北京市昌平區(qū)月高三第二次統(tǒng)一練習(xí)數(shù)學(xué)理試題含答案

1、昌平區(qū) 2016年高三年級(jí)第二次統(tǒng)一練習(xí) 數(shù)學(xué)試卷（理科） （滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間 120分鐘）2016.5考生須知：本試卷共6頁(yè)，分第卷選擇題和第卷非選擇題兩部分。答題前考生務(wù)必將答題卡上的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考試編號(hào)用黑色字跡的簽字筆填寫(xiě)。答題卡上第I卷(選擇題)必須用2B鉛筆作答，第II卷(非選擇題)必須用黑色字跡的簽字筆作答，作圖時(shí)可以使用2B鉛筆。請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)內(nèi)作答，未在對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答或超出答題區(qū)域作答的均不得分。修改時(shí)，選擇題部分用塑料橡皮擦涂干凈，不得使用涂改液。保持答題卡整潔，不要折疊、折皺、破損。不得在答題卡上做任何標(biāo)記?？荚嚱Y(jié)束后，考生務(wù)必將答題卡交

2、監(jiān)考老師收回，試卷自己妥善保存。第卷（選擇題 共40分）選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng))（1）復(fù)數(shù) A B C D（2） 已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，實(shí)軸長(zhǎng)為6，則雙曲線的漸近線方程為A B. C. D. (3) 若滿(mǎn)足則的最小值為 A B. C. D. （4）設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是直線且“”是“”的 A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件（5）如圖，過(guò)點(diǎn)和圓心的直線交于兩點(diǎn)()，與切于點(diǎn)，于，則的長(zhǎng)度為A. 1 B. C. 2 D. （6）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，否是開(kāi)始 輸出結(jié)束 如果輸出的值為3，則

3、判斷框內(nèi)應(yīng)填入的判斷條件為A. B. CD（7）已知函數(shù)f (x) 是定義在上的奇函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，f (x) 的圖象如圖所示，那么滿(mǎn)足不等式 的的取值范圍是 A. B. C. D. （8）將一圓的八個(gè)等分點(diǎn)分成相間的兩組，連接每組的四個(gè)點(diǎn)得到兩個(gè)正方形.去掉兩個(gè)正方形內(nèi)部的八條線段后可以形成一正八角星，如圖所示.設(shè)正八角星的中心為，并且 若將點(diǎn)到正八角星16個(gè)頂點(diǎn)的向量，都寫(xiě)成為的形式，則的最大值為A B. 2 C. D. 第卷（非選擇題 共110分）填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）（9）已知是等比數(shù)列()的前項(xiàng)和，若，公比 ，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 .（10）在極坐標(biāo)系中，為極點(diǎn)，點(diǎn)為

4、直線上一點(diǎn)，則 的最小值為_(kāi).(11) 如圖，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，那么_;_. (12) 某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為_(kāi).（13）2016年3月12日，第四屆北京農(nóng)業(yè)嘉年華在昌平拉開(kāi)帷幕.活動(dòng)設(shè)置了“三館兩園一帶一谷”七大板塊.“三館”即精品農(nóng)業(yè)館、創(chuàng)意農(nóng)業(yè)館、智慧農(nóng)業(yè)館；“兩園”即主題狂歡樂(lè)園、農(nóng)事體驗(yàn)樂(lè)園；“一帶”即草莓休閑體驗(yàn)帶；“一谷”即延壽生態(tài)觀光谷.某校學(xué)生準(zhǔn)備去參觀，由于時(shí)間有限，他們準(zhǔn)備選擇其中的“一館一園一帶一谷”進(jìn)行參觀，那么他們參觀的不同路線最多有_種. （用數(shù)字作答） （14）已知數(shù)列中， = 1 * GB3 若則_； = 2 * GB3 記則_.三

5、、解答題(本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)（15）（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（）寫(xiě)出函數(shù)的解析式及的值；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值. （16）（本小題滿(mǎn)分13分）為了解高一新生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，甲、乙兩校對(duì)高一新生進(jìn)行了數(shù)學(xué)測(cè)試. 現(xiàn)從兩校各隨機(jī)抽取10名新生的成績(jī)作為樣本，他們的測(cè)試成績(jī)的莖葉圖如下：甲校 乙校 5 1 9 1 1 2 4 3 3 8 4 77 4 3 2 7 7 8 8 6 5 7 8 比較甲、乙兩校新生的數(shù)學(xué)測(cè)試樣本成績(jī)的平均值及方差的大??；（只需要寫(xiě)出結(jié)論）如果將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)采用A、B、C等級(jí)制，各等級(jí)對(duì)應(yīng)的測(cè)試成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)

