22李永樂數(shù)學一《六套卷》

1、考生編號姓 名2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學一模擬一考生注意事項答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生姓名和考生編號；在 答題卡指定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考 生編號信息點。選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應題號的選項上，非選擇題的答 案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內，超出答題區(qū)域書寫的 答案無效;在試題冊、草稿紙上答題無效。填（書）寫時必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清 楚;涂寫部分必須使用2B鉛筆填涂?？荚嚱Y束，將答題卡、試題冊和草稿紙按規(guī)定交回。一、選擇題：110小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.設g(

2、z)可導，且當當 0時，g(z)是工的高階無窮小，則當 f0時，必有g(z)是無窮小量.壬是無窮大量.g(z)若G(z) = g(H),則是)的高階無窮小.g山是的的高階無窮小.J 0已知1惱/工)tan工丁 arcsin工=,則lim 1 +廠壬廠;產(chǎn)=e.(B)e2.(C)e6 (D)設a” =匸卡女也，其中b為正常數(shù)，則級數(shù)工a”Jo 1 十 jcn i絕對收斂.(B)條件收斂.(C)發(fā)散.(D)收斂或發(fā)散與怡的取值有關.設S為上半球面:分+夕+：/ = l,zO.規(guī)定S的正方向向上，即正法向量與)軸成銳角，則積分U Zydz +zdx + zdxdy =(A) 2 兀.(B)一兀.(C

3、) 7T.(D)2t.2dii)i22。13(5)已知A = a是3階可逆矩陣，且丨A丨=一2,如4 =0 0 0一一3)31一 332 3陽3_則(B + AiA* )* =-1_122-TT(A)-21.(B)21(C)1.(D)-1_ 3_.3.11_T_7_已知a, ,a2 .a3，弘是3維非零向量，下列命題中錯誤的是如a ,a2 ,a：線性無關，則a, + a? 心 a2 ,ai a3線性無關.如ai a a3線性無關,則a】+ c 心 + a4 心 + a4線性無關.如切，血，心線性無關，則)(2)儼)線性無關.如a不能由at -a2 ,a3線性表示，貝0 a】a2 ,a3線性相關

4、.已知 a= (1,1,0)丁 是二次型 XAx =甘 + axe, + 2(a Djc + 4攵山3 + ：r2Jc3 的矩陣A的特征向量如(A + k!E)x = 1是橢圓柱面，則怡=一 3.(B) 一 1.(C)l.(D)3.已知P(A) = 0. 7,P(B) = 0. 9,則P(A | B)最大可能值等于寺.(B)(C)當.(D)吉.Z345已知隨機變量X與Y都服從正態(tài)分布N (/),如果Pmax(X,Y) =a(0a 10.若該檢驗問題的拒絕域為W= 滅11,其中戈=丄 X.記該檢驗問題犯第一類77 i=錯誤和第二類錯誤的概率分別為a和仇則 TOC o 1-5 h z a =PXW

5、 11 | 1O)，P= PX11|冬10.a =11 110,/?= PX11丨10.a =11 “ W 1O,0= PX 11 1 p 11,=11|“ WOO.二、填空題：1116小題，每小題5分，共30分.請把答案填在答題卡指定位置上.lim(l + s in(r/44“ + 2) =設= 巧 + L iin(z?)d血，則?扌=.J X2d.xdy 設 D = (x,y) | x2 + b 2z + 2y,貝則(工 + y2)da = .D_2 0 0一 1 0(15)已知矩陣人=0 a 2與3 =0 2_023_000_形為設“ =/ + b 巧之，則它在(1,在)點沿梯度方向的方

6、向導數(shù)為0相似，則二次型xT(A + E)x在正交變換下的標準 b_設隨機變量X和Y相互獨立,X在區(qū)間(一1,3)上服從均勻分布，PY=1 =FY= 1 =則概率PX + Y 1 =三、解答題：1722小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(本題滿分10分)設于(z) = t | x 一 t丨dr 一務，試求：J o6函數(shù)/()的極值和曲線線=/Q)的凹凸區(qū)間及拐點：(D 曲線y = /(乂)與x軸圍成的區(qū)域的面積及繞j軸旋轉所得旋轉體的體積.(本題滿分12分)計算=zdjydz + ydzdz + zd:cdy 其中(I )為z = 后 -分-b的上側；(UQ為上半橢球面面奇

7、+號+畚=1K；O)的上側.49 Zb(本題滿分12分)設fkr)在0,+x)上連續(xù)，且尸(z)d工收斂，令禺=/(nz)dz,證明：g *(a0)收斂. J oJon=1 n(200(本題滿分12分)丄-(n = 1,2,)，求極限 limz”.1 十 h”一8(21)(本題滿分12分)-1200_設人=10000012_ 0001.設勸=】，力卄1 =(I )求矩陣A的特征值、特征向量；(D)求 A.(U)矩陣A可否相似對角化，并說明理由.(22)(本題滿分12分)已知Xi ,X),，X”是來自正態(tài)總體N(O,/)容量為n(nZ2)的簡單隨機樣本，樣本均值與樣 本方差分別為來和S.已知T1

8、 = kS2/T2 =刃+層&.它們均是參數(shù)/的無偏估計.求(I)尿和爲的值；(H)D(T)和 D(T)；(皿)。和八哪個更有效.考生編號姓 名2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學一模擬二考生注意事項答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生姓名和考生編號；在 答題卡指定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考 生編號信息點。選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應題號的選項上，非選擇題的答 案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內，超出答題區(qū)域書寫的 答案無效;在試題冊、草稿紙上答題無效。填（書）寫時必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清 楚;涂寫部分必須使用2E鉛筆填涂。考試結束，將答

