2022年湖北省荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的( )A9B31C15D632已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為該拋物線上一點(diǎn)

2、，以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，則拋物線方程為（ ）ABCD3設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,拋物線C與圓交于M,N兩點(diǎn),若,則的面積為( )ABCD4已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD5若函數(shù)函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）ABCD6已知，且，則在方向上的投影為（ ）ABCD7公元前世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開(kāi)始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當(dāng)比賽開(kāi)始后，若阿基里斯跑了米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)米時(shí)，烏龜先他米，當(dāng)阿基里斯跑完下-個(gè)米時(shí)，烏龜先他米.所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏

3、龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時(shí)，烏龜爬行的總距離為（ ）A米B米C米D米8等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中，現(xiàn)將沿BD折起，則當(dāng)直線AD與平面BCD所成角為時(shí)，直線AC與平面ABD所成角的正弦值為（ ） ABCD9ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，已知，則為( )ABC或D或10已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓與雙 曲線的一條漸近線交于點(diǎn)及點(diǎn)，則雙曲線的方程為（ ）ABCD11從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)頻率分布直方圖，可知這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為ABCD12已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，

4、為圖象的對(duì)稱軸，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）國(guó)家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國(guó)青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上開(kāi)展2019年全國(guó)青少年禁毒知識(shí)答題活動(dòng)，活動(dòng)期間進(jìn)入答題專區(qū)，點(diǎn)擊“開(kāi)始答題”按鈕后，系統(tǒng)自動(dòng)生成20道題.已知某校高二年級(jí)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在這次活動(dòng)中答對(duì)的題數(shù)分別是，則這五位同學(xué)答對(duì)題數(shù)的方差是_14點(diǎn)在雙曲線的右支上，其左、右焦點(diǎn)分別為、，直線與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓相切于點(diǎn)，線段的垂直平分線恰好過(guò)點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線的斜率為_(kāi)15已知雙曲線：（，），直線：與雙曲線

5、的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn).若（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為32，且雙曲線的焦距為，則雙曲線的離心率為_(kāi).16設(shè)滿足約束條件，則的取值范圍為_(kāi).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18（12分）在中，為邊上一點(diǎn)，.（1）求；（2）若，求.19（12分）已知函數(shù)，函數(shù)（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（3）證明：當(dāng)時(shí)，.20（12分）已知

6、函數(shù), （1）當(dāng)x0時(shí)，f（x）h（x）恒成立，求a的取值范圍；（2）當(dāng)x0時(shí)，研究函數(shù)F（x）=h（x）g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）求證：（參考數(shù)據(jù)：ln1.10.0953）21（12分）如圖，平面四邊形為直角梯形，將繞著翻折到.（1）為上一點(diǎn)，且，當(dāng)平面時(shí)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)平面與平面所成的銳二面角大小為時(shí)，求與平面所成角的正弦.22（10分）已知如圖1，在RtABC中，ACB=30，ABC=90，D為AC中點(diǎn)，AEBD于E，延長(zhǎng)AE交BC于F，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示。（）求證：AE平面BCD； （）求二面角A-DC-B的余弦值； （）求三棱錐B-AEF與四

7、棱錐A-FEDC的體積的比（只需寫(xiě)出結(jié)果，不要求過(guò)程）參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框；，滿足，退出循環(huán)，因此輸出，故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2C【解析】根據(jù)拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)軸、列方程，解方程求得的值.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，由于在拋物線上，所以，由于以為圓心的圓與的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義可知，、軸，且.由于，所以直線的傾斜角為，所以，解得，

8、或（由于，故舍去）.所以拋物線的方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.3B【解析】由圓過(guò)原點(diǎn)，知中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，作出圖形，由，得，從而直線傾斜角為，寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程求出參數(shù)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得三角形面積【詳解】由題意圓過(guò)原點(diǎn)，所以原點(diǎn)是圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為，如圖，由于，點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與圓相交問(wèn)題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)是其中一個(gè)交點(diǎn)，從而是等腰直角三角形，于是可得點(diǎn)坐標(biāo)，問(wèn)題可解，如果僅從方程組角度研究?jī)汕€交點(diǎn)，恐怕難度會(huì)大大增加，甚至沒(méi)法求解4B【解析】根