6、如下表：（滿(mǎn)分100分，所有學(xué)生成績(jī)均在60分以上）測(cè)試成績(jī)基礎(chǔ)等級(jí)ABC假設(shè)每個(gè)新生的測(cè)試成績(jī)互相獨(dú)立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.從甲、乙兩校新生中各隨機(jī)抽取一名新生，求甲校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)高于乙校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)的概率. （17）（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，三棱柱中，垂直于正方形所在平面，為中點(diǎn)，為線段上的一點(diǎn)（端點(diǎn)除外）， 平面與交于點(diǎn).（ = 1 * ROMAN I）若不是的中點(diǎn)，求證：;（ = 2 * ROMAN II）若是的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值;（ = 3 * ROMAN III）在線段上是否存在點(diǎn)，使得若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7、（18）（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)，且曲線與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線. 設(shè).（ = 1 * ROMAN I）求的值，及的關(guān)系式；（ = 2 * ROMAN II）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（ = 3 * ROMAN III）設(shè)，若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍（19）（本小題滿(mǎn)分13分）已知橢圓：的焦距為，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)原點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)不是橢圓的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)，連接（）求橢圓的方程及離心率；（）求證：.（20）（本小題滿(mǎn)分14分）定義表示中的最大值.已知數(shù)列，其中， .記.（ = 1 * ROMAN I）求；（ = 2 * ROMAN

8、II）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（ = 3 * ROMAN III），求的最小值.昌平區(qū) 2016年高三年級(jí)第二次統(tǒng)一練習(xí) 數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) （理科） 2016.5一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng))題號(hào) 1 2 3 4 5 6 78 答案 B A D A C BB C二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分） （9） （10） （11） ; （12） （13）144 （14）三、解答題(本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)（15）（本小題滿(mǎn)分13分）解：（I） 7分 （II）由， 9分當(dāng)時(shí)，即

9、，當(dāng)時(shí)，即， 13分（16）（本小題滿(mǎn)分13分）解： （I）兩校新生的數(shù)學(xué)測(cè)試樣本成績(jī)的平均值相同；甲校新生的數(shù)學(xué)測(cè)試樣本成績(jī)的方差小于乙校新生的數(shù)學(xué)測(cè)試樣本成績(jī)的方差. 6分 （II）設(shè)事件=“從甲、乙兩校新生中各隨機(jī)抽取一名新生，甲校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)高于乙校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)”.設(shè)事件=“從甲校新生中隨機(jī)抽取一名新生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)為A”，設(shè)事件=“從甲校新生中隨機(jī)抽取一名新生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)為B”，設(shè)事件=“從乙校新生中隨機(jī)抽取一名新生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)為B”，設(shè)事件=“從乙校新生中隨機(jī)抽取一名新生，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)為C”，根據(jù)題意，所以 .因此，從甲、乙兩校新生中各隨機(jī)抽取一名新生，甲校

10、新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)高于乙校新生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等級(jí)的概率為 13分（17）（本小題滿(mǎn)分14分）（I）證明：連接，交于點(diǎn)，連接. 在三棱柱中， 為中點(diǎn), 且為中點(diǎn)， 所以. 因?yàn)? 所以. 2分由已知，平面與交于點(diǎn)，所以從而，又， 所以,所以. 4分(II) 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示.設(shè)平面的法向量為由得,令,得. 6分 8分所以，與平面所成角的正弦值為. 9分(III) 在線段上存在點(diǎn)，使得且.理由如下：假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得設(shè),.則,. . 11分，.,解得: . 13分所以，在線段上存在點(diǎn)，使得且.14分（18）(本小題滿(mǎn)分13分）解：（ = 1 * ROMAN I）因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)，.

11、又因?yàn)榍€與曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，所以，即 4分（ = 2 * ROMAN II）由已知，.所以.設(shè)，所以，R，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù). 6分由（I）得，所以，即0是的零點(diǎn).所以，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)07分所以及符號(hào)變化如下，極小值 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.9分（ = 3 * ROMAN III）由（ = 2 * ROMAN II）知當(dāng) 時(shí)，是增函數(shù).對(duì)于任意，都有等價(jià)于，等價(jià)于當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以在上是增函?shù)，又，所以. 13分（19）（本小題滿(mǎn)分13分）解：（I）由題意知，則，所以橢圓的方程為，橢圓的離心率為. 5分（II）設(shè)，則由點(diǎn)在橢圓上，所以 = 1 * GB3 = 2 * GB3 點(diǎn)不是橢圓的頂點(diǎn)， = 2 * GB3 - = 1 * GB3 得 .法一：又且點(diǎn)三點(diǎn)共線，所以, 即 所以，即 . 13分法二：由已知與的斜率都存在，又得則，即 . 13分（20）（本小題滿(mǎn)分14分）解：（ = 1 * ROMAN I）由題意，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則. 4分（ = 2 * ROMAN II）當(dāng)時(shí)，因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí).又因?yàn)?，而，?