9、題卡、試題冊和草稿紙按規(guī)定交回。一、選擇題：110小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.丄(1)已知當z 0時，(l + sin 2x2 “ 一 e?與a ln(z+ /T+F)是等價無窮小，則(2)已知反常積分”收斂，則J 0X(A)0 a 2(B)l =f()的駐點的個數(shù)為2極值點的個數(shù)為加，曲線-=fS的拐點個數(shù)為，則(B)/ = m = 77 = 2./ y=fM(A)Z = m = n = 3.(C)Z = 3，加=2 , o = 3.(D)Z = 3= 2 , o = 1.01 !VT(4)下列命題正確的是7 (02 a 3.(D)l a 3.

10、TOC o 1-5 h z 若工“收斂，則工(一I)/”條件收斂.(B) 若lim 也 1則則收斂. n= 1= = |loo U n=oooooooo(C)若若“”收斂，則(1)1記收斂.(D)若若“”絕對收斂，則工;諂收斂.n= 1n= u=1(5)已知a, ,a2心是4元非齊次線性方程組Ax = b的3個解，且廠(A) = 3.若ai= (5,9,3,2)丁皿2 )03 = (8,13, 12,6)丁也是任意常數(shù)，則方程組Ax = b的通解是百-8 一_8一一 3 一T3 一 8 一_5一一 31913-135221395(A) 4+ k.(B)+怡.(C)+ k.(D)+ k23一12

11、1239一 1233_2_662862L 2a 2_2 a ,A*和礦分別是A和B的a a_(D) 2.a設 A =妙丁，其中 a = (l,3,2)T，0 = (a, 一 1 ,a)T = a .2 伴隨矩陣，如果r(A* )* ) = 1則a = lA)l.(B) 一 1.(C)2.已知矩陣一231 一21r-200_102_Ai =0209 人2 =0209人3 =1一 109 人4=020_00_-413_L 132_201_2則能和對角矩陣A =2相似的是(A)Ai ,人3.(B)A o A(OA2 ,A3.(D)A2 A設隨機變量XN(01)和YN(l,l),且相互獨立，則 1X=

12、-1.(C J-.(D)才. 設總體X的概率密度函數(shù)為y(Q =弓，一*h 0).記x = 丄x,和乂2 = 召總x, + x”，則有n X = n 丄；=1n(A)E(X)E(XZ),D(X1) D(X2).(B)E(X)V D(X)(C)E(X)ICX2)JDCX1) D(Xz)(D)E(X)VE(X2),D(Xi)VD(X2).二、填空題：1116小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡指定位置上./ Q 丨命(丁2 I v22 I 土 Q二元函數(shù)/(&,，)=+b八在(0,0)點是否可微？IC, +八=0(填是或否).+82ir+r+8設|廣(工)(!工收斂，廣(z)=eP - I

13、 f(_)Lc,則 |f(H)dz =.J ixkl 十 x) J1J1(工2$2 g2 4函數(shù)“ 一T+y +2)2在點P(i,i ,吃)處沿曲線:在該點處指向Z軸正向x + y = Zjc一側切線方向的方向導數(shù)為.(14)設;y 夕(乂)由 esin t y+1 C 和 jc = 一/1,/ H 0,所確定，則2 It C0 2已知實對稱矩陣A與於=23.0 C00合同，則二次型XA的規(guī)范形是3_設隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1),其分布函數(shù)為(工)，則P2(X) 0） 所圍區(qū)域繞軸旋轉所得體積與曲線夕=fS和兩坐標軸及直線工=Kt0）所圍區(qū)域的面積 之和為”，求曲線y = （ t （的

14、方程.（19）（本題滿分12分）設y（H）,g（H）在0,1上連續(xù)，在（0,1）內可導，且j= 3Jz f（x）dx試證存在兩個不同的點M 6（0,1）,使得Z（e）= gd）XQ （）.（20）（本題滿分12分）計算曲線積分/ =夕2山+ /旳+工2血,其中廠為乂2 +夕2 +云 = a2（z$0,a0）與* + y1 = oj的交線，從h軸正向看去為逆時針方向.（21）（本題滿分12分）設二次型 /（工1，攵2，広3）= ：Ar =+ az2 + 3xi 4工1 工2 8j?i jc3 4厶2工3，其中一2 是二次型矩陣A的一個特征值.（I ）求a,并用正交變換將二次型化為標準形，寫出所用

15、的正交變換.（I）求二次型y在條件&+/+& = 1下的極小值.（皿）若xr（A +是正定二次型，求怡的取值.（22）（本題滿分12分）JQQX工 0,在X =工（_0）的條件下，隨機變o ,h w o，量Y在區(qū)間（0,工）上服從均勻分布.（I ）求隨機變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度/密度 X與Y是否獨立？為什么？（U）計算條件概率PX + Y*J；（ID）證明：Z= X Y服從指數(shù)分布E（l）.模擬二第3頁（共3頁）考生編號姓 名2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學一模擬三考生注意事項答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生姓名和考生編號；在 答題卡指定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，

16、并涂寫考 生編號信息點。選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應題號的選項上，非選擇題的答 案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內，超出答題區(qū)域書寫的 答案無效;在試題冊、草稿紙上答題無效。填（書）寫時必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清 楚;涂寫部分必須使用2E鉛筆填涂?？荚嚱Y束，將答題卡、試題冊和草稿紙按規(guī)定交回。一、選擇題：110小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.(1)設有方程x3-3x + k = 0,其中k為常數(shù)，則該方程當 丨| = 2時，一個實根.(B)當 當 2時，兩個實根.(D)當k = 2時，三個實根.(2曲線夕(A)l.缶弟#的漸

