階段質(zhì)量檢測(四)　數(shù)列、不等式

1、階段質(zhì)量檢測(四)數(shù)列、不等式(本欄目內(nèi)容，學(xué)生用書中以活頁形式單獨(dú)裝訂成冊！)一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪項(xiàng)符合題目要求的)如果一個(gè)數(shù)列的遞推公式及其首項(xiàng)，那么可以寫出這個(gè)數(shù)列的任何一項(xiàng)；數(shù)列eq f(2,3)，eq f(3,4)，eq f(4,5)，eq f(5,6)，通項(xiàng)公式是aneq f(n,n1)；數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)；數(shù)列1，1,1，1，與數(shù)列1,1，1,1，是同一數(shù)列A1B2C3 D4【解析】中aneq f(n1,n2).中顯然是兩個(gè)不同的數(shù)列故、正確，應(yīng)選B.【答案】B2an是等差數(shù)列，a415，S555，那么過點(diǎn)P(

2、3，a3)，Q(4，a4)的直線斜率為()A4 B.eq f(1,4)C4 Deq f(1,4)【解析】an是等差數(shù)列，S55a355，a311.a4a315114，kPQeq f(a4a3,43)eq f(4,1)4.【答案】A3(柳州模擬)等比數(shù)列an中，a1a310，a4a6eq f(5,4)，那么公比q()A.eq f(1,4) B.eq f(1,2)C2 D8【解析】依題意，a4a1q3，a6a3q3，a4a6(a1a3)q3，eq f(5,4)10q3，q3eq f(1,8)，qeq f(1,2).【答案】B4設(shè)數(shù)列an是首項(xiàng)為m，公比為q(q1)的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，對

3、任意的nN*，點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(an，f(S2n,Sn)()A在直線mxqyq0上B在直線qxmym0上C在直線qxmyq0上D不一定在一條直線上【解析】eq blcrc (avs4alco1(anmqn1x,f(S2n,Sn)f(f(m(1q2n),1q),f(m(1qn),1q)1qny )由得qny1，代入得xeq f(m,q)(y1)，即qxmym0.【答案】B5數(shù)列an中，假設(shè)an1eq f(an,2an1)，a11，那么a6等于()A13 B.eq f(1,13)C11 D.eq f(1,11)【解析】eq f(1,an1)eq f(2an1,an)eq

4、f(1,an)2，eq f(1,an)是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列eq f(1,an)1(n1)22n1，eq f(1,a6)12111，a6eq f(1,11).【答案】D6如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sneq f(1,2n)(3n2n)，那么這個(gè)數(shù)列()A是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列B是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列C既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列【解析】依題意，Sneq f(1,2n)(3n2n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n1，a1S1eq f(1,2).當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)neq blc(

5、rc)(avs4alco1(f(3,2)n1eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n1.n1時(shí)適合，aneq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n1.故an是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列【答案】B7定義：在數(shù)列an中，an0且an1，假設(shè)aan1n為定值，那么稱數(shù)列an為“等冪數(shù)列數(shù)列an為“等冪數(shù)列，且a12，a24，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，那么S2 009()A6 026 B6 024C2 D4【解析】aa212416aa324a3，得a32，同理得a44，a52，這是一個(gè)周期數(shù)列S2 009eq f(2 0091,2)(24)

6、26 026.【答案】A8實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組eq blcrc (avs4alco1(y0,xy0,2xy20)，那么meq f(y1,x1)的取值范圍是()A.eq blcrc(avs4alco1(1，f(1,3) B.eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(1,3)C.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，1)【解析】作出可行域如圖，由m=，可得m的范圍是陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與(-1,1)點(diǎn)連線的斜率的范圍，kAB= ，過A點(diǎn)與直線y=x平行的直線斜率為1，m.【答案】D9(哈師大附中模擬)an是遞增

7、數(shù)列，對任意的nN*，都有ann2n恒成立，那么的取值范圍是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)，) B(0，)C(2，) D(3，)【解析】結(jié)合二次函數(shù)f(x)x2x，可知開口向上，對稱軸是eq f(,2)，要使f(x)在1，)遞增，只需eq f(,2)1，但由于ann2n中nN*，故只需eq f(,2)3.【答案】D10(上海春招)函數(shù)f(x)eq blcrc (avs4alco1(3x1x0,log2xx3，那么x0的取值范圍是()Ax08 Bx08Cx00 Dx00或0 x03，即x011，x00；假設(shè)x03，即x0238，x08(舍去)【答案】C11某公司租

