自動控制原理根軌跡小結課件

1、根軌跡概念常規(guī)根軌跡：在負反饋系統(tǒng)，開環(huán)系統(tǒng)根軌增益K*由0 變化到，閉環(huán)特征根在s平面上移動的軌跡。 根軌跡與系統(tǒng)性能（穩(wěn)定性）密切相關。廣義根軌跡：除根軌增益K*以外的其他情況下的根軌 跡稱廣義根軌跡。 參數(shù)根軌跡：在負反饋系統(tǒng)，以非根軌增益K* 為可變參數(shù)繪制的根軌跡。 零度根軌跡：在正反饋系統(tǒng)，開環(huán)系統(tǒng)根軌增益 K*由0變化到，閉環(huán)特征根在s平 面上移動的軌跡。根軌跡方程特征方程 1+G（s）H ( s ) = 01+K*=0j=1mspi(-)pi開環(huán)極點“”, 也是常數(shù)！開環(huán)零點“”,是常數(shù)！Zji=1n根軌跡增益K* ，不是定數(shù)，從0 變化這種形式的特征方程就是根軌跡方程szj(

2、-)根軌跡的模值條件與相角條件j=1mn1+K*=0(ss-zjpi)i=1-1(s-zj) (s-pj) = (2k+1) k=0, 1, 2, j=1i=1mnj=1mnK*=1ss-zjpii=1K*=mnj=1s-zjs-pii=1相角條件:模值條件:繪制根軌跡的充要條件 確定根軌跡上某點對應的K*值繪制根軌跡的基本法則1根軌跡的條數(shù)2根軌跡對稱于 軸實就是特征根的個數(shù)3根軌跡起始于,終止于j=1mnK*=1ss-zjpii=1j=1mn=ss-zjpii=11K*開環(huán)極點開環(huán)零點(nm?)舉例( )0( )4n-m條漸近線對稱于實軸,均起于a 點,方向由a確定:pi- zjn-mi=

3、1j=1nma=a=(2k+1)n-mk= 0,1,2, 5實軸上的根軌跡6根軌跡的會合與分離1 說明什么2 d的推導3 分離角定義實軸上某段右側零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該段是根軌跡j=1mi=1nd-pi11d-zj=k= 0,1,2, L=(2k+1)L,無零點時右邊為零L為來會合的根軌跡條數(shù)7與虛軸的交點可由勞斯表求出或令s=j解出8起始角與終止角根軌跡示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j同學們，頭昏了吧？根軌跡示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0n=1;d=conv(1 2 0,1 2 2);rlocus(n,d)n=1 2;d=conv(1 2 5,

4、1 6 10);rlocus(n,d)變化的參數(shù)不是開環(huán)根軌跡增益K*的根軌跡解題關鍵：要將開環(huán)傳函變形，將非開環(huán)增益的參數(shù)變換到開環(huán)增益的位置。參數(shù)根軌跡注意：該變形是在等效變換的基礎上得來的 “等效”僅在閉環(huán)極點相同這一點上成立。零度根軌跡特征方程為以下形式時，繪制零度根軌跡1、K*:0 +12、K*:0 1+零度根軌跡的模值條件與相角條件K*=mnj=1s-zjs-pii=1模值條件:(s-zj) (s-pj) = (2k+1) k=0, 1, 2, j=1i=1mn相角條件:2k零度繪制零度根軌跡的基本法則1根軌跡的條數(shù)就是特征根的個數(shù)不變！不變！2根軌跡對稱于 軸實3根軌跡起始于,終

5、止于開環(huán)極點開環(huán)零點( )0( )j=1mn=ss-zjpii=11K*不變！4n-m條漸近線對稱于實軸,起點pi-zjn-mi=1j=1nma =不變！漸近線方向:a=(2k+1)n-mk= 0,1,2, 2k5實軸上某段右側零、極點個數(shù)之和為 奇 數(shù)，則該段是根軌跡偶6根軌跡的分離點j=1mi=1nd-pi11d-zj=k= 0,1,2, L=(2k+1)L,不變！不變！7與虛軸的交點8起始角與終止角變了 舉例說明利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能例一、設反饋控制系統(tǒng)中要求：（1）概略繪制系統(tǒng)軌跡圖，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）如果改變反饋通路傳遞函數(shù)使 H(s) = 1 + 2S 試判斷 H(s) 改

6、變后系統(tǒng)的穩(wěn)定性，研究 H(s) 改變所產(chǎn)生的效應。 解：（1）系統(tǒng)無開環(huán)零點，開環(huán)極點 為： P1 = P2 = 0 , P3 = 2 , P4 = 5實軸上根軌跡區(qū)間為： 5 ， 2，0 ，0根軌跡漸近線條數(shù)為：4，且：由分離點方程：得：0 2 5無論 K* 取何值，閉環(huán)系統(tǒng)恒不穩(wěn)定（2）當H(s) = 1 + 2S 時，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中 K1* = 2K* . H(s) 的改變使系統(tǒng)增加了一個開環(huán)零點。 實軸上的根軌跡區(qū)間為： ， 5 ， 2 , 0.5 , 0 , 0 根軌跡漸近線條數(shù)為：3 且： 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為:列勞斯表 S4 1 10 K* S3 7 2K* S2 K*

7、 S當 K* = 22.75 時，勞斯表 S 行的元素全為零。由輔助方程：解得根軌跡與虛軸的交點為：S 1,2 = j2.55 .0 0.5 2 5由右圖可知 ，當 0 K* 3 時，根軌跡將有兩條分支伸向S平面的右半部，這時系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍為： 0 K 33、根據(jù)對阻尼比的要求，確定閉環(huán)主導極點 S1 , S2 的位置。 首先，在S平面上畫出 = 0.5 時的阻尼線，使其與實軸負方向的夾角為 : = cos 1 = cos 1 0.5=600 ， 阻尼線與根軌跡相交點的坐標設為S1，則從根軌跡圖上可測得：S1 = 0.33 + j0.58 與 S2 = 0.33 j0.58 利用根軌跡的模值方程可求得與S1點對應的k*值下面確定除S1 , S2極點以外的第三個極點的位置已知兩個極點 S1,2 = 0.33 j0.58 ,用綜合除法可