17、近線條數(shù)為(B)2.(03.(D)4.(3)函數(shù)夕(a)_W5/于的反函數(shù)的二階導數(shù)券占(C)(FF?7-當M 12時，三個實根.設1是圓周乂2 + y = 1(按逆時針方向繞行)=xydy J = jyx 4dz +巧 dy,K = J xy3 dy + yx1 dz 則(A) V J K.(B)VK人(C)J IK.(D)K V J I.(5)已知維向量0可由ai ,a2,，皿線性表示，則錯誤的是 廠(a】，心2,a$) = r(i，心2，a, ,0).r(i + 0,。+0,，as + 0,0) = r(ai,0).(C”(a + 0,2 +0,，a、+0) r(i ,a2,af$)(D

18、)r(ai+0,，億 +0) = r(a】g ,a,)(6) A是3階矩陣A的二重特征值，在下列向量組中 (1,2, - 1廠，(2,4, -2)t,(0,0,0)t.(1,1,1)t,(1,2,1)t,(1, -3,5)t.有可能是入的特征向量是(A)或.(B)或.(1,0,1)丁，(2,3,2)丁，(1, 1,1)1(1,3, 2)T , (3,9, 6)T ,( 2, 6,4)T.(C)或.(D)或.已知A是4階實對稱矩陣，滿足A。+ 2A3 +A2 + 2A = O,若r(A) = 3,則A + E相似于_1一一21.(B)-2一 1-2-0.1_11(D)1111_ 0_(A)(C)

19、設隨機變量X服從(一1,1)上的均勻分布，事件A = 0X 1,B =(I X |”丹收斂；n=0(U)求該幕級數(shù)的和函數(shù)SQ).(本題滿分12分)已知方程組Ax = b為X + 2#2 m 2 m = 1， 2 勸2工2 + 心 + m = 1 ,4q 10工2+ 5工3+ 處 4 = b.(I )當a為何值時，方程組有解、無解？并在有解時求其通解.(H )求方程組滿足4 =吐的所有的解.(皿)若AVx = 0有非零解，求a.(本題滿分12分)設隨機變量X,Y相互獨立，且X的概率分布為PX = 0 =1 = 的概率密度0 W 夕 1,其他，求(I)y出現(xiàn)在其數(shù)學期望E(Y)和方差D(Y)之間

20、的概率;(n)z = x + y的概率密度fZz.考生編號姓 名2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學一模擬四考生注意事項答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生姓名和考生編號；在 答題卡指定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考 生編號信息點。選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應題號的選項上，非選擇題的答 案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內，超岀答題區(qū)域書寫的 答案無效;在試題冊、草稿紙上答題無效。填（書）寫時必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清 楚;涂寫部分必須使用2E鉛筆填涂?？荚嚱Y束，將答題卡、試題冊和草稿紙按規(guī)定交回。、選擇題：110小題，每小題5分，共50分.每小

21、題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.(1)設/(工)在2 = 0的某個鄰域內有定義,在z = 0處(A)不連續(xù).(C)可導且 /(0) = 2.(2)已知函數(shù)z =q滿足足2學+ ydx3z dy0 =0(況,卩)，則學=du(A) u.(B) uv.恤星廠1 e 山-|X0 X J 2j1J：eU) =(A)8e.(B) -4e.(4)設有命題OOOO若收a”收斂，則工 泮爲a”收斂.n= 1n= 1 yTl若正項級數(shù)工滿足足也 15 = 1(B連續(xù)但不可導.(D)可導且y(o)=17=n?.設 u = rv =- y-丄,=-對函數(shù)XZX(C) 0.(D) 1.(C)4e.(D)8e

22、.，則工Q收斂.=i/(0) = 0,若lim1 卩 cs 8= 3，則 /(j：)f Q) | ln( 1 + 嚴)dzJ 0若1im叫=Z工0,則工“與同斂散.V ”=若4= 1,2,)且丫久與刀“都收斂，貝工久收斂.n= 1n= 11則上述命題中正確的個數(shù)為(A)0(B)l(C)2.(D)3.已知的是齊次方程組Ax = 0的基礎解系，那么Ax = 0的基礎解系還可以是cti + 2必一5偽,3ai 一 a? + 4a3cti + 2a2 一,3c2 + 2a3,4偽 2ai 血ai + 2偽,33 + 7ai ,5ai 4偽a】+ 2a3,3a2 + 5偽 + a + 2a】+ a；.下

23、列矩陣A和B不相似的是已知 fit! = (1,3,5,- 1)T,2 = (2, 一 1, 一 3,4)丁心=(5,1, -1,7)T 線性相關，若 V0，Z0+%, 仇0 +,厶0 +偽仍線性相關，則 XU 依次可以是(A)l,3,5.(B)3,l,5.(C)5,1,3.(D)l,5,3.設 A,B 為隨機事件，若 P(A) = 0. 7,P(B) = C.4,P(A B) = 0. 5,則 P(B | A U B)=7254(A) -7.(B)彳.(C ) -2- (D) y-.設隨機變量X和Y均服從指數(shù)分布E(l),且X,Y相互獨立，則P1 min(X,Y) 1.(C)( 1,/ 1.