8、地建倉庫，每月土地占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉庫到車站的距離成正比，如果在距離車站10 km處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站()A5 km處 B4 km處C3 km處 D2 km處【解析】由題意可設(shè)y1eq f(k1,x)，y2k2x，k1xy1，k2eq f(y2,x)，把x10，y12與x10，y28分別代入上式得k120，k20.8，y1eq f(20,x)，y20.8x(x為倉庫與車站距離)，費(fèi)用之和yy1y20.8xeq f(20,x)2eq r(0.8xf(20,x)8，當(dāng)且僅當(dāng)0

9、.8xeq f(20,x)，即x5時(shí)等號成立，應(yīng)選A.【答案】A12假設(shè)鈍角三角形ABC三內(nèi)角A，B，C的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊長與最小邊長的比為m，那么m的取值范圍是()Am2 B0m2C1m2 Dm2【解析】設(shè)三角形的三邊從小到大依次為a，b，c，三內(nèi)角度數(shù)成等差數(shù)列，B60，于是b2a2c2ac.又三角形ABC是鈍角三角形，假設(shè)C為鈍角，那么b2a2c20，2a2ac2，即m2.【答案】A二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分請把正確答案填在題中橫線上)13關(guān)于x的不等式x2(a1)xab0的解集是x|x4，那么實(shí)數(shù)a、b的值分別為_【解析】由不等式的解集為x|x4可得，1,4

10、是方程x2(a1)xab0的兩根，eq blcrc (avs4alco1(14(a1),14ab)，解得a4，b1.【答案】4,114x、y滿足eq blcrc (avs4alco1(yx,xy1，,y1)那么z2xy的最大值為_【解析】不等式組所表示的可行域如下列圖，當(dāng)平行直線系z=2x+y經(jīng)過點(diǎn)A(2，-1)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=2x+y取得最大值，z最大值=22+(-1)=3.【答案】315(湯陰模擬)正數(shù)a、b滿足abab3，那么ab的取值范圍為_，ab的取值范圍是_【解析】由abab32eq r(ab)3，即ab2eq r(ab)30，(eq r(ab)3)(eq r(ab)1)0，eq

11、r(ab)30，ab9.由ab3abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2，(ab)24(ab)120，(ab2)(ab6)0，ab2(舍去)，ab6.【答案】9，)6，)16.某人按如下列圖的規(guī)那么練習(xí)數(shù)數(shù)，記在數(shù)數(shù)過程中對應(yīng)中指的數(shù)依次排列所構(gòu)成的數(shù)列為an，那么數(shù)到2 010時(shí)對應(yīng)的指頭是_，數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.(填出指頭的名稱，各指頭的名稱依次為大拇指、食指、中指、無名指、小指)【解析】注意到數(shù)1,9,17,25，分別都對應(yīng)著大拇指，且18(2521)2 009.因此數(shù)到2 010時(shí)對應(yīng)的指頭是食指對應(yīng)中指的數(shù)依次是：3,7,11,15，因此數(shù)列an的通項(xiàng)公式

12、是an3(n1)44n1.【答案】食指4n1三、解答題(本大題共6小題，共70分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17(10分)函數(shù)yx2pxq，當(dāng)y0時(shí)，有eq f(1,2)x0.【解析】當(dāng)y0時(shí)，有eq f(1,2)x0可變?yōu)閑q f(1,6)x2eq f(1,6)x10，即x2x60，2x0的解集為x|2x57時(shí)n的取值范圍【解析】(1)n，an，Sn成等差數(shù)列，Sn2ann，Sn12an1(n1)(n2)，anSnSn12an2an11(n2)，an2an11(n2)兩邊加1得an12(an11)(n2)，eq f(an1,an11)2(n2)又由Sn2ann得a11.數(shù)

