事件條件概率和三個基本公式

1、關于事件的條件概率和三個基本公式第一張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月1一、條件概率 對概率的討論總是相對于某個確定的條件而言的，但有時除了這個確定的條件以外，還會提出附加的條件，即已知某一事件B已經(jīng)發(fā)生，要求另一事件A發(fā)生的概率。 例如，考慮有兩個孩子的家庭，假定男女出生率相同，則兩個孩子的性別為(男,男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一樣的。 若A記為“一男一女”，則P(A)=1/2； 但如果預先知道至少有一男孩，則上述事件的概率應為2/3. 第二張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2 例如，考慮有兩個孩子的家庭，假定男女出生率相同，則兩個孩子的性別為(男,

2、男),(男,女), (女,男),(女,女)的可能性是一樣的。 若A記為“一男一女”，則P(A)=1/2； 但如果預先知道至少有一男孩，則上述事件的概率應為2/3. 我們將“已知事件 B 發(fā)生的條件下,事件 A 發(fā)生的概率”稱為條件概率，記為P (A | B)。若記B為至少有一男孩，則上述概率為第三張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月3條件概率的計算公式規(guī)定如下： 例 設袋中有7個黑球，3個白球，非還原摸取兩次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。若改為還原摸取，結(jié)果如何？ 解 設A,B分別表示第一、二次摸到白球,則 非還原:還原:第四張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6

3、月4不難驗證條件概率具有以下三個基本性質(zhì)： (1) 非負性(2) 規(guī)范性(3) 可列可加性并由此推出條件概率的其它性質(zhì)： 第五張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月5二、乘法公式由條件概率的定義：即若P(B) 0, 則 P(AB)=P(B)P(A|B)若已知P(B), P(A|B)時, 可以反求P(AB).若P(A) 0, 則 P(AB)=P(A)P(B|A)推廣到三個事件： P (A1A2An )=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)一般,與次序無關。乘法公式第六張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月6例1 解第七張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月7例2

4、 某廠產(chǎn)品的廢品率為4%,而合格品在中有75%是一等品,求一等品率. 解記A：合格品；B：一等品， 即一等品率為72%. 第八張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月8 一場精彩的足球賽將要舉行，5個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.入場券5張同樣的卡片, 只有一張上寫有“入場券”, 其余的什么也沒寫. 將它們放在一起, 洗勻, 讓5個人依次抽取.“先抽的人當然要比后抽的人抽到的機會大. ”后抽比先抽的確吃虧嗎？ 第九張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月9 到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下,每個人抽到“入場券”的概率到底有多大?“大家不必爭

5、先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到入場券的機會都一樣大.”“先抽的人當然要比后抽的人抽到的機會大。”第十張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月10用Ai表示“第i個人抽到入場券” ，i1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5 .則 表示“第i個人未抽到入場券” .因為若第2個人抽到了入場券，第1個人肯定沒抽到.由于由乘法公式 = (4/5)(1/4) 同理，第3個人要抽到“入場券”，必須第1、第2個人都沒有抽到. 因此= 1/5 .第十一張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月11這就是有關抽簽順序問題的正確解答. (4/5)(3/4)(1/3)=1/5 . 繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn),

6、每個人抽到“入場券” 的概率都是1/5.抽簽不必爭先恐后.也就是說，第十二張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月12三、全概率公式與貝葉斯公式 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率, 它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用. 綜合運用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0第十三張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月13A(即每次至多發(fā)生其中一個) (即每次至少發(fā)生其中一個) B1B2B3B4B6B7B5B8集合的劃分第十四張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月14AB1B2B3B4B6B7B5B8第十

7、五張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月15由概率的可加性及乘法公式, 有 這個公式稱為全概率公式，它是概率論的基本公式. 第十六張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月16全概率公式 利用全概率公式，可以把較復雜事件概率的計算問題，化為若干互不相容的較簡單情形，分別求概率然后求和 第十七張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月17例1 市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品,已知三家工廠的市場占有率分別為30、20、 50,且三家工廠的次品率分別為 3、3、1，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率.B1、B2 、B3分別表示買到設A:買到一件次品；解加權(quán)平均一件甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品；

8、第十八張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月18例2 袋中有a個白球b個黑球，不還原摸球兩次，問第二次摸出白球的概率為多少？解分別記A,B為第一次、第二次摸到白球，由全概率公式, 練習 求第三次摸出白球的概率.第十九張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月19解分別記A,B ,C為第一、二、三次摸到白球，由全概率公式, 練習 求第三次摸出白球的概率.第二十張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月20 在上面例1中，如買到一件次品，問它是甲廠生產(chǎn)的概率為多大？這就要用到貝葉斯公式. 在全概率公式的假定下，有 該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出. 它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下

9、，尋找導致A發(fā)生的每個原因Bk的概率.第二十一張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月21所以這件商品最有可能是甲廠生產(chǎn)的. 例3 已知三家工廠的市場占有率分別為30、20、50, 次品率分別為3、3、1.如果買了一件商品，發(fā)現(xiàn)是次品，問它是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的概率分別為多少? 0.3, 0.2, 0.50.45, 0.3, 0.25解第二十二張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月22 全概率公式可看成“由原因推結(jié)果”,而貝葉斯公式的作用在于“由結(jié)果推原因”:現(xiàn)在一個“結(jié)果”A已經(jīng)發(fā)生了，在眾多可能的“原因”中,到底是哪一個導致了這一結(jié)果？ 第二十三張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6

10、月23 在不了解案情細節(jié)(事件A)之前，偵破人員根據(jù)過去的前科，對他們作案的可能性有一個估計，設為比如原來認為作案可能性較小的某丙，現(xiàn)在變成了重點嫌疑犯.例如，某地發(fā)生了一個案件，懷疑對象有甲、乙、丙三人.丙乙甲P(B1)P(B2)P(B3)但在知道案情細節(jié)后, 這個估計就有了變化.P(B1 | A)知道A發(fā)生后P(B2 | A)P(B3 | A)偏小最大第二十四張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月24 貝葉斯公式在商業(yè)決策及其它企業(yè)管理學科中均有重要應用.有人依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計推斷方法,叫作“貝葉斯統(tǒng)計”.可見貝葉斯公式的影響.第二十五張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25 下面再舉一個例子，說明貝葉斯公式在實際問題中的作用. 解第二十六張，PPT共二十九頁，創(chuàng)作于2022年6月26 因此，雖然檢驗法相當可靠，但被診斷為患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是