24、設 / ( r) = Jn 1| sin z,則有I - 1 I(A)兩個可去間斷點.(C) 一個可去間斷點，一個跳躍間斷點.=1則(B( x = a是/(x)的極大值點./()在工 =)的鄰域內單調.a 1,0 1.a 1 或 a = 1,“ 1.兩個無窮間斷點.(D) 一個可去間斷點，一個無窮間斷點.設=(攵 + y)3dc，N = JJ cos ;r2sin= JJ (e_x 一 l)dr,則必有| 韻+i訥 P. (B)NM P.(C)M P N. (D)N P M已知A是3階矩陣且丨A 1=一，則| (*町1 +(2A)* =(A)16.(B) 一 16.(C)256.(D) 256

25、.設 ,a2,，是維列向量，則下列命題中正確的是 若a心，中任意s 1個向量都線性無關，則向量組a ,倫，,必線性無關.若&不能由心(，ai線性表示，則向量組a皿(，a必線性無關.若ag,線性無關,則(:)(：)，(；)必線性無關.若a】心,a線性無關，則ax + a2心+ ，a + as ,as + a必線性無關*(7(已知A是3階矩陣，a,a是Ax = 0的基礎解系，a是(A + 3E)x = 0的非零解.則廠仲=人 正確的是 TOC o 1-5 h z 0-P = (a, , 5a( ,a) ,A = C _3_CP = ( + 2 ,a】a ,a) ,A = C_ 一 3_C(C( P

26、 = (a】 +a.O2，a),A=C._ 一 3_P(D) P=(a，a，a2)，A=0一3_設隨機事件A,B滿足A UB,且0 F(A) 1則必有(A)P(A)三 P(A | A U B).(B)P(A ) P(B | A).(D)P(B )=P(B |(5).隨機變量X的分布函數(shù)FQ),概率密度為fS a為常數(shù)，則不能將概率密度設成Of(j： + a).(Bta/Xor)(0/( z).(D)2/(j)F(x).將長度為1 m的木棒隨機地截成兩段，設第一段長度的g%X,第二段長度的寺為Y則X,Y0 /的相關系數(shù)卩務= TOC o 1-5 h z (A) l.(B) 誌.(C)君.(D)l

27、.3535二、填空題：111小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡指定位置上. 已知方程3工一8工一6才+2H + a =)有四個不相同的實根，則(的取值范圍為.已知 S =則廠=-(無十 1)(%十 (+ n)()3)設連續(xù)函數(shù)f(X非負，且 g幾Qdt = 2込則f心在區(qū)間0,2上的平均值為.J 0方程+b = 0 的通解為.12 F已知入=)是矩陣A = 15(的特征值,A*是A的伴隨矩陣，則齊次方程組A*x =_2 a + 32_0的通解是.市場上某產(chǎn)品由甲、乙兩廠生產(chǎn)已知甲廠和乙廠的產(chǎn)品指標服從分布函數(shù)尺(工和F2q),且甲廠的產(chǎn)量是乙廠的3倍，則從市場上任取一件產(chǎn)品，其指標服

28、從的分布函數(shù)為.三、解答題：1722小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.()7)(本題滿分10分)已知曲線:y = /(X)和J e-2 dz = 2y sin x在原點處相切，試求極限1呻儼(:士工)廣.(本題滿分12分)設拋物線y = ax2 + bx + c通過點(0,0)和(1,2),且( ),試確定a,b、c的值使該拋物線與z 軸所圍圖形D的面積最小，并求此圖形D繞直線工=2旋轉一周所得旋轉體的體積.(本題滿分12分)計算線積分I =讐貰其中L為由點A (-10)經(jīng)點B(l,0)到點C1,2)的路徑, AB為下半圓周，更為直線.（20）（本題滿分12分）設/（刃

29、=工 耳求7（攵）并討論的單調性. 紐兀_（21）（本題滿分12分）設二次型xr Ax = ax + 2x 加 + 8?2 + 2處1心 + 2oc2x3,1 o r矩陣A滿足AB = O,其中B= 0 0 0._1 0 1.（I）用正交變換化二次型xTA為標準形，并寫出所用正交變換.（U）判斷矩陣A和B是否合同，并說明理由.（皿）若二次型xT（A + 走E）x的規(guī)范形是是+ yl 一式，求k.（22）（本題滿分12分）設Xi ,X?,，X”是來自區(qū)間0,（0+叮上均勻分布的總體X的簡單隨機樣本，試求（I）參數(shù)9的矩估計量（D）參數(shù)9的最大似然估計量矗；（n）E）和 D（N）的值.考生編號姓

30、名2022年全國碩士研究生招生考試數(shù)學一模擬六考生注意事項1答題前,考生須在試題冊指定位置上填寫考生姓名和考生編號；在 答題卡指定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考 生編號信息點。選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應題號的選項上，非選擇題的答 案必須書寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內，超出答題區(qū)域書寫的 答案無效;在試題冊、草稿紙上答題無效。填（書）寫時必須使用黑色字跡簽字筆或鋼筆，字跡工整，筆跡清 楚;涂寫部分必須使用2E鉛筆填涂?？荚嚱Y束，將答題卡、試題冊和草稿紙按規(guī)定交回。、選擇題：110小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.（1）若/（工）在

