實驗測量聲輻射模態(tài)

1、實驗測量聲輻射模態(tài) 毛崎波1，皮耶奇克 S 2（1. 南昌航空大學(xué)飛行器工程學(xué)院，江西 南昌 330063；2. 瑞士聯(lián)邦材料科學(xué)與技術(shù)研究所，迪本多夫 CH-8600 瑞士）摘要：通過實驗方法測量得到振動結(jié)構(gòu)的聲輻射模態(tài)及其輻射效率。首先通過輻射算子分析任意結(jié)構(gòu)的聲輻射模態(tài)，然后根據(jù)互換原理，在遠(yuǎn)場布置聲源，通過測量結(jié)構(gòu)表面聲壓，得到輻射算子。最后以一平面玻璃板為例進(jìn)行實驗研究，通過互換方法測量了前5階聲輻射模態(tài)和對應(yīng)的輻射效率。實驗結(jié)果表明通過互換方法測量聲輻射模態(tài)是可行的。關(guān)鍵詞：聲輻射模態(tài)；輻射效率；輻射算子；振動結(jié)構(gòu)；互換原理中圖分類號：TB532, TB535+.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

2、 文章編號:引 言由結(jié)構(gòu)的振動引起的聲輻射問題是聲學(xué)中一個長期的研究課題。九十年代以來，有學(xué)者1 4提出通過聲輻射模態(tài)研究結(jié)構(gòu)振動的聲輻射。與傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模態(tài)相比，用輻射模態(tài)研究外部聲輻射問題的優(yōu)點在于消除了結(jié)構(gòu)模態(tài)中復(fù)雜的耦合項，使得計算和控制聲輻射更為簡單。物理意義上講，聲輻射模態(tài)也就是振動結(jié)構(gòu)表面一組相互正交的速度分布，每組速度分布代表一種可能的聲輻射形式，并且每一階聲輻射模態(tài)下的聲功率相互獨立。聲功率可表示為輻射模態(tài)與其對應(yīng)的輻射效率的線性組合。聲輻射模態(tài)由輻射體的幾何形狀和振動頻率決定，而與輻射體本身的材料特性無關(guān)5。然而目前國內(nèi)外對聲輻射模態(tài)的研究和應(yīng)用均基于理論或數(shù)值計算方法5 1

3、0，一般認(rèn)為，采用實驗方法獲得結(jié)構(gòu)的聲輻射模態(tài)及其輻射效率非常困難3, 6。本文以一玻璃平板為例，提出通過互換方法實驗測量聲輻射模態(tài)的形狀及其對應(yīng)的輻射效率。1 聲輻射模態(tài)基本理論假設(shè)有一振動物體，令其表面S0為封閉光滑邊界表面。該物體沉侵在密度為，聲速為c的介質(zhì)（例如空氣中），振動物體構(gòu)成聲源，聲源向無邊界空間輻射形成聲場為，如圖1所示。收稿日期: 修訂日期: 圖1 振動結(jié)構(gòu)聲輻射問題我們引入輻射算子L(s, r)表示遠(yuǎn)場聲壓p(r)和振動結(jié)構(gòu)表面法向速度v(s)之間的關(guān)系，即L(r, s)為建立兩者之間關(guān)系的算子，則有： （1）由于聲功率W可以通過遠(yuǎn)場聲壓表示為3, 4： （2）式中：上標(biāo)

4、*表示復(fù)共軛，Re表示括號內(nèi)取實部。由于p(r)和v(s)均屬于平方可積空間L2空間，所以算子L(s, r)為平方可積空間L2到平方可積空間L2的線性算子，引入內(nèi)積： （3）則式（2）就變?yōu)椋?（4）把式（1）代入式（4），則： （5）根據(jù)內(nèi)積的交換律，式（5）可以重新表示為 （6）式中。E(s, r)為正定是顯然的，因為聲功率W總是正的。根據(jù)泛函分析中的算子譜理論7, 8，針對線性算子E(s, r)，存在對應(yīng)特征值k的完備的特征向量Qk： （k=1，2，） （7）式中：Qk表示第k階特征向量，k表示第k階特征值，為正實數(shù)。因此，由特征向量Qk的完備性可知，在聲源表面上的任一振速分布都可用特征

