初中幾何中線段和與差最值問題教程文件

1、初中幾何中線段和與差最值問題初中幾何中線段和(差)的最值問題一、兩條線段和的最小值?；緢D形解析：一)、已知兩個(gè)定點(diǎn)：1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P,使PA+P跟?。?1)點(diǎn)AB在直線m兩側(cè)：AmB(2)點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：A壽Bm*m2、在直線mn上分別找兩點(diǎn)P、Q使PA+PQ+QB小(1)兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè):(2)一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè):(3)兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：一B*(4)、臺球兩次碰壁模型義式一：已知點(diǎn)AB位于直線m,n的內(nèi)在直線n、m分別上求點(diǎn)DE點(diǎn)，使得圍成的四ADEBWWfe.nAB*變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線mn分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA長最短n卜.二)

2、、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)：(一)動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)B在直線n上運(yùn)動(dòng)，在直線m上找一點(diǎn)FmAamY空B/*心n*nB側(cè)，nAIA邊形Bn/A.P:、P*A使PA+PBR小（在圖中畫出點(diǎn)P和點(diǎn)B)1、兩點(diǎn)在直線兩側(cè):2、兩點(diǎn)在直線同側(cè):（二）動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)點(diǎn)B在。上運(yùn)動(dòng)，在直線m上找一點(diǎn)P,和點(diǎn)B）1、點(diǎn)與圓在直線兩側(cè)：)、已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè)，且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB值最小。(原理用平移知識解)(1)點(diǎn)AB在直線m兩側(cè):A：作法：過A點(diǎn)作AC/m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQrfc,即為

3、P點(diǎn)，止匕時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。(2)點(diǎn)AB在直線m同側(cè)：: m基礎(chǔ)題1.如圖1,/AO=45,P是/AO時(shí)一點(diǎn)，PO=10,QR分別是OAOB上的動(dòng)點(diǎn)，求4PQ刖長的最小值為2、如圖2,在銳角三角形ABC中，AB=45,/BAC=45,zBAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M,N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn),則BM+MI最小值為.3、如圖3,在銳角三角形ABC中,AB=5V2,/BAC=45BAC的平分線交BC于D,MN分別是ADffiAB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN最小值是。4、如圖4所示，等邊ABC勺邊長為6,AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn).若AE=2,EM+CM1最小值為.5、

4、如圖 5,在直角梯形 ABCD, /ABC= 90 ,AD/ BG AD= 4, AB= 5, BO6、如圖6,等腰梯形ABCm，AB=AD=CD=1/ABC=60尸是上底，下底中點(diǎn)EF直線上的一點(diǎn)，則PA+PB勺最小值為7、如圖7菱形ABCDfr,AB=Z/BAD=60上是人8的中點(diǎn)，P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB勺最小值為.8、如圖8,菱形ABC的兩條對角線分別長6和8,點(diǎn)P是對角線ACt的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)MN別是邊ABBC勺中點(diǎn)，則PM+PN最小值是9、如圖9,圓柱形玻璃杯，高為12cm,底面周長為18cm,在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4

5、cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為cm10、如圖10所示，已知正方形ABCD勺邊長為8,M在DC上，且DM=2N是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則DN+MI最小值為.11、如圖11,MN是半彳全為1的。的直徑，點(diǎn)A在。上,/AMN=30,B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN一動(dòng)點(diǎn)， TOC o 1-5 h z 貝UPA+PB的最小值為()(A)2:(B)(C)1(D)2壓軸題1k1、如圖，正比例函數(shù)y1x的圖象與反比例函數(shù)yk(kw0)在第一象限的2x圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為M已知三角形OAM勺面積為1.(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)(點(diǎn)

6、B與點(diǎn)A不重合)，且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,在x軸上求一點(diǎn)P,使PA+PEft小.2、如圖，一元二次方程x22x30的二根x1,x2(x1x2)是拋物線yax2bxc與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo)，且此拋物線過點(diǎn)A(3,6).(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P,對稱軸與AC相交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M,當(dāng)MQ+M徽得最小值時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo).3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,V3),AOB勺面積是(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)求過點(diǎn)AQB的拋物線的解析式；(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C,使AOC勺周長最小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

7、若不存在，請說明理由.3c18.如圖，拋物線y=？rx+3和y軸的父點(diǎn)為A,M為OA勺中點(diǎn)，若有55動(dòng)點(diǎn)P,自M點(diǎn)處出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到x軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)E),再沿直線運(yùn)動(dòng)到該拋物線對稱軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)F),最后又沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程最短的點(diǎn)E,點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短路程的長.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角梯形OABC勺邊OAy軸的正半軸上，OCftx軸的正半軸上，OA=AB=2,OG3,過點(diǎn)B作BDLBG交OA于點(diǎn)D.將/DBCS點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點(diǎn)E和F.(1)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；(2)當(dāng)BE

