c(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn),點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)所以M(1,0,),O(,),=(0,0,1),=(-1,-1,1)=0,+0=0所以O(shè)MAA,OMBD又因?yàn)镺M與異面直線AA和BD都相交故OM為異面直線AA和BD的公垂線. (2)設(shè)平面BMC的一個法向量為=(*,y,z)=(0,-1,), (1,0,1