9、據(jù)所給函數(shù)解析式，畫(huà)出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像，分段討論函數(shù)的零點(diǎn)情況：易知為的一個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于當(dāng)時(shí)，由代入解析式解方程可求得零點(diǎn)，結(jié)合即可求得的范圍；對(duì)于當(dāng)時(shí)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意，畫(huà)出函數(shù)圖像如下圖所示：函數(shù)的零點(diǎn)，即.由圖像可知，所以是的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，若，則，即，所以，解得；當(dāng)時(shí)，則，且若在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，則，綜上可得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫(huà)法，函數(shù)零點(diǎn)定義及應(yīng)用，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，屬于中檔題.5C【解析】轉(zhuǎn)化有1個(gè)零點(diǎn)為與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)研究臨界狀態(tài)相切時(shí)的斜率，數(shù)形結(jié)合即得解.

10、【詳解】有1個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與的圖象有1個(gè)交點(diǎn)記，則過(guò)原點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，又切線過(guò)原點(diǎn)，即，將，代入解得所以切線斜率為，所以或故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.6C【解析】由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計(jì)算【詳解】由可得，因?yàn)?，所以故在方向上的投影為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵7D【解析】根據(jù)題意，是一個(gè)等比數(shù)列模型，設(shè)，由，解得，再求和.【詳解】根據(jù)題意，這是一個(gè)等比數(shù)列模型，設(shè)，所以，解得，所以 .故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的實(shí)際

11、應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于中檔題.8A【解析】設(shè)E為BD中點(diǎn)，連接AE、CE，過(guò)A作于點(diǎn)O，連接DO，得到即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，根據(jù)題中條件求得相應(yīng)的量，分析得到即為直線AC與平面ABD所成角，進(jìn)而求得其正弦值，得到結(jié)果.【詳解】設(shè)E為BD中點(diǎn)，連接AE、CE，由題可知，所以平面，過(guò)A作于點(diǎn)O，連接DO，則平面，所以即為直線AD與平面BCD所成角的平面角，所以，可得，在中可得，又，即點(diǎn)O與點(diǎn)C重合，此時(shí)有平面，過(guò)C作與點(diǎn)F，又，所以，所以平面，從而角即為直線AC與平面ABD所成角，故選：A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面圖形翻折問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面角的正弦值的求解

12、，在解題的過(guò)程中，注意空間角的平面角的定義，屬于中檔題目.9D【解析】由正弦定理可求得，再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.10C【解析】根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程：，再將點(diǎn)代入可得，連接，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，從而可求出，再由即可求解.【詳解】由雙曲線，則漸近線方程：， 連接，則，解得，所以，解得.故雙曲線方程為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線的漸近線求法，屬于中檔題.11C【解析】由題可得，解得，則，所以這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為，故

13、選C12B【解析】由題意可得，且，故有，再根據(jù)，求得，由可得的最大值，檢驗(yàn)的這個(gè)值滿足條件【詳解】解：函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，且，、，即為奇數(shù)在，單調(diào)，由可得的最大值為1當(dāng)時(shí)，由為圖象的對(duì)稱軸，可得，故有，滿足為的零點(diǎn)，同時(shí)也滿足滿足在上單調(diào)，故為的最大值，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。132【解析】由這五位同學(xué)答對(duì)的題數(shù)分別是，得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則方差14【解析】如圖，是切點(diǎn)，是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以，又，根?jù)雙曲線的定義，有，即，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，所以，因此.