8、經(jīng)過(1)中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求CF的長；，且PQ= 1,要使(3)在拋物線的對稱軸上取兩點(diǎn)P、Q(點(diǎn)Q在點(diǎn)P的上方)四邊形BCPQ勺周長最小，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo).6.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2, -3) , B(4, 1)若 C(a, 0), 口a+3 , 0)是 x 軸上”的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形ABDC勺周長最,-2 -1 OiTl23457短.l-2-7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 QCF的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3 OB=4 D為邊OB的中點(diǎn).(1)若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) CDE勺周長最小時(shí)，求點(diǎn)

9、E的坐標(biāo)；(2)若E、F為邊OA的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2當(dāng)四邊形CDEF勺周長最小時(shí),求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).二、求兩線段差的最大值問題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)基本圖形解析：1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P,使PA與PB的差最大；(1)點(diǎn)A、B在直線m同側(cè):解析：延長AB交直線m于點(diǎn)P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，PAPBAB,而PA-PB=AB：匕時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)(2)點(diǎn)A、B在直線m異側(cè):A解析：過B作關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B,連接AB交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB,PA-PB最大值為AB練習(xí)題.如圖，拋物線y=；x2x+2的頂點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)B.求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)若點(diǎn)P是

10、x軸上任意一點(diǎn)，求證：PA-PBCAB;當(dāng)PA-PB最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).如圖，已知直線y=3x+1與y軸交于點(diǎn)A,與2軸交于點(diǎn)D,拋物線y=lx2+bx+c與直線交于A、2E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)(1)求該拋物線的解析式;(2)在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M使|A砧MC的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).3、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(4,1)和(一2,5);點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：點(diǎn)P在何處時(shí)，PAPB的和為最??？并求最小值點(diǎn)P在何處時(shí)，IPA-PBI最大？并求最大值.4.如圖，直線y=/3x+2與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)A為y軸正半軸上的一點(diǎn)，OA經(jīng)過點(diǎn)B

11、和點(diǎn)O,直線BC交。A于點(diǎn)D.(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；P,使線段(2)過O,C,D三點(diǎn)作拋物線，在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)PO與PD之差的值最大？若存在，請求出這個(gè)最大值和點(diǎn)P的坐標(biāo).若不存在，請說明理由.5、拋物線的解析式為yx22x3,交x軸與A與B,交y軸于C.在其對稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使/APC周長最小，若存在，求其坐標(biāo);M,連接MC把MBOx軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到DAO(1)試直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動(dòng)，過點(diǎn)P作PQLx軸于點(diǎn)Q,連接OP若以QP、Q為頂點(diǎn)的三角形與DAOf似，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo);試問在拋物線

12、的對稱軸上是否存在一點(diǎn)T,使得|TO-TB|的值最大?7、如圖，已知拋物線G的解析式為y=-x2+2x+8,圖象與y軸交于D點(diǎn)，并且頂點(diǎn)A在雙曲線上.(1)求過頂點(diǎn)A的雙曲線解析式；(2)若開口向上的拋物線。與G的形狀、大小完全相同，并且G的頂點(diǎn)P始終在C1上，證明：拋物線G一定經(jīng)過A點(diǎn)；(3)設(shè)(2)中的拋物線C2的對稱軸PF與x軸交于F點(diǎn)，且與雙曲線交于E點(diǎn)，當(dāng)DQE、F四點(diǎn)組成的四邊形的面積為16.5時(shí)，先求出P點(diǎn)坐標(biāo)，并在直線y=x上求一點(diǎn)M使|MD-MP的值最大.48、如圖，已知拋物線y-x2bxc經(jīng)過A(3,0),B(0,4).3(1)求此拋物線解析式;(2)若拋物線與x軸的另一交

13、點(diǎn)為C,求點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)D是第二象限內(nèi)點(diǎn)，以D為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線AB相切于點(diǎn)E、F、H,問在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)一點(diǎn)P,使得|PHHPA的值最大？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由。三、其它非基本圖形類線段和差最值問題1、求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，在該三角形中，其他兩邊是已知的，則所求線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差。2、在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時(shí)需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中S123、線段之和的問題往往是將各條線段串聯(lián)起來，再連接首尾端點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短以及點(diǎn)到線的距離垂線段最短的基本依據(jù)解決。1、如圖12,在ABC中，/C=90o,AC=4,BG=2,點(diǎn)AC分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是()A.2J22B.245C020)與x軸從左到右依次8.n父于A、B兩點(diǎn)