2022年一輪復(fù)習(xí)專題數(shù)列中的存在性問題

1、專題：數(shù)列中的存在性問題 學(xué)大蘇分教研中心 周坤一、單存在性變量解題思路：該類問題往往和恒成立問題伴隨出現(xiàn)（否則就是一個(gè)方程有解問題，即零點(diǎn)問題），可以先假設(shè)存在， 列出一個(gè)等式， 通過化簡，整理成關(guān)于任意性變量 （一般為 n）的方程，然后 n 的系數(shù)為 0，構(gòu)造方程，進(jìn)而解出存在性變量，最后檢驗(yàn)。例 1、已知數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為S =3n25n ，在數(shù)列 b 中， 1b =8，64 n1b =0，問是否存在常數(shù)c使得對(duì)任意n，a nlogcb 恒為常數(shù) M ，若存在求出常數(shù) c和 M ,若不存在說明理由 . 解析：假設(shè)存在常數(shù)c使得對(duì)任意n，a nlogcb 恒為常數(shù) M ，S =3

2、n25 n ，2 1)5(n1)=6n2，當(dāng)n =1 時(shí)，則1a =S =8，當(dāng)n2 時(shí)，a =S nS n1=3n25n3(n當(dāng)n =1 適合，a = 6n2，= 6(1 log 2)n29log 2，又64 n1b =0，b n1=1b n64 ，數(shù)列 b 是首項(xiàng)為 8，公比為164 的等比數(shù)列，b =8(1)n1=29 6n，64則a nlogcb =6n29 6 log 2 cn= 6 n2(96 )log 2 a又對(duì)任意n，a nlogcb 恒為常數(shù) M ，6(1 log 2)=0，解得c =2，M = 29log 2=11，存在常數(shù)c=2 使得對(duì)任意n，a nlogcb 恒為常數(shù)

3、M =11. 二、雙存在型變量解題思路：先假設(shè)存在，根據(jù)題目條件，列出一個(gè)含有兩個(gè)變量（一般至少都為正整數(shù)）的等式，即轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)論中的雙整數(shù)問題，然后分離變量。如果可以分離常數(shù)，則利用數(shù)論中約數(shù)的知識(shí)列出所有可能情況，最后進(jìn)行雙檢驗(yàn)，即對(duì)兩個(gè)變量均進(jìn)行條件檢驗(yàn)；如果不可以分離常數(shù)，則利用分離出的變量所具有的隱含范圍（如大于 0）消元，進(jìn)而構(gòu)造一個(gè)不等式，解出另一個(gè)變量的范圍，再列出求出的被壓縮的范圍里的所有整數(shù)值，分別求出對(duì)應(yīng)的另一個(gè)存在性變量，最后進(jìn)行檢驗(yàn)。例 2、【2010南通一?！吭O(shè)等差數(shù)列 a n 的前n項(xiàng)和為 S，且 a 5 a 13 34，S 3 9（1）求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公

4、式及前n項(xiàng)和公式；a nb n（2）設(shè)數(shù)列 b n 的通項(xiàng)公式為 a n t ，問 : 是否存在正整數(shù) t，使得 b 1，b 2，b m( m 3，m N ) 成等差數(shù)列？若存在，求出 t 和 m 的值；若不存在，請說明理由 . a 5 a 13 34，【解】（1）設(shè)等差數(shù)列 a n 的公差為 d. 由已知得 3 a 2 9， 2 分a 1 8 d 17，a 1 1，即 a 1 d 3， 解得 d 2. 4 分. 2故 a n 2 n 1，S n n . 6 分2 n 1（2）由 （ 1 ） 知 b n2 n 1 t . 要 使 b 1，b 2，b m 成 等 差 數(shù) 列 ， 必 須 2 b