31、點m處的左、右導數(shù)都存在，則/&）在點處（A）可導.（B）連續(xù).（C）不可導.（D）不一定連續(xù).（2）設 （工）=二（1 X），九 （攵）=與壯 4芒，九 （工）= sin2x 2sin jc，幾（z） =d 1+ tan z 1 + Xa/1 sin X，則當X f 0時，將/1 （x） , f2 （工），九（）,九（工）按無窮小的階數(shù)，從小到大排列為（A）/1 （工），九（工），九（工），人（攵）.（引九 （工），九 （工），九（工），）（工）.（C”4 （z） ,九 （工），九3 Q），/1 （攵）.（D） fz（X）,九（工）（工），九（X）.丁卄2（3） 設 f（工） = limQ

32、$ 0），則 /（工）在區(qū)間（0, + ）上2加+工2”（A）連續(xù).（B）有一個可去間斷點.（C）有一個跳躍間斷點.（D）有一個第二類間斷點.（4） 設函數(shù) fS 有二階導數(shù)，且 lim= = C,lim 1（ f- = 2021,則i*o la（ l 十 h）工一o 于（A）/（0）是/（&）的極大值.（B）/（0）是于（的的極小值.（C）（0,/（0）是曲線y = fCX的拐點.（D）/（0）不是 g 的極值，（0/（0）也不是曲線夕=fS的拐點.（5）設A為階矩陣，對于齊次線性方程組（I ）Ax = 0和（H）A”+，x = 0,必有（A）（II ）的解必是（I）的解,（I ）的解也是（

33、H）的解.（B）（ I ）的解必是（D ）的解，但（H）的解不是（I）的解.（0（ D ）的解必是（I ）的解，但（I ）的解不是（D）的解.（D）（1）的解不是（H）的解，（a）的解也不是（I）的解.（6）設A是mXn矩陣，矩陣A經(jīng)若干次初等行變換得到矩陣B，下列命題中錯誤的是（A）A的列向量可由B的列向量線性表示.（B）A的行向量可由B的行向量線性表示.（C）A和B的行向量組等價.（D）A的列向量子集與的對應的列向量子集同時相關（或無關）.1 一 r(7)已知A =1-1 (A)E-atT. (C)E 2aT.01 血是3維單位列向量，則與A合同的矩陣是1 0 _（B）E + mtT.（D

34、）E + 2ar.(B)P(AB) = 1 一 P(B). (D)P(A U B) 1 P(B).(8)設A,B為兩個隨機事件，且A U B,則(A)P(A B) = 1 P(A).P(忑 U B) = 1一 P(A).(9)設隨機變量X與丫相互獨立，且均服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則Pmin(X,Y) 1)的指數(shù)分布,則根據(jù)切比雪夫不等式估計+其中A為(A) P(B)吉.(C)A.(D)A2.二、填空題：11- 16小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡指定位置上. TOC o 1-5 h z (12)設 *(j)為連續(xù)函數(shù)，且 2)=b+工 j fg則/(D)=.(設為區(qū)域工2 + $2

35、 + 乂2 1，則| (fr +器 +務)=.(14)設有向量場A = x2y2zj 其散度div A在點M(),1,2)處沿方向I = 2,2, 1的方向導數(shù)羋(div A) I =dlI M(15)已知 i = (1,0, l)T,a)= (2,1,1)T ,03 = (1,1,1)T 與禹=(C,),1)T, 02 = (l,-1,0)T , 爲=(1,2,2)T是疋的兩組基.若y在這兩組基有相同的坐標，則y =.設X“X2，X”為來自標準正態(tài)總體X的簡單隨機樣本，記衣=丄 X,71 = 1S2 則 E(F)=.n 丄匸1三、解答題：1722小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或

36、演算步驟.(本題滿分10分)設函數(shù)/(工)二階可導，/(0) = 1,/(0) = 0,且對任意工C有/(c) 5/(工)+ 6于Q) ,0,證 明不等式J*(工)3尹- 2尹(工彳 0).(11)(本題滿分12分)求極限/ = limX0+才一(sin x) 工2ln(1 + 乂.(19)(本題滿分12分)設設心，)有二階連續(xù)導數(shù)，g(z“)= ie,/+b),且且守守啓圭3詈=0,證明 兀 y(j：-i)2 +ygC,y)在(0,0)取得極值，判斷此極值是極大值還是極小值，并求出此極值.(本題滿分12分)(_ -I n+l求無級數(shù)數(shù)+2E加士嚴的收斂域及和函數(shù)(本題滿分12分)設A是三階矩

37、陣，ai ,az ,a3是3維列向量，其中a3 H 0若= a ,Aa2 = a3，如Z3 = 0. (I )證明 a ,a3線性無關;(口)求矩陣A的特征值和特征向量；(H)若仙=(0,l,0)T,a2 = (l,0,0)T,a3 = (0,0,1)T,求 A,A3 和(A + E)3.(本題滿分12分)已知二維離散隨機變量(X,Y)的概率分布部分數(shù)據(jù)如下:(I)求分布中的其余數(shù)據(jù);(U)X與Y是否相互獨立？(皿)求 Cov(X,Y2).模擬一參考答案一、選擇題（1）【答案】D g（t）dtz 、【分析】由于limj = Mm卑=0,故應選（D）.工0JCzO 乙工tan arcsin 壬（

38、2）【答案】C【分析】0Hm *H)tan 無 + tan 工曲 TOC o 1-5 h z x0Xx-*0lim 2)+1 = lim七玄“工一嚴n工 工一* 02x0Hlim (tan h 工 一(arcsin 乂 一刃X0Xlim1 + /(Q)映映=limif osin工1 +Q、sin j十1 +心丿（3）【答案】A【分析】本題考查數(shù)項級數(shù)收斂性的判定，其中由定積分給出一般都用正項級數(shù)比較判別法；或者使a”能比一個收斂級數(shù)的一般項?。ɑ虻龋?，或者比一個發(fā)散級數(shù)的一般項大（或等）.因為工工$0,所以a中的被積函數(shù)有從而0 v a”fTRyJ：呂吐=# xl爲1+衛(wèi)1JC22_ 丄T壽由

