中值定理以及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習題課

1、關(guān)于中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用習題課第一張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 拉格朗日中值定理 一、 微分中值定理及其應(yīng)用1. 微分中值定理及其相互關(guān)系 羅爾定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 微分中值定理的主要應(yīng)用(1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)(2) 證明恒等式或不等式(3) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第三張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月3. 有關(guān)中值問題的解題方法利用逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) .一般解題方法:證明含一個中值的等式或根的存在 ,(2) 若結(jié)論中涉及到含中

2、值的兩個不同函數(shù) ,(3) 若結(jié)論中含兩個或兩個以上的中值 ,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .多用羅爾定理,可考慮用柯西中值定理 .必須多次應(yīng)用中值定理 .(4) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多考慮用泰勒公式 ,(5) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當放大或縮小的技巧.有時也可考慮對導(dǎo)數(shù)用中值定理 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例1. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo), 且證明在內(nèi)有界. 證: 取點再取異于的點對為端點的區(qū)間上用拉氏中值定理,得(定數(shù))可見對任意即得所證 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例2. 設(shè)在

3、內(nèi)可導(dǎo), 且證明至少存在一點使上連續(xù), 在證: 問題轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)顯然在 0 , 1 上滿足羅爾定理條件,故至使即有少存在一點機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第六張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例3.且試證存在證: 欲證因 f ( x ) 在 a , b 上滿足拉氏中值定理條件,故有將代入 , 化簡得故有即要證機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第七張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例4. 設(shè)實數(shù)滿足下述等式證明方程在 ( 0 , 1) 內(nèi)至少有一個實根 .證: 令則可設(shè)且由羅爾定理知存在一點使即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第八張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于20

4、22年6月例5.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)函數(shù) f (x) 在0, 3 上連續(xù), 在(0, 3) 內(nèi)可導(dǎo), 且 分析: 所給條件可寫為(03考研) 試證必存在 想到找一點 c , 使證: 因 f (x) 在0, 3上連續(xù), 所以在0, 2上連續(xù), 且在0, 2上有最大值 M 與最小值 m, 故由介值定理, 至少存在一點 由羅爾定理知, 必存在 第九張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例6. 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且證明證:由泰勒公式得兩式相減得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月二、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1. 研究函數(shù)的性態(tài):增減 ,極值 ,凹

5、凸 ,拐點 ,漸近線 ,曲率2. 解決最值問題 目標函數(shù)的建立與簡化 最值的判別問題3. 其他應(yīng)用 :求不定式極限 ;幾何應(yīng)用 ;相關(guān)變化率;證明不等式 ;研究方程實根等.4. 補充定理 (見下頁)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十一張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè)函數(shù)在上具有n 階導(dǎo)數(shù),且則當時證: 令則利用在處的 n 1 階泰勒公式得因此時定理.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十二張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例7. 填空題(1) 設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 單調(diào)減區(qū)間為 ;極小值點為 ;極大值點為 .提

6、示:的正負作 f (x) 的示意圖. 單調(diào)增區(qū)間為 ;第十三張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 .在區(qū)間 上是凸弧 ;拐點為 提示:的正負作 f (x) 的示意圖. 形在區(qū)間 上是凹弧; 則函數(shù) f (x) 的圖 (2) 設(shè)函數(shù)的圖形如圖所示,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十四張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例8. 證明在上單調(diào)增加.證:令在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故當 x 0 時,從而在上單調(diào)增.得第十五張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例9. 設(shè)在上可導(dǎo), 且證明 f ( x ) 至多只有一個零點 . 證

7、: 設(shè)則故在上連續(xù)單調(diào)遞增,從而至多只有一個零點 .又因因此也至多只有一個零點 .思考: 若題中改為其它不變時, 如何設(shè)輔助函數(shù)?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十六張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例10. 求數(shù)列的最大項 .證: 設(shè)用對數(shù)求導(dǎo)法得令得因為在只有唯一的極大點因此在處也取最大值 .又因中的最大項 .極大值機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 列表判別:第十七張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例11. 證明證: 設(shè), 則故時, 單調(diào)增加 ,從而即思考: 證明時, 如何設(shè)輔助函數(shù)更好 ?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 提示:第十八張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于

8、2022年6月例12. 設(shè)且在上存在 , 且單調(diào)遞減 , 證明對一切有證: 設(shè)則所以當令得即所證不等式成立 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十九張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例13. 證: 只要證機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用一階泰勒公式, 得故原不等式成立.第二十張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例14. 證明當 x 0 時,證: 令則法1 由在處的二階泰勒公式 ,得故所證不等式成立 .與 1 之間)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十一張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月法2 列表判別:即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十二張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月法3 利用極值第二判別法.故也是最小值 ,因此當時即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十三張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例15. 求解法1 利用中值定理求極限原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十四張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解法2 利用泰勒公式令則原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十五張，PPT共二十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解法3 利用羅必塔法則原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十六張，