5、2 b 1 b ， 即2 3 1 m 13 t 1 t 2 m 1 t， 8 分. 4m 3（3）整理得 t 1， 11分因?yàn)?m，t 為正整數(shù)，所以 t 只能取 2，3，5. 當(dāng)t2時(shí)，m7；當(dāng)t3時(shí)，m5；當(dāng)t5時(shí)，m4. 15 分故存在正整數(shù) t，使得b 1，b 2，b m成等差數(shù)列 . 例 3、設(shè)數(shù)列a n的前n項(xiàng)和S n2 n ，數(shù)列b n滿足b na nanm(mN*). （）若 b b b 成等比數(shù)列，試求 m 的值；（）是否存在m，使得數(shù)列 b n 中存在某項(xiàng) tb滿足 b b b t 1 4 t N *, t 5) 成等差數(shù)列？若存在，請指出符合題意的 m 的個(gè)數(shù)；若不存在，

6、請說明理由 . 2解：（）因?yàn)?S n n ，所以當(dāng) n 2 時(shí)，a n S n S n 1 2 n 1 3 分又當(dāng) n 1 時(shí)，a 1 S 1 1，適合上式，所以 a n 2 n 1（n N ） * 4 分2 n 1 1 3 15所以 b n2 n 1 m ， 則 b 11 m , b 23 m , b 815 m ，由 b 2 2b b ，3 2 1 15( )得 3 m 1 m 15 m ，解得 m 0（舍）或 m 9，所以 m 9 7 分*（）假設(shè)存在m，使得 b b b t N , t 5) 成等差數(shù)列，即 2 b 4 b 1 b ，則7 1 2 t 1 362 t 77 m 1 m

7、 2 t 1 m ，化簡得 m 5 12 分所以當(dāng) m 5 1,2,3,4,6,9,12,18,36 時(shí)，分別存在 t 43,25,19,16,13,11,10,9,8 適合題意，即存在這樣m，且符合題意的m共有 9 個(gè) 14 分例 4、【2010徐州三?！恳阎獢?shù)列a n是各項(xiàng)均不為0 的等差數(shù)列，S 為其前 n 項(xiàng)和，且滿足2 a nS 2n1，令b nan1n1，數(shù)列nb的前 n 項(xiàng)和為T . a（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為T ；（2）是否存在正整數(shù) m n (1 m n ，使得 T T m , T 成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m n 的值；若不存在，請說明理由

8、. 2 ( a 1 a 2 n 1 )(2 n 1)解：（1）因?yàn)?a n 是等差數(shù)列，由 a n S 2 n 12 (2 n 1) a n，又因?yàn)?a n 0，所以 a n 2 n 1， 2 分1 1 1 1 1b n ( )由 a a n 1 (2 n 1)(2 n 1) 2 2 n 1 2 n 11 1 1 1 1 1 nT n (1 )所以 2 3 3 5 2 n 1 2 n 1 2 n 1 6 分T n n T 1 1 , T m m , T n n(2)由(1)知，2 n 1，所以 3 2 m 1 2 n 1，2m 2 1 n m n若 T T m , T 成等比數(shù)列，則 (2 m

9、 1 )3 2 (n 1 )，即 4 m 24 m 1 6 n 3 8 分2 2m n 3 2 m 4 m 12 2解法一：由 4 m 4 m 1 6 n 3，可得 n m，2所以 2 m 4 m 1 0， 12分6 61 m 1從而：2 2，又m N ，且 m 1，所以 m 2，此時(shí) n 12故可知：當(dāng)且僅當(dāng) m 2，n 12 使數(shù)列 T n 中的 T T m , T 成等比數(shù)列。 16 分n 1 126 n 3 6 3 62 m 12解法二：因?yàn)?n，故 4 m 4 m 1 6，即 2 m 4 m 1 0， 12 分6 61 m 1從而：2 2，（以下同上）三、三個(gè)存在型變量-連續(xù)的解題思

10、路：這類問題的形式一般是， “ 是否存在連續(xù)的三項(xiàng)，恰好成等差數(shù)列（或等比數(shù)列）” ?？梢韵燃僭O(shè)存在，然后構(gòu)造一個(gè)關(guān)于單存在性變量的方程，即轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程有正整數(shù)根的問題，我們可以按照處理零點(diǎn)問題的方法（“ 解方程” 或者“ 畫圖像” ）求解。例 5、【揚(yáng)州 2010一?！恳阎獢?shù)列 na ，a n p n q n ( p 0, q 0, p q , R , 0, n N *) . 求證：數(shù)列 a n 1 pa n 為等比數(shù)列；數(shù)列 na 中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)，這三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？試說明理由；n n設(shè) A ( , n b n ) | b n 3 k , n N *，其中k為常數(shù)，且k N ，n