5、向量Qk展開表示： （8）把式（8）代入式（6），利用特征向量的正交性得： （9）式（8）中的Qk就表示在振動體表面一種可能的速度分布，任何表面速度都可以表示為Qk的線性組合。Qk作為速度分布代表了一種固有的輻射形式，稱之為聲輻射模態(tài)。由于Qk相互正交，所以每一階聲輻射模態(tài)下的聲功率相互獨立。聲輻射模態(tài)由輻射體的幾何形狀和振動頻率決定，而與輻射體本身的材料特性以及邊界條件無關(guān)。第k階聲輻射模態(tài)的輻射效率一般定義為3： （10）式中：W(Qk)表示第k階聲輻射模態(tài)的聲功率。注意到聲輻射模態(tài)相互正交，。所以式（10）可以進(jìn)一步簡化為： （11）從式（11）可以看出，在輻射模態(tài)下的輻射效率為振動頻率

6、的函數(shù)，而與振動體的固有頻率無關(guān)。所以輻射模態(tài)下的輻射效率物理意義很清晰，而且沒有了結(jié)構(gòu)模態(tài)中復(fù)雜的耦合。這使得計算聲輻射問題大為簡化。4 輻射算子的測量對于平板結(jié)構(gòu)，可以通過格林函數(shù)或者瑞利積分公式得到理論輻射算子L(s, r)，然后通過式（7）和（11）得到理論聲輻射模態(tài)形狀及其對應(yīng)的輻射效率。但是對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，計算其聲輻射模態(tài)相當(dāng)困難，所以有必要發(fā)展一種實驗方法直接測量聲輻射模態(tài)。然而目前尚未見聲輻射模態(tài)測量方法公開發(fā)表，本文的主要工作是探討通過實驗方法測量聲輻射模態(tài)，由第2節(jié)分析可知，要得到實驗聲輻射模態(tài)，就必須測量得到輻射算子L(s, r)。顯然，最直接的測量方法是在結(jié)構(gòu)表面布置一已

7、知強度的聲源，在遠(yuǎn)場測量其聲壓。為了得到精確的測量結(jié)果，聲源必須直接布置在結(jié)構(gòu)的表面，這意味在聲源及其聲功率必須很小。由于背景噪聲的影響，這給實際測量帶來很大困難。注意到式（6）中E(s, r)為實數(shù)自伴算子（Self-adjoint operator），根據(jù)自伴算子的性質(zhì)可知： (12)由于E(s, r)為實數(shù)算子，所以從式（12）可得，這意味著聲源和測點的位置相互交換不會影響其測量結(jié)果。為了提高測量精度，本文提出通過互換方法11測量輻射算子E(s, r)，如圖2所示。我們把振動結(jié)構(gòu)分為M個面積相等的小單元，由于每個單元的面積很小，所以可以假設(shè)每一單元上的速度和聲壓為定值。互換方法的基本原理

8、可以表示為 (13)式中p和q為分別為所測聲壓和聲源強度；上標(biāo)A表示聲源位于xn和測量點位于xm。而上標(biāo)B 表示聲源位于xm和測量點位于xn。從式（12）和（13）可知，布置一聲源于遠(yuǎn)場測量結(jié)構(gòu)表面聲壓同樣可以獲得輻射算子。該測量方法稱之為“互換方法”(the reciprocal method)。圖2 基于互換方法測量輻射算子4. 實驗研究4. 1 聲輻射模態(tài)和輻射效率為了便于與理論聲輻射模態(tài)形狀及其對應(yīng)的輻射效率進(jìn)行比較，本文以一玻璃板為例測量聲輻射模態(tài)及其輻射效率，實驗所用的玻璃板長Lx1.3m，寬Ly1.02m，厚度h0.005m。該玻璃板布置在消聲室的墻上，通過變換揚聲器的位置得到6