39、于P級數(shù)（/ = #）寺收斂，所以原級數(shù)a收斂，即絕對收斂.應該選（A）.n= 1 7 2= 1丄丄【評注】 如果這樣放大呂-，就會選（D），得出了錯誤的結論.放大”或“縮小”是“科技含 量”很大的，要多做練習才能有所領略.（4）【答案】D【分析】 記D為工Oy平面上的圓盤，其方向規(guī)定向下（負z軸方向）.記V為上半球:*+ / i,z$0, 則根據(jù)高斯公式得jj xdydz + ydzdx + zAxAy + j xdydz + ydzdw + zdxd s+d+另一方面 JJ xdydz + ydzdx + zdxdy = 0. d+所以zdydz + ydzdx + zdxAy = s+2

40、tt.(5)【答案】A【分析】由于-2 an2 0,b0).(k + 1 0p = 2、q = 0O 00& = 3k 一 3 = 0選(D).(8)【答案】B【分析】方法一P(A | B)=P(AB)P(B)P(B) P(AB)P(B)0. 9 P(AB)0?9P(A | B)最大，即 P(AB)最小，但 P(A U B) = P(A) + P(B) P(AB)即 P(AB) = 0. 7 + 0. 9-P(A U B),P(AB) 最小，就是P(A U B最大，P(A U B)最大為1,所以P(AB最小為0. 6.PCA | B)最大可能值為氣于=答案選(B).方法二 P(A | B 最大

41、，即 P(A | B)最小，P(A | B =芋簷，也就是 P(AB)最小，P(A) = 0. 7,P(B) = 0. 9,所以P(A)最小應為0. 6,P(A | B = 罟=缶這時，P(A | B =專，答案選(B).(9)【答案】C【分析】Pmax(X,Y) = P (X p) U(丫 “)=PX “ + PY ” 一 PX ”=* + *-Pmin(X,Y) =l Pmin(X,Y) p=Pmin(X,Y) “,選(C)我們也可以這樣考慮，由于Pmax(X,Y) p = 1 max(X,Y) Wp = 1 一 XMp,)M = 1 P(AB) 其中 A = X j,B = Y)j.已知

42、 X NS，/)n(“,/),所以 P(A) = P()=寺.min(X,Y) R = 1 Pmin(X,Y) R = 1 p,Y p=1 - P(AB) = 1 P(A U B) = P(A U B)=P(A) + P(B) -P(AB) = 1 - P(AB) = x選(C).【說明】本題可以有如下的變式：已知隨機變量X與)都服從正態(tài)分布N (“,/),且PX0,Y2” =x,則PXWO,Y22； =.【答案】 記A = X- Q B = X 2血，由題設知P(AB) = a,P(A) = PX 0 = 1 PX2R = l Y2R = 1 0(匕),故 PXW 0，YW 2p = P(A

43、B) = P(A U B) = 1 - P(A U B)=1 P(A) P(B) + P(AB) =1_佇)_ l + (嚴)+a = z【評注】 選擇題可以不要求推導過程，本題X,Y不一定獨立，但如果X,Y獨立結論一定也對，故為簡化不妨 假定X,Y獨立這時，a = Pmax(X,Y) p = 1 一 Pmax(X,Y) “ = 1 一 PX “,YW”113=1 - PXW“HYWp = 1 專 X 一 = 一,而Pmin(X,Y) Wp = 1 一 Pmin(X,Y) “ = 1 一 PX “,Y R113= 1 px“py“ = i_y x* =豐所以答案必為(C).如果熟悉二維正態(tài)分布

44、的對稱性，這類題可以直接從對稱性判斷.(10)【答案】C【分析】 第一類錯誤：拒絕實際真的假設Ho(棄真)，即 a =11 | pM 10.第二類錯誤：接受實際不真的假設Ho(納偽)，即乩 真時接受了 Ho.B=呃 11 | “10.故應選(C).二、填空題(11)【答案】ef【分析】sin(KV4n2 + 2) = sin2 + 兀4?/ + 2 一 2九)=sin 兀(J 4?2 + 2 一 2n)=smlim rsin=lim n /4沖 + 2 + 2n2化丿曲+ 2 + 2”i2“=lim =”f 8/9V4 + 4+2兀2故 lim (1 + sin(G4?/ +2) = e?.(

45、12)【答案】1【分析】鳥r +如幾幾爲=】(13)【答案】5k【分析】積分域2+2+ 2$為圓域(z 1嚴+ (y 一 1嚴 2.令 X 一 1 = u,y 1 = s則JJ(x + y2 ) dzdy = JJ (% + 2u + 2 + d )dmdu = jj (2 + tj2 )dudD也+/2也+”21 = PY+ Y 1 + PY = 1,X + Y 1=PY=1,X2 + PY= 1,X 0=PY =-X 2 + PY = 1PX 0十T+Tf1-三、解答題（17）【解】（I）令H t = u則I Au.t | jc 一 Z | dz =(2 u) |由此可知*為為偶函數(shù)，且當