11、B ( , n c n ) | c n 5 , n N *，求 AB. 解：a = p nq ，n a n 1 pa n p n 1q n 1p p nq n) q n( q p ，a n 2 pa n 1q0, q 0, p q a n 1 pa n 為常數(shù)數(shù)列 a n 1 pa n 為等比數(shù)列 -4 分取數(shù)列 na 的連續(xù)三項(xiàng) a n , a n 1 , a n 2 ( n 1, n N )，2 n 1 n 1 2 n n n 2 n 2 n n 2a n 1 a a n 2 ( p q ) ( p q )( p q ) p q ( p q )，p 0, q 0, p q , 0，p q

12、n n( p q ) 20，即 a n 21 a a n 2，數(shù)列 na 中不存在連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列；-9 分當(dāng) k 1 時(shí)，3 nk n3 n1 5 n，此時(shí)B C；當(dāng) k 3 時(shí)，3 nk n3 n3 n2 3 n為偶數(shù)；而5 n 為奇數(shù)，此時(shí)B C；當(dāng) k 5 時(shí)，3 nk n5 n，此時(shí)B C；-12 分n n n當(dāng) k 2 時(shí)，3 2 5，發(fā)現(xiàn) n 1 符合要求，下面證明唯一性（即只有 n 1 符合要求）。3 n 2 nn n n ( ) ( ) 1由3 2 5 得 5 5，3 x 2 x 3 x 2 xf x ( ) ( ) ( ) f x ( ) ( ) ( )設(shè) 5 5，則

13、5 5 是R上的減函數(shù)，f x ( ) 1 的解只有一個(gè)3 n 2 n從而當(dāng)且僅當(dāng) n 1 時(shí) ( )5 ( )5 1，即3 n2 n5 n，此時(shí) B C (1,5)；當(dāng) k 4 時(shí)，3 n4 n5 n ，發(fā)現(xiàn) n 2 符合要求，下面同理可證明唯一性（即只有 n 2 符合要求）。3 n 4 n從而當(dāng)且僅當(dāng) n 2 時(shí) (5 ) (5 ) 1，即3 n4 n5 n，此時(shí) B C (2,25)；綜上，當(dāng) k 1，k 3 或 k 5 時(shí)，B C；當(dāng) k 2 時(shí)，B C (1,5)，當(dāng) k 4 時(shí)，B C (2,25)。-16 分四、三個(gè)存在型變量-不同的解題思路：這類問題的形式一般是， “ 是否存在

14、不同的三項(xiàng) ，恰好成等差數(shù)列（或等比數(shù)列）” ，不難看出，三個(gè)存在型變量均出現(xiàn)在下標(biāo)，這就等于給定了兩個(gè)隱含條件，其一，三個(gè)變量均為正整數(shù)，其二，三個(gè)變量互不相等。另外，一旦我們主動(dòng)去分析數(shù)列的單調(diào)性，那么我們就可以不妨設(shè)出這三個(gè)變量的一個(gè)大小順序。具體的，該類問題可以分成三類。其一，等差中找等比（無理有理找矛盾）例 6、【揚(yáng)州 2010三模】已知數(shù)列na滿足：na n=an+1 4,+1,n 為偶數(shù),（nN*,aR a 為常數(shù)），21。2 a n+1-an 為奇數(shù),22數(shù)列b n中，nba 2 2求a a a ；a3證明：數(shù)列b n為等差數(shù)列；14 分n1，3求證：數(shù)列b n中存在三項(xiàng)構(gòu)成等

15、比數(shù)列時(shí)，a 為有理數(shù)。解：由已知a 12a 1a1，得a 1a1，22a2a 11a144 2a 2a1a。2b na 22n12a2 2n1a1，2 a2 2a2a12( a 22n1)a12 a 2 2na12( a 22n11)anb1a 2 2n212 a 22n124242b n1b n1，又b 1a 3a ，數(shù)列nb是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列。 9分則( a證明：由知b nan1， 10 分若三個(gè)不同的項(xiàng)ai aj ak 成等比數(shù)列， i、 j 、 k 為非負(fù)整數(shù)，且ijk ，i)2( aj)(ak ，得a ik2 )j2ik ， 12 分若ik2j0，則j2ik0，得i=j