13、列an1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列an122n1，即數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由(1)知，Sn2ann2n12n，Sn1Sn2n22(n1)(2n12n)2n110.Sn1Sn，Sn為遞增數(shù)列由題設(shè)，Sn57，即2n1n59.又當(dāng)n5時(shí)，26559，n5.當(dāng)Sn57時(shí)，n的取值范圍為n6(nN*)19(12分)設(shè)f(x)eq f(50 x,x21).(1)求f(x)在0，)上的最大值；(2)求f(x)在2，)上的最大值【解析】(1)當(dāng)x0時(shí)，有xeq f(1,x)2，f(x)eq f(50 x,x21)eq f(50,xf(1,x)25.當(dāng)且僅當(dāng)xeq f(1,x)，即x1時(shí)等

14、號成立，而當(dāng)x0時(shí)，f(0)0，所以f(x)在0，)上的最大值是25.(2)函數(shù)yxeq f(1,x)在2，)上是增函數(shù)且恒為正，f(x)eq f(50,xf(1,x)在2，)上是減函數(shù)，且f(2)20，所以f(x)在2，)上的最大值為20.20(12分)(天門模擬)二次函數(shù)f(x)x22(103n)x9n261n100(nN*)(1)設(shè)函數(shù)yf(x)的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列an，求證數(shù)列an是等差數(shù)列；(2)設(shè)函數(shù)yf(x)的圖象的頂點(diǎn)到y(tǒng)軸距離構(gòu)成數(shù)列dn，求數(shù)列dn的前n項(xiàng)和；(3)在(1)的條件下，假設(shè)數(shù)列cn滿足cn1eq f(1,4nf(25,2)an)(nN*)，求數(shù)列cn中

15、值最大的項(xiàng)和最小項(xiàng)【解析】(1)yf(x)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為xeq f(b,2a)eq f(2(103n),2)，an103n，anan13，an是等差數(shù)列，且an103n.(2)設(shè)dn的前n項(xiàng)和為Sn.yf(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)到y(tǒng)軸的距離dn|103n|eq blcrc (avs4alco1(103n(n3),3n10(n4)，當(dāng)n3時(shí)，Sneq f(n(7103n),2)eq f(n(173n),2)，當(dāng)n4時(shí)，d42，Sneq f(n3)(d4dn),2)S3eq f(n3)(3n8),2)12eq f(1,2)(3n217n48)Sneq blcrc (avs4alco1(f(n(173n),2

16、)(n3),f(1,2)(3n217n48)(n4).(3)cn1eq f(1,4nf(25,2)an)1eq f(1,4nf(25,2)103n)1eq f(2,2n5)，cn中的最小項(xiàng)為c21，cn中的最大項(xiàng)為c33.9102.59)【解析】設(shè)每年還款x元，需10年還清，那么每年還款及利息情況如下：第10年還款x元，此次欠款全部還清第9年還款x元，過1年欠款全部還清時(shí)，所付款連同利息之和為x(110%)元第8年還款x元，過2年欠款全部還清時(shí)，所付款連同利息之和為x(110%)2元第1年還款x元，過9年欠款全部還清時(shí)，所付款連同利息之和為x(110%)9元根據(jù)題意可得：xx(110%)x(1

17、10%)2x(110%)920 000(110%)10 x10101)3 258.每年應(yīng)還款3 258元22(12分)(南京模擬)數(shù)列an中，a22，前n項(xiàng)和為Sn，且Sneq f(n(an1),2).(1)證明數(shù)列an1an是等差數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bneq f(1,(2an1)(2an1)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求使不等式Tneq f(k,57)對一切nN*都成立的最大正整數(shù)k的值【解析】(1)由題意，當(dāng)n1時(shí)，a1S1eq f(a11,2)，那么a11，a22，那么a2a11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1eq f(n(an1),2)eq f(n1)(an11),2)eq f(1,2) nan(n1)an11，an1eq f(1,2) (n1)an1nan1，那么an1aneq f(1,2) (n1)an12nan(n1)an1，那么(n1)an12(n1)an(n1)an10，即an12anan10，即an1ananan1，那么數(shù)列an1an是首項(xiàng)為1，公差為0的等差數(shù)列從而anan11，那么數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列所以ann(nN*)(2)bneq f(1,(2an1)(2an1)eq f(1,(2n1)(2n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)，所以Tnb1b2bneq