2012高考湖北文科數(shù)學(xué)試題及答案(高清版)

1、北京天梯志鴻教育科技有限責(zé)任公司2012年普通高等學(xué)校夏季招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文史類(湖北卷)本試卷共22題，其中第15、16題為選考題滿分150分考試用時(shí)120分鐘一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0 x5，xN，則滿足條件ACB的集合C的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D42容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,40)的頻率為()A0.35 B0.45 C0.55 D0

2、.653函數(shù)f(x)xcos2x在區(qū)間0,2上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A2 B3 C4 D54命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是()A任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)5過(guò)點(diǎn)P(1,1)的直線將圓形區(qū)域(x，y)|x2y24分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為()Axy20 By10Cxy0 Dx3y406已知定義在區(qū)間0,2上的函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則yf(2x)的圖象為()7定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列an，f(a

3、n)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為()A B C D8設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且ABC，3b20acosA，則sinAsinBsinC為()A432 B567C543 D6549設(shè)a，b，cR，則“abc1”是“abc”的()A充分條件但不是必要條件B必要條件但不是充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要的條件10如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓在

4、扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()A BC D二、填空題：本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題5分，共25分11一支田徑運(yùn)動(dòng)隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員56人，女運(yùn)動(dòng)員42人現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的男運(yùn)動(dòng)員有8人，則抽取的女運(yùn)動(dòng)員有_人12若abi(a，b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則ab_.13已知向量a(1,0)，b(1,1)，則(1)與2ab同向的單位向量的坐標(biāo)表示為_(kāi)；(2)向量b3a與向量a夾角的余弦值為_(kāi)14若變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z2x3y的最小值是_15已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)16閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸

5、出的結(jié)果s_.17傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)他們研究過(guò)如圖所示的三角形數(shù)：將三角形數(shù)1,3,6,10，記為數(shù)列an，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列bn可以推測(cè)：(1)b2 012是數(shù)列an中的第_項(xiàng)；(2)b2k1_.(用k表示)三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟18設(shè)函數(shù)f(x)sin2xsinxcosxcos2x(xR)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，其中，為常數(shù)，且(，1)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，0)，求函數(shù)f(x)的值域19某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示

6、的幾何體，其下部是底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái)A1B1C1D1ABCD，上部是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱柱ABCDA2B2C2D2.(1)證明：直線B1D1平面ACC2A2；(2)現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理已知AB10，A1B120，AA230，AA113(單位：厘米)，每平方厘米的加工處理費(fèi)為0.20元，需加工處理費(fèi)多少元？20已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為3，前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和21設(shè)A是單位圓x2y21上的任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與

7、x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足|DM|m|DA|(m0，且m1)當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C(1)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H.是否存在m，使得對(duì)任意的k0，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由22設(shè)函數(shù)f(x)axn(1x)b(x0)，n為正整數(shù)，a，b為常數(shù)曲線yf(x)在(1，f(1)處的切線方程為xy1.(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的最大值；(3)證明：.1 D由題意可得，A1,2，B1,2,3,

8、4又ACB，C1,2或1,2,3或1,2,4或1,2,3,4，故選D項(xiàng)2 B樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10,40)的頻數(shù)為2349，故所求的頻率為.3 D令f(x)xcos2x0，得x0或cos2x0，故x0或2xk，kZ，即x0或，kZ.又x0,2，故k可取0,1,2,3，故零點(diǎn)的個(gè)數(shù)有5個(gè)4 B該特稱命題的否定為“任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”5 A當(dāng)OP與該直線垂直時(shí)，符合題意；此時(shí)kOP1，故所求直線斜率k1.又已知直線過(guò)點(diǎn)P(1,1)，因此，直線方程為y1(x1)，即xy20.6 Byf(x)yf(x)yf(x2)f(2x)yf(2x)，故選B項(xiàng)7C設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則對(duì)于f(x

9、)x2，f(an)，由等比數(shù)列得，符合題意；而對(duì)于f(x)2x和f(x)ln|x|，則f(an)2an和f(an)ln|an|.由等比數(shù)列定義得，2anan1.都不是定值，故不符合題意；而對(duì)于f(x)，則f(an)，由等比數(shù)列得，為定值，符合題意故選C項(xiàng)8D由題意可設(shè)ab1，cb1.又3b20acosA，3b20(b1)，整理得，7b227b400，解得b5，故a6，b5，c4，即sinAsinBsinCabc654.9 A (當(dāng)且僅當(dāng)“abc”時(shí)，“”成立)，反之，則不成立(譬如a1，b2，c3時(shí)，滿足，但abc1)10 A設(shè)OAOB2R，連接AB，如圖所示由對(duì)稱性可得，陰影的面積等于直角扇

10、形拱形的面積，S陰(2R)2(2R)2(2)R2，S扇(2R)2R2，故所求的概率是.11答案：6解析：設(shè)抽取的女運(yùn)動(dòng)員有x人，由題意可得，解得x6.12答案：3解析：由題意可得，3bi(abi)(1i)(ab)(ba)i，故ab3.13答案：(1)(2)解析：(1)由題意可得，2ab(3,1)，故|2ab|，即與2ab同向的單位向量為，即；(2)由題意可得b3a(2,1)，故(b3a)a2.又|b3a|，|a|1，cosb3a，a.14答案：2解析：作出可行域如圖所示，由l0：平移知過(guò)點(diǎn)A(1,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取到最小值，代入可得z2.15答案：12解析：該幾何體是由3個(gè)圓柱構(gòu)成的幾何體，故