16、=k，這與ijk 矛盾。 14 分若ik2j0，則aij2ikj ，k2i、j、k為非負(fù)整數(shù)，a是有理數(shù)。 16 分例 7、等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，a112，S393 2. (1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng) an與前 n 項(xiàng)和 Sn；Sn(2)設(shè) bnn (nN*)，求證：數(shù)列 bn 中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列a121，(1)解：由已知得3a13d93 2，d2，故 an2n12，Sn n(n2)2 b qb pb r(2)證明：由 (1)得 bnSn nn2. 假設(shè)數(shù)列 bn 中存在三項(xiàng) bp、bq、br(p、q、r 互不相等 )成等比數(shù)列，則即(q2)2(p2)(r2)

17、，(q2pr)(2qpr)20. p，q，rN* ，q2pr0，2qpr0，pr 22pr，(pr)20，pr.這與 p r 相矛盾所以數(shù)列 bn 中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列其二，等比中找等差（化簡成整式，通過等式兩邊同除公比的最小次方，進(jìn)而等式兩邊，一邊為公比的倍數(shù)，另一邊不是公比的倍數(shù)，矛盾）；例 8、【無錫市 20XX 年秋學(xué)期高三期末考試】由部分自然數(shù)構(gòu)成如圖的數(shù)表，用 ija ( i j 表示第 i 行第 j 個(gè)數(shù)（,i j N ），使 *a i 1 a ii i ，每行中的其余各數(shù)分別等于其“ 肩膀” 上的兩個(gè)數(shù)的之和。設(shè)第 n n N *)行中各數(shù)之和為 nb。（1）求

18、 b ；（2）用b 表示nb1；中是否存在不同的三項(xiàng)b ，b ，rb（p q r* N ）恰好成（3）試問：數(shù)列b n等差數(shù)列？若存在，求出p ， q， r 的關(guān)系；若不存在，請說明理由。（1）b 6 94 2 分（2）b n 1 a ( n 1)1 a ( n 1)2 . a ( n 1)( n 1)n 1 ( a n 1 a n 2 ) . ( a n n 1) a nn ) n 12( a n 1 a n 2 . a nn ) 2= 2 nb 2； 6 分（3）b n 1 2 b n 2，b n 1 2 2( b n 2) 8 分所以 b n 2 是以 b 1 2 3 為首項(xiàng)， 2 為公

19、比的等比數(shù)列， 9 分n 1 n 1則 b n 2 3 2 b n 3 2 2. 11 分*若數(shù)列 b n 中存在不同的三項(xiàng) b p , b b r ( , , p q r N ) 恰好成等差數(shù)列，不妨設(shè)p q r ，顯然 b n 是遞增數(shù)列，則2 q b p b 12 分q 1 p 1 r 1即 2 2(3 2 2) (3 2 2) (3 2 2)，化簡得：q r p r2 2 2 1 （*） 14 分*由于 p q r N ，且 p q r ，知 q r 1， p r 2，所以（ *）式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故 數(shù) 列b n中 不 存 在 不 同 的 三 項(xiàng)b p,b b r( , ,

20、p q rN*)恰 好 成 等 差 數(shù)列。 16 分例 9、【20XX 屆江蘇省海安高級(jí)中學(xué)、南京外國語學(xué)校、南京市金陵中學(xué)】已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an = 2 3 3 n 1 (n N ). n + 2求數(shù)列 an 的最大項(xiàng)；an + p 設(shè) bn = an 2，試確定實(shí)常數(shù)p，使得 bn為等比數(shù)列；設(shè) m n p N * , m n p ，問：數(shù)列 an中是否存在三項(xiàng) a ，m a ，n a ，使數(shù)列 a ，m a ，n a 是等差數(shù)列？如果存在，求出這三項(xiàng)；如果不存在，說明理由 . 4解 由題意 an = 2 + 3 n 1,隨著 n 的增大而減小 ,所以 an 中的最大項(xiàng)為 a

