離散數(shù)學(xué)：6-6域的特征

1、6.6 域的特征 素域6.6.1 域的特征定義：若有壹交換無零因子環(huán)的任意理想是主理想，則稱主理想環(huán)。主理想是理想，但理想未必是主理想。證明：證I的任意理想N是主理想（1）若N=0，顯然N是主理想（2）現(xiàn)N中不只有一個(gè)元素，則在N中必有一個(gè)絕對(duì)值最小的非零元素，設(shè)為a，顯然，a生成的理想(a)=aIN。任取bN，若b=aq+r，0ra，因b，aqN，所以r=b-aqN，但a絕對(duì)值最小，只能r=0，這樣b=aqaI，所以NaI,于是N=aI，是主理想，證畢結(jié)論1：整數(shù)環(huán)I是主理想環(huán)。2、設(shè)有整數(shù)環(huán)I，任意域F，則(n)=ne，是I到F內(nèi)映射，其中e是F中乘法單位元，因?yàn)?(m+n)=(m+n)e

2、=me+ne=(m)+(n) (mn)=mne=(me)(ne)=(m)(n)所以是同態(tài)映射。 6.6.1 域的特征3、 考查映射IF內(nèi)，有核N是I的一個(gè)理想，又已知整數(shù)環(huán)I是主理想環(huán)，所以核N是主理想，設(shè)這理想由整數(shù)P生成，于是N=(P)=PI。 6.6.1 域的特征證明：P是F中e的加法周期。4、 若P=0則ne=0n=0 證：（）P=0，核N=0, 因?yàn)閚e=0則(n)=0 所以nN， 即n=0 （）顯然 這表明此時(shí)e在加法群中周期是0（或） 6.6.1 域的特征 5、 若P0則ne=0 p|n證：（）若ne=0，即(n)=0， 于是nN=PI，因?yàn)镻I中任意元是P的倍數(shù)，故p|n。 （

3、）若p|n，則nN， 所以， (n)= ne=0 這表明此時(shí)e在加群的周期是P。 對(duì)于域F而言，P是唯一確定的，只與域F有關(guān)，稱為域的特征6.6.1 域的特征6、域F中任意非零元在加群中周期也是P例：剩余環(huán) 之特征為5 。因?yàn)?.6.1 域的特征 7、(定理6.6.1) 任意域F的特征P是零或一質(zhì)數(shù)。 證：若P0， 往證P是質(zhì)數(shù)。 若不然P=hk， 1hp ，1kp 則 (he)(ke)=(hk)e=pe=0 因域中無零因子，則(he)、(ke)必有一為零，但P為周期，而kp，h0，na=a+a，0a=0，(-n)a=-na。 (2)現(xiàn)在認(rèn)為Rp是F子域，p=0時(shí)，n可認(rèn)為是有理數(shù)。于是可認(rèn)為是F的元素，p是質(zhì)數(shù)時(shí)，n可模p看，也是F中的元素，于是na可解釋為F中兩元素相乘，兩種解釋結(jié)果相同。但在無壹環(huán)中只能用第一種解釋。特征為0的域必為無限域；特征為p的域可有限，也可無限。 6.6.2 素域特征為質(zhì)數(shù)p的域F的簡(jiǎn)單性質(zhì)： （1） 若a，bF，則(a+b)p=ap+bp； 例如，在R2上，a2+b2=(a+b)2。 （2） (a-b)p=ap-bp； （3） （4） (a1+a2+an)p=a1p+anp （5