BB6_5幾種常用的二次曲面與空間曲線

1、主講教師: 王升瑞高等數(shù)學(xué) 第二十一講1三、幾種常用的空間曲線第五節(jié)一、旋轉(zhuǎn)曲面 二、柱面幾種常用的二次曲面與空間曲線 第六章 2定義1. 一條平面曲線一、旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸 .例如 :3一、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸4一、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸5一、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸6一、旋轉(zhuǎn)曲面定義

2、以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸7一、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸8一、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸9一、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸10一、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸11一、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成

3、的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸12一、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸13一、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸14一、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸15一、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸16下面我們重點(diǎn)討論母線在坐標(biāo)面,軸是坐標(biāo)軸的故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),若點(diǎn)給定 yoz 面上曲線

4、 C: 則有則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:旋轉(zhuǎn)曲面.17同理：當(dāng)曲線繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)得旋轉(zhuǎn)曲面方程:例1. 旋轉(zhuǎn)拋物面特點(diǎn):母線C為拋物線,軸L為拋物線的對(duì)稱軸。例如:將yoz平面上的拋物線C:繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的拋物面為:例如:將yoz平面上的拋物線C:繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的拋物面為:問:此曲線若繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的是何圖形?18例2:其圖形頂點(diǎn)在z軸上(0,0,1)處,開口向下的旋轉(zhuǎn)拋物面.例3. 旋轉(zhuǎn)橢球面特點(diǎn):母線C為橢圓,軸為橢圓的對(duì)稱軸.例如:yoz面上的橢圓:繞z軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面方程:繞y軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面方程:(0,0,1)注:旋轉(zhuǎn)曲面的重要特

5、征是其兩個(gè)變量的平方項(xiàng)系數(shù)相等.19例4. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解: 在yoz面上直線L 的方程為繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為兩邊平方20例5. 求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解:繞 x 軸旋轉(zhuǎn)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為21二、柱面引例. 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程解:在 xoy 面上，表示圓C, 沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為故在空間過此點(diǎn)作圓柱面.對(duì)任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面在圓C上任取一點(diǎn) 其上

6、所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,22定義二、柱面觀察柱面的形成過程:這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 叫柱面的母線.平行于定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.23定義二、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 叫柱面的母線.24定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 叫柱面的母線.二、柱面25定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面

7、的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 叫柱面的母線.二、柱面26定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 叫柱面的母線.二、柱面27定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 叫柱面的母線.二、柱面28定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 叫柱面的母線.二、柱面29定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這

8、條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 叫柱面的母線.二、柱面30定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 叫柱面的母線.二、柱面31定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 叫柱面的母線.二、柱面32定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 叫柱面的母線.二、柱面33定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 L 所形成的

9、曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 叫柱面的母線.二、柱面34定義觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 叫柱面的母線.二、柱面35定義二、柱面觀察柱面的形成過程:平行于定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 L 所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線C叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 L 叫柱面的母線.36定義2.平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面.z 軸的平面.表示母線平行于 (且 z 軸在平面上)表示母線

10、平行于C 叫做準(zhǔn)線, l 叫做母線.37一般地,在三維空間曲面圖形的方程中缺少一個(gè)變量,柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.母線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2. 母線此方程表示柱面方程.其圖形平行于所缺變量對(duì)應(yīng)的數(shù)軸.38注:柱面方程與坐標(biāo)面上的曲線方程容易混淆,在不同的坐標(biāo)系中應(yīng)該注意。一般在xoy面上的曲線，在空間直角坐標(biāo)系中應(yīng)該表示為：而在空間坐標(biāo)系中表示柱面。例如：拋物柱面在xoz平面上的準(zhǔn)線L339三、幾種常用的空間曲線三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅 就幾種常

11、見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面. (二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )401、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x, y, z表示成參數(shù)t 的函數(shù):稱它為空間曲線的 參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度, 稱為螺距 .41例1. 將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解: (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) , (2) 將第二方程變形為故所求為得所求為422、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線 C 的一般方程為消去 z 得投影柱面則C 在xoy 面上的投影曲線 C為滿足（1）的數(shù)中的必滿足（2）式。這說明曲線

12、C上所有點(diǎn)都在（2）式所表示的曲面上。求其在 平面上的投影.432、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線 C 的一般方程為消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程44例2C 在xoy 面上的投影曲線方程為（1）（2）（3）代入（1）整理得求曲線C在xoy 面上的投影曲線方程。為投影柱面，45例3所圍的立體在xoy 面上的投影上半球面和錐面在 xoy 面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xoy 面上的投影曲線所圍之域 .區(qū)域?yàn)?46例4求曲線繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面 的交線在 xoy 平面的投影曲線方程. 解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為此曲線向 xo

13、y 面的投影柱面方程為 此曲線在 xoy 面上的投影曲線方程為 ,它與所給平面的47 (2)(1)展示空間圖形48(3)4950思考:交線情況如何?交線情況如何?5152內(nèi)容小結(jié)1. 空間曲面三元方程 球面 旋轉(zhuǎn)曲面如, 曲線繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面: 柱面如,曲面表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .532. 二次曲面三元二次方程 橢球面 拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面 雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面 橢圓錐面: 54 空間曲線三元方程組或參數(shù)方程 求投影曲線 (如, 圓柱螺線)3、幾種常用的空間曲線55斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方 程平行于 y 軸的直線 平行于 yoz 面的平面 圓心在(0,0)半徑為 3 的圓以 z 軸為中心軸的圓柱面平行于 z 軸的平面思考與練習(xí)1. 指出下列方程的圖形:56P4