11、體積V222112412.16答案：9解析：由程序框圖依次可得，s1，a3；n2，s4，a5；n3，s9，a7；結(jié)束，輸出s9.17答案：(1)5 030(2)解析：(1)由題意可得，a11，a23，a36，a410，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n.以上各式相加得，ana123n，故.因此，b1a410，b2a515，b3a945，b4a1055，由此歸納出b2 012a5 030.(2)b1a4，b3a9，b5a14，歸納出b2k1.18解：(1)因?yàn)閒(x)sin2xcos2xsinxcosxcos2xsin2x2sin(2x)，由直線x是yf(x)圖象的一條對(duì)稱軸，可得

12、sin(2)1.所以2k(kZ)，即(kZ)又(，1)，kZ，所以.所以f(x)的最小正周期是.(2)由yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(，0)，得f()0，即，即.故，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?9解：(1)因?yàn)樗睦庵鵄BCDA2B2C2D2的側(cè)面是全等的矩形，所以AA2AB，AA2AD又因?yàn)锳BADA，所以AA2平面ABCD連接BD，因?yàn)锽D平面ABCD，所以AA2BD因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以ACBD根據(jù)棱臺(tái)的定義可知，BD與B1D1共面又已知平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D平面ABCDBD，平面BB1D1D平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1BD于是由AA2BD，ACBD，

13、B1D1BD，可得AA2B1D1，ACB1D1.又因?yàn)锳A2ACA，所以B1D1平面ACC2A2.(2)因?yàn)樗睦庵鵄BCDA2B2C2D2的底面是正方形，側(cè)面是全等的矩形，所以S1S四棱柱上底面S四棱柱側(cè)面(A2B2)24ABAA2102410301 300(cm2)又因?yàn)樗睦馀_(tái)A1B1C1D1ABCD的上、下底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形，所以S2S四棱臺(tái)下底面S四棱臺(tái)側(cè)面(A1B1)24(ABA1B1)h等腰梯形的高2024(1020)1 120(cm2)于是該實(shí)心零部件的表面積為SS1S21 3001 1202 420(cm2)，故所需加工處理費(fèi)為0.2S0.22 420484(元

14、)20解：(1)設(shè)等差數(shù)列|an|的公差為d，則a2a1d，a3a12d，由題意得解得或所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an23(n1)3n5或an43(n1)3n7.故an3n5或an3n7.(2)當(dāng)an3n5時(shí)，a2，a3，a1分別為1，4,2，不成等比數(shù)列，不滿足條件；當(dāng)an3n7時(shí)，a2，a3，a1分別為1,2，4，成等比數(shù)列，滿足條件故|an|3n7|記數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和為Sn.當(dāng)n1時(shí)，S1|a1|4；當(dāng)n2時(shí)，S2|a1|a2|5；當(dāng)n3時(shí)，SnS2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7).當(dāng)n2時(shí)，滿足此式綜上，21解：(1)如圖1，設(shè)M(x，y)，A(x0，y0)，

15、則由|DM|m|DA|(m0，且m1)，可得xx0，|y|m|y0|，所以x0 x，|y0|y|.因?yàn)锳點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以x02y021.將式代入式即得所求曲線C的方程為x21(m0，且m1)因?yàn)閙(0,1)(1，)，所以當(dāng)0m1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(，0)，(，0)；當(dāng)m1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，)，(0，)(2)方法一：如圖2,3，k0，設(shè)P(x1，kx1)，H(x2，y2)，則Q(x1，kx1)，N(0，kx1)，直線QN的方程為y2kxkx1，將其代入橢圓C的方程并整理可得(m24k2)x24k2x1xk2x12m20.依題

16、意可知此方程的兩根為x1，x2，于是由韋達(dá)定理可得x1x2，即.因?yàn)辄c(diǎn)H在直線QN上，所以y2kx12kx2.于是(2x1，2kx1)，(x2x1，y2kx1)(，)而PQPH等價(jià)于，即2m20.又m0，所以，故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓x21上，對(duì)任意的k0，都有PQPH.圖1 圖2(0m1) 圖3(m1)方法二：如圖2,3，x1(0,1)，設(shè)P(x1，y1)，H(x2，y2)，則Q(x1，y1)，N(0，y1)因?yàn)镻，H兩點(diǎn)在橢圓C上，所以兩式相減可得m2(x12x22)(y12y22)0.依題意，由點(diǎn)P在第一象限可知，點(diǎn)H也在第一象限，且P，H不重合故(x1x2)(x1x2)0，于是由式可得.又Q，N，H三點(diǎn)共線，所以kQNkQH，即.于是由式可得.而PQPH等價(jià)于kPQkPH1，即.又m0，得.故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓x21上，對(duì)任意的k0，都有PQPH.22解：(1)因?yàn)閒(1)b，由點(diǎn)(1，b)在xy1上，可得1b1，即b0.因?yàn)閒(x)anxn1a(n1)xn，所以f(1)a.又因?yàn)榍芯€xy1的斜率為1，所以a1，即a1.故a1