46、工$0時u)udu 一與一=一工2),6 0&) =空_1 =于(工-令)(z0)./J）=工丁-.令 f（X）= 0 得工=-y.令 f （工）=0 得 H = *.則f（&）在（0,）上單調減，（尋，+8 ）單調增.曲線y = /（x）在區(qū)間（0,*）是凸的，在區(qū)間（，+8）上 是凹的.由對稱性知，函數(shù)f（z）在z =士彳取極小值，/（士 -y ）=-菁，在乂 = 0處取極大值，/（0） = O曲線y = 在區(qū)間（一一#，*）上是凸的,在區(qū)間（一8, *）和（+，+）上是凹的，拐點為（士寺，一春）.（II）令fG）= 0（無Z 0），得4 = 0,工2 = 1,則所求面積為S = 2J；

47、+（乂2-無3 ）dz = 36-所求體積為V = 2兀兀：手（j?-h3皿=金.(18)【解(I工心血+ y血必+ zdzdy2xdydz + yAzAx + zAxAy jjjrdj/dz + yAzAx + zdzcly), +ss其中S為平面域X+y的下側，則由高斯公式得曲-0 ) = 2 X 討=2”. a(f)補面E和2,其中E為上半球面z=#的下側2為面上介于去+一 = 1與召+各=1之間的平面域的下側，則-f -FFJodv卜 0s+sx +% N s2n工=2 k.(利用高斯公式)(19)1證明】令處=，則dz =魚心=丄于(r)dt.從而nn Jo2又由于T2(H)dj：收

48、斂，設I f (h)cLz = A，則_8_ 4-8 _ 2當a0時,級數(shù)刀 令收斂，故級數(shù)工 牛收斂.n= 1 = 1 【評注】本題在證明過程中用到一個重要的積分不等式，即柯西積分不等式2f 一一W I /2(H)dH g2(H)dz.(20)【分析】 令/(工)=1十工，則工卄1 = *(九)，且九 0,顯然ft工)在工0處單調減，則九不具有單調性.【解】令lim九=a,則limw卄1 = lim y一，即a = ,a =由題設知工” 0,則a = 。1 ,以”f8-8”f8 1 一 工n1 一 aZZ由題設知11+又1+a逅戸 1則理苗-=0.(21)【解】(I )由特征多項式一2A-

49、1A + 1 2A- 1 一2一 1A0A 1=(入 + 2)(入 一 IP.入一 1矩陣A的特征值為入=1(三重根)和一2 當A = 1時，由(E A)兀=0,-2-200 -_ 1100000-2-0000 -E-A =-1-10 000010000-0000-得基礎解系 = (1,1,0,0)丁2 = (0,0,l,0)T. 當 A =-2 時，由(一 2E -A)x = 0,得基礎解系= (- 2,1,0,0)丁所以A = 1的特征向量為ka, + k2a2，尿不全為0,入=2的特征向量為kg，k工0.B的特征值為1,一2,特征向量依次為風=(1,1)丁02 = (-2,1)1 令卩=

50、(風，他)有 P BP = A =2，于是 P1 B p = A = ( 2)”二i-12 + (2)卄2 + (2)”C2n11寺(_2)卄1T+寺-2)土001-*(-2)”T + *(-2)”000012n001:-那么(皿)矩陣A不能相似對角化，因為入=1是A的三重特征值但入=1只有2個線性無關的特征向量.(22)【解】(I )統(tǒng)計量兀和T2都是參數(shù)/的無偏估計，所以= E(T2)=幾由題設知總體XN (0,/),故滅N(0,弓)和 y 嚴X2(”_1),且來與&相互獨立.由此得茫蘭 N (0,1),呼於.根據(jù)X2 (”)的分布性質：如果Y於(”)，則E(Y) = ”，D(Y) = 2

51、”.，而 E(S2) = D(X) = /，總之E(2)= bE(S) = 血 = a2,E(T2)= E(X2 +怠彳)=E(X2 +k2E(S2) = + k2a2 =解得d = 1,2 =nD()= D(S2)D(T2) =X2 +S2 ) = D(X2) + D(因為為學才（1）,故D（ T ）=2,即D（X2）=筈-而（也：弓空 *（”一1），故D（5弓用）=2（”一1）,即D（S）=總十y.【評注】解答本題時我們應用了下面兩個重要性質：（1）如果總體XN（,/）,樣本均值和樣本方差為滅與S ,則戈N（“，弓）和二孑和*（一1）,且滅與&相互獨立.（2）如果 丫 x（n,則 E（Y）

52、 = ”，D（Y） = 2n.如果熟知X2 （”）的上述性質，本題的D（T2）也可求解如下：工N（0,汀孚N（O,1）一、選擇題（1）【答案】D【分析】方法一模擬二參考答案HmLL+sin 2j)g_二蘭 a ln”Q+ 丿1 + / )d0ln( 1+sin _L?、e P2 lim (1n(z +1 + 兀2 ) 刃)zoaxln(l+sin 2丿)一2,e2 h ex2 1hma x-*ojCeimln(l + 血 2#) 2/4hcos 2 工2_e21 + sin 2j*工lima g*o4e?a(n+2)(n + 2)工小2亡一1 一 sin 2;*X応 cos limx-*01,

53、n = 2e2 .方法二 lim(1 + sin 2#)譽a In (z + /1 4 x2 )x-*0=lhnln(l + sin 2，) 2/ a2sin 2工F o(sin2 2X ) 2壬e 2=lma 0嚴n = 2 ,q = 2e2. 故應選(D).（2）【答案】D【分析】 由于工=0是無界點，則將原積分分為兩個反常積分匚Ml護也=皿+也血+廠（1 + *）dx.斂，由于當工當0時，ln（l+* ）尹則則反常積分J。旦L護）吐收斂可得a V 3.f+o由于反常積分IHy （當 a 1 時收斂+8 in /1 _1_ 異 去收斂，塑衛(wèi)=0,則2 I立 1皿屛且“m山（1 + ；）=+