9、個獨立的聲源，聲源布置在離玻璃板中心位置R = 1.5m處， 6個聲源位置分別位于 = -60、60, = 45、0、135位置，如圖3所示。同時把玻璃板分為30個面積相等的小單元，傳聲器布置在每個小單元中心位置（距離玻璃板表面1cm遠(yuǎn)）測量玻璃板30個點的表面聲壓。一個PCB加速度計粘貼在揚聲器紙盆上測量其強度（體積速度），通過B&K PULSE動態(tài)分析器測量得到加速度計信號與聲壓信號之間的傳遞函數(shù)，由式（1）可知，該傳遞函數(shù)即為輻射算子。具體實驗方案如圖4所示。通過組合這些所測量的傳遞函數(shù)可以得到一630的輻射算子矩陣。然后通過式（6、7、11）可以計算實驗聲輻射模態(tài)的形狀及其輻射效率。圖

10、3聲源示意圖圖4 實驗方案圖5表示典型的所測傳遞函數(shù)。圖6表示測量得到在不同頻率下的第一階聲輻射模態(tài)形狀。從圖中可以看出，第一階輻射模態(tài)為活塞狀模態(tài)，類似于點源的振動，其輻射效率最高。注意到聲輻射模態(tài)的形狀并不是一成不變的，其形狀會隨著頻率的變化而變化。圖7表示對應(yīng)的理論聲輻射模態(tài)形狀，其具體計算方法參見文獻(xiàn)9。圖8表示理論與實驗聲輻射模態(tài)形狀之差。從圖8可以發(fā)現(xiàn)，在55Hz和75Hz時，實驗測量得到的第一階聲輻射模態(tài)形狀與理論值之間的最大誤差小于0.01（即最大誤差小于理論聲輻射模態(tài)形狀的5%）。而在95Hz和125Hz時，測量誤差會有一定增加（見圖8（c）和（d），但是最大誤差小于理論聲輻

11、射模態(tài)形狀的10%。圖5 典型的測量傳遞函數(shù)圖6（a）55Hz，（b）75Hz，（c）95Hz，（d）125Hz時測量得到的第一階聲輻射模態(tài)形狀圖7（a）55Hz，（b）75Hz，（c）95Hz，（d）125Hz時的理論第一階聲輻射模態(tài)形狀圖8 第一階聲輻射模態(tài)的理論與實驗形狀之差圖9表示在55Hz時第25階理論和所測的聲輻射模態(tài)形狀比較。從圖69可以發(fā)現(xiàn)，實驗結(jié)果與理論聲輻射模態(tài)形狀在不同頻率下基本相同。(a)(b)（c）圖9 在55Hz時第二五階聲輻射模態(tài)形狀（a）實驗結(jié)果；（b）理論計算；（c）實驗與理論結(jié)果之差為了進(jìn)一步驗證本文的實驗結(jié)果，我們通過式（11）分別計算了在不同頻率時前5階

12、理論和實驗聲輻射模態(tài)的輻射效率，如圖10所示。從圖10可以發(fā)現(xiàn)，在低于260Hz（即無量綱頻率kLx6.2）時，測量結(jié)果與理論值基本符合，但是隨著頻率的增加，輻射效率的測量精度也隨之降低。如果需要精確測量高頻時的輻射效率，就必須增加結(jié)構(gòu)表面的聲壓測量點位置。注意到圖8（a）中實驗測量得到的第4、5階聲輻射模態(tài)的輻射效率在65Hz附近突然增加，這有可能是由于傳聲器測量誤差而引起。但是從圖中可以發(fā)現(xiàn)，實驗輻射效率與理論值的趨勢基本相同，即輻射效率隨頻率的增加而增加；在低頻時，聲輻射模態(tài)的階數(shù)越高，其對應(yīng)的輻射效率越小。（a）（b）圖10 前五階聲輻射模態(tài)的輻射效率（a）實驗結(jié)果；（b）理論計算5.

13、 結(jié)束語本文以一矩形玻璃平板為例，基于互換原理，通過布置聲源于遠(yuǎn)場測量結(jié)構(gòu)表面聲壓獲得輻射算子，然后通過輻射算子理論得到實驗聲輻射模態(tài)的形狀及其輻射效率。實驗結(jié)果表明本文所提出的互換方法測量聲輻射模態(tài)是可行的。而且從本文的分析可知，該實驗方法有望推廣到復(fù)雜結(jié)構(gòu)的聲輻射模態(tài)測量。參考文獻(xiàn)：Berkhoff AP. Piezoelectric Sensor Configuration for Active Structural Acoustic Control J. Journal of Sound and Vibration, 2001; 246(1): 175 183Elliott SJ an

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