八年級數(shù)學(xué)（下冊）二次根式和性質(zhì)

1、9/9二次根式與其性質(zhì)一、一周知識概述1、二次根式一般地，我們把形如(0)的式子叫做二次根式，其中為整式或分式，叫做被開方式2、二次根式有意義的條件二次根式有意義的條件是0，即被開方式是非負(fù)數(shù)3、二次根式的性質(zhì)(3)4、積的算術(shù)平方根的性質(zhì)(a0，b0)即兩個非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積5、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)(a0，b0)商的算術(shù)平方根，等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根6、最簡二次根式如果二次根式的被開方式中都不含分母，并且被開方式中不含有能開得盡方的因式，這樣的二次根式稱為最簡二次根式二、重難點(diǎn)知識歸納1、從二次根式的定義看出，二次根式的被開方數(shù)可以是一

2、個數(shù)，也可以是一個式子，且被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)2、二次根式的性質(zhì)具有雙重非負(fù)性，即二次根式中被開方數(shù)非負(fù)（a0）,算術(shù)平方根非負(fù) (0).3、利用得到成立，可以把任意一個非負(fù)數(shù)或式寫成一個數(shù)或式的平方的形式如4、注意逆用二次根式的性質(zhì)，即，利用這兩個性質(zhì)可以對二次根式進(jìn)行化簡5、運(yùn)用二次根式的性質(zhì)化簡時，最后結(jié)果中的二次根式要化為最簡二次根式或整式最簡二次根式必須滿足兩個條件：(1)被開方式中不含分母；(2)被開方式中不含能開得盡方的因數(shù)或因式三、典型例題講解例1、已知實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖化簡：分析：待求式中的五個二次根式的被開方數(shù)都是完全平方式，且結(jié)構(gòu)特征符合性質(zhì)3的，但由題設(shè)中的a

3、、b在數(shù)軸上的位置可知a、b有正有負(fù)，因此本題的關(guān)鍵是確定各個數(shù)的正負(fù)性解：由數(shù)軸上點(diǎn)的位置可知ab，0a1，b0，b0，b10，a10總結(jié)：（1）由數(shù)軸上點(diǎn)的位置應(yīng)確定兩個要素：一是各數(shù)的正負(fù)性，二是比較各數(shù)的大小；（2）在運(yùn)用性質(zhì)計算時一定要明確底數(shù)的正負(fù)性例2、化簡下列二次根式：分析：（1）（4）題均不含分母，因此要將其化為最簡二次根式，即是將被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)或因式運(yùn)用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，將其移至根號外，（5）（8）題都含有分母，應(yīng)首先根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分母化為能開得盡方的，然后再運(yùn)用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)將其化簡，但不要忽視分子中含有能開得盡方的因式或因數(shù)也要化簡總結(jié)：（

4、1）當(dāng)被開方數(shù)中不含有分母，則用積的算術(shù)平方根性質(zhì)進(jìn)行化簡；（2）當(dāng)被開方數(shù)中含有分母，化簡時既要用到商的算術(shù)平方根，也要用到積的算術(shù)平方根例3、若x為實(shí)數(shù)，化簡下列各式（1）（2）分析：由于x為實(shí)數(shù)，要確定中的x1和中的x2的正負(fù)號，必須將實(shí)數(shù)劃分為幾個區(qū)域來討論解：（1）=|x1|當(dāng)x10，即x1時，|x1|=x1當(dāng)x10，即x1時，|x1|=(x1)=x1（2）=2=|x2|2|1x|令x2=0，則x=2，令x1=0，則x=1，x=2,x=1稱為零點(diǎn)值把x=2，x=1這兩點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上(如上圖)這時數(shù)軸被分成三段：x2，1x2，x1,就按這三種情況去討論脫絕對值符號1）當(dāng)x2時|x2|2|

5、1x|=(x2)2(1x)=3x；2）當(dāng)1x2時，|x2|2|1x|=(x2)2(1x)=x4；3）當(dāng)x1時|x2|2|1x|=(x2)2(1x)=3x說明：解這類題的大致步驟：找出零點(diǎn)值(使絕對值等于零的x的值)；在數(shù)軸上標(biāo)出這些點(diǎn)，將整個數(shù)軸分成若干區(qū)間；按區(qū)間范圍逐個討論如何脫絕對值符號；從而達(dá)到化簡目的例4、已知x、y為實(shí)數(shù)，且實(shí)數(shù)m適合關(guān)系式，試確定m的值分析：x199y與199xy互為相反數(shù)，且x199y0，199xy0同時成立，x199y=0，即xy=199，又由算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，可得到關(guān)于x、y、m的方程組，從而求出m的值解：由二次根式有意義的條件知，xy=199將其代入已知等式得又根據(jù)算術(shù)平方根為非負(fù)實(shí)數(shù)有2得xym2=0，結(jié)合得m=xy2=1992=201總結(jié)：當(dāng)兩個二次根式的被開方數(shù)互為相反數(shù)時，可用“夾逼”的方法推出，兩個被開方數(shù)同時為零中考解析例1、（河南）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：解析：由數(shù)軸上實(shí)數(shù)a、b的位置可知，ab0，例2、（綿陽市）已知是正整數(shù)，則實(shí)數(shù)n的最大值為（）A12B11C8D3解析：是正整數(shù)，12n是一個整數(shù)的平方數(shù)，當(dāng)n增大時，12n減小，所以當(dāng)n=11