21、1 = 4. 4 分4bn = 2 + 3 n 1 + p4 = (2 + p)(3 4 n 1) + 4 = (2 + p)3 n + (2 p)4，若 bn 為等比數(shù)列，3 n 12則 b n+1 bnbn+2= 0( n N )所以 (2 + p)3 n+1 + ( 2 p) 2 2 + p)3 n + (2 p)(2 + p)3 n+2 + (2 p) = 0(n N )，化簡得 (4 p2)(23 n+1 3 n+2 3 n ) = 0 即 (4 p 2)3 n 4 = 0,解得 p = 2. 7 分反之 ,當(dāng) p = 2 時(shí),bn = 3 n, bn 是等比數(shù)列 ;當(dāng) p = 2

22、時(shí),bn = 1, bn 也是等比數(shù)列 .所以 ,當(dāng)且僅當(dāng) p = 2時(shí) bn 為等比數(shù)列 . 10 分因?yàn)?a m 2 m 4，a n 2 n 4，a p 2 p 4，若存在三項(xiàng) a ，a ，a ，使數(shù)列 a ，3 1 3 1 3 1a ，a 是等差數(shù)列，則 2 a n a m a ，所以 2(2 n 4 ) = 2 m 4 2 p 4， 123 1 3 1 3 1分化簡得 3 (2 3 p n3 p m1) 1 3 p m2 3 n m （*），因?yàn)?m n p N *, m n p ，所以 p m p n 1，p m n m 1，所以 3 p m3 p n 13 3 p n ，3 p m

23、3 n m 13 3 n m ，（*）左邊 3 (2 n3 p n3 3 p n1) 3 ( 3 n p n1) 0，n m n m n m右邊 1 3 3 2 3 1 3 0，所以（ *）式不可能成立，故數(shù)列 an 中不存在三項(xiàng) a ，na ，a ，使數(shù)列 a ，a ，a 是等差數(shù)列 . 16 分例 10、【無錫市 2011一?！恳阎獢?shù)列a n的首項(xiàng)a 13，a n123 a n1,n1,2,a m1,as1,a n1a n5（1）求證：數(shù)列11為等比數(shù)列；na（2） 記S n111S n100，求最大的正整數(shù)na 1a2a ，若（3）是否存在互不相等的正整數(shù)m s n ，使m s n 成等

24、差數(shù)列，且成等比數(shù)列，如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由1 2 1 1 1 11解：（1）a n 1 3 3 a ，a n 1 3 a n 3， 2 分1 1 *1 0 1 0( n N )且a 1，a n， 3 分11數(shù)列 a n 為等比數(shù)列 4 分1 2 1 n 1 1 1 n1 ( ) 2 ( ) 1（2）由（ 1）可求得 a n 3 3，a n 3 5 分1 1S na 11 a 12 a 1n n 2( 13 3 123 1n ) n 2 31 313 n 1n 13 1n， 7 分1若 S n 100，則 n 13 n 100，n max 99 9 分2（3）假設(shè)存在，則

25、 m n 2 ,( s a m 1) ( a n 1) ( a s 1)， 10 分n n m s3 3 3 3 2a n n ( n 1) ( m 1) ( s 1)3 2，3 2 3 2 3 2 12 分m n s化簡得：3 3 2 3， 13 分m n m n s3 3 2 3 2 3，當(dāng)且僅當(dāng)m n 時(shí)等號(hào)成立 15 分又 m n s 互不相等，不存在 16 分其三，我們知道，既成等差又成等比的數(shù)列一定是非零的常數(shù)數(shù)列，利用這個(gè)性質(zhì)，一旦我們通過分析或者化簡得到三個(gè)存在性變量（或者他們經(jīng)過相同變換得到的三個(gè)數(shù)）既成等差又成等比，那么即可說明三者相等，而題干說了“ 互不相等”，從而找出矛盾，說明不存在。例 11、【2012上海一聯(lián)】設(shè)等比數(shù)列 a n 的前n項(xiàng)和為 S ，已知 a n 1 2 S n 2( n N * )(1)求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式；(2)在 a 與 a n 1 之間插入n