54、*，則當當時J 呼1n（1 + sc2 ）甘由 八, i 亠十 Fz 樂，其中 a X 由于 J _ 丁乂）也發(fā)散當 2當a1時發(fā)散i+8Ji h5（1+ 疋）虹收斂，故要使反常積分旦!古壬治收斂，則la3. J1才Jo#8 1（ P A* 1 收斂，P w 1發(fā)散，心）【評注】這里用到兩個基本結論:Jhdx(P 1(心1收斂，發(fā)散.（3）【答案】C【分析】1找駐點就是找/ 0,當n N時| u | 1,從 TOC o 1-5 h z n=ln=lf8而0 =尤|“”|，則收斂，故應選（D）.【評注】其余選項都不正確.、” 8OO_8OO事實上，若取” =（_ 顯然= Y L 收斂，而2 （

55、1）1” = 藝發(fā)發(fā)散，（A）不正確. n= 1” = 1n= 11若取給=（l）nn，則Hm纟巴=Um -茸茸十=lim空 + 收斂，級數(shù)1 + 壽-令 + 收斂，則 則”收斂.而2 (= + 一 1 + * 一 * + * 一 * + =一 1 況”=另（lYn顯 ”f8 Un”-*8（ 1 ） 72”-8 n然發(fā)散，則（B）不正確，若 丫“”為正項級數(shù)，此時（B）正確.n=ln為偶數(shù)，X為奇數(shù)，此此時=寺+1+右一左+君+壽+由于級數(shù)* + + +歹級數(shù)+ + + + + +收斂；級數(shù)一 1 寺-y丄發(fā)散，則級數(shù) （- I）1諂 發(fā)散，（C）不正確. =1（5）【答案】B【分析】 因”

56、r（A） = 4 3 = 1通解形式必為a + 切.由（6 + a2）+ 2（C2 2a3）= （a, 一） + 3（a2 偽），而 5 一 a 與血心 是 Ar = 0 的解，故（5,9,3,2）丁 + 2（8,13, 12,6）丁 = 7（3,5, 3,2）T必是Ar = 0的解，于是（3,5, 3,2）丁是4c = 0的基礎解系，排除（A）（C）i +a不是是血 = b的解，排除（D）,故應選（B）.其實一（ -2偽）=a3 + （3 一心）是 Ar = b 的解，即 一（8,13, 12,6）丁 是 Ax = b 的解.(6)【答案】B【分析】 由A = 妙是秩為1的3階矩陣，則r(A

57、- ) = 0,即A* = O,于是A* B，=B，, 那么 r(A* - B* ) = r(B ) = r(B ) = 1O(B) = 2.aa2-2a + 2a2Zq + 2a2-B =a2aA2a + 22a02 a a 一 2aa-2 a + 2aa-00a 2所以a 1.r，r(A) = n,【評注】r(A* ) 1,r(A) = n 1,o,r(A) n 1.(7)【答案】C-2【分析】和對角矩陣A=2相似U矩陣的特征值是2,2, -1,且入=2有2個線性無關的特征向量.- 1一對于矩陣A】，特征值是2,2, 1而-10=2 ,n r(2E ) = 1,3 -P 3r(2E A )

58、 = r 00_0 0說明A = 2只有1個線性無關的特征向量.因此A不與A相似，排除(A)(B).那么由選項(C)(D)知矩陣玉一定和A相似.在矩陣A3的判斷上，可利用兩矩陣相似有相同的秩，從而排除或直接地，對于4是下三角矩陣，特征值是2, -1,2.-00O-且-(2E 一 A3 ) = r 130 =1,九一廠(2E A3 ) = 2.-1 3 0_即A = 2有2個線性無關的特征向量，從而AA._2 -或A4的特征值是2,3, 1故A不與 2相似.-1-【答案】B【分析】XN(0,l),YN(l,l),且X與Y相互獨立，則X + YN(l,2). X + Y的概率密度具有對稱中 心 1

59、,所以 py 1 x = px+yi=寺.【評注】 本題如果不用X + YN(l,2)具有對稱性，而直接利用公式：PY 1 X = PX + Y=r V E(X,) + 人=A + ，所以 E(X ) E(.X2).n 1 =n nn-n1D(X)= +工 D(Xj = A，D(X)= _1_2E(X,) + 彩=+ 令,D(X) D(X2),選(D).二、填空題（11）【答案】否【分析】字|=血/（m）= 0,3 工 | （0,0）jfO糾=lim（O03/（，）=O,（o,o）30夕/ （/（0,0）（學1# + 學Ay。工 I（o,o）I（o,o）J工$ + 吋不是無窮小,所以二元函數(shù)f

60、（工,）在（0,0）點不可微./I 巧.sin(Af + W)(2 + a/（12）答案】茶仏【分析】 等式= / e* +工“冷 J：/（E）dk兩端從1到+ 8積分得f+82f+(丁 丁+8x)dx = J 1 乂 e- d. + J 1 1(十7) *刃吐12d卩2它2+廠冷 2X e+ J xe dx1er 吐 =i f |7 i h(1 + h) n 1 I i=in 2.r+8ir+8r+8則 Jf(;)dj： = + In 2 j /(工)也，由此解得JX(H)dc =1(l-n2)e（13）【答案】一尋荷【分析】 曲面面+ J2 + / = 4在點P（1,1,V2）處的法線向量