14、15或【解析】用表示出的面積，求得等量關(guān)系，聯(lián)立焦距的大小，以及，即可容易求得，則離心率得解.【詳解】聯(lián)立解得.所以的面積，所以.而由雙曲線的焦距為知，所以.聯(lián)立解得或故雙曲線的離心率為或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力以及函數(shù)與方程思想，屬中檔題.16【解析】由題意畫(huà)出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，數(shù)形結(jié)合即可得到的最值，即可得解.【詳解】由題意畫(huà)出可行域，如圖：轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，通過(guò)平移直線，數(shù)形結(jié)合可知：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線截距最大，z最??；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線截距最小，z最大.由可得，由可得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了

15、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（1）（2）存在；實(shí)數(shù)的取值范圍是【解析】（1）根據(jù)橢圓定義計(jì)算，再根據(jù)，的關(guān)系計(jì)算即可得出橢圓方程；（2）設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，求出的范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出的中垂線與軸的交點(diǎn)橫，得出關(guān)于的函數(shù)，利用基本不等式得出的范圍【詳解】（1）由題意可知，又，橢圓的方程為：（2）若存在點(diǎn)，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，則為線段的中垂線與軸的交點(diǎn)設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組，消元得：，又，故由根與系數(shù)的關(guān)系可得，設(shè)的中點(diǎn)為，則，線段的中垂線方程為：，令可

16、得，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，且的取值范圍是，【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力18（1）；（2）4【解析】（1），利用兩角差的正弦公式計(jì)算即可；（2）設(shè)，在中，用正弦定理將用x表示，在中用一次余弦定理即可解決.【詳解】（1），所以， .（2），設(shè)，在中，由正弦定理得，.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.19（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求出的定義域，導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)、分類討論得到答案.（2）設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)說(shuō)明函數(shù)的單

17、調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得證.（3）由（1）可知，可得，即又即可得證.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)?，?dāng)，時(shí)，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：設(shè)函數(shù)，則.因?yàn)椋?，則，從而在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）證明：當(dāng)時(shí)，.由（1）知，所以，即.當(dāng)時(shí)，則，即，又，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.20（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【解析】（1）令H（x）=h（x）f（x）=ex1aln（x+1）（x0），求得導(dǎo)數(shù)，討

18、論a1和a1，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，由恒成立思想可得a的范圍；（2）求得F（x）=h（x）g（x）的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，判斷F（x）的單調(diào)性，討論a1，a1，F(xiàn)（x）的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，ex1+ln（x+1）對(duì)x0恒成立，令；由（2）知，當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)x0恒成立，令，結(jié)合條件，即可得證【詳解】（）解：令H（x）=h（x）f（x）=ex1aln（x+1）（x0），則，若a1，則，H（x）0，H（x）在0，+）遞增，H（x）H（0）=0，即f（x）h（x）在0，+）恒成立，滿足，所以a1； 若a1，H（x）=ex在0，+）遞增，H（x）H（0）=1a，且1a0，且x+時(shí)，H（x

19、）+，則x0（0，+），使H（x0）=0進(jìn)而H（x）在0，x0）遞減，在（x0，+）遞增，所以當(dāng)x（0，x0）時(shí)H（x）H（0）=0，即當(dāng)x（0，x0）時(shí)，f（x）h（x），不滿足題意，舍去；綜合，知a的取值范圍為（，1（）解：依題意得，則F（x）=exx2+a，則F（x）=ex2x0在（，0）上恒成立，故F（x）=exx2+a在（，0）遞增，所以F（x）F（0）=1+a，且x時(shí)，F(xiàn)（x）；若1+a0，即a1，則F（x）F（0）=1+a0，故F（x）在（，0）遞減，所以F（x）F（0）=0，F(xiàn)（x）在（，0）無(wú)零點(diǎn)； 若1+a0，即a1，則使，進(jìn)而F（x）在遞減，在遞增，且x時(shí)，F(xiàn)（x）在上有

20、一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，故F（x）在（，0）有一個(gè)零點(diǎn)綜合，當(dāng)a1時(shí)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a1時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)（）證明：由（）知，當(dāng)a=1時(shí)，ex1+ln（x+1）對(duì)x0恒成立，令，則即； 由（）知，當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)x0恒成立，令，則，所以；故有【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，考查分類討論思想方法，以及運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，它和方程的根的問(wèn)題，和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題是同一個(gè)問(wèn)題，可以互相轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，如果是一個(gè)常函數(shù)一個(gè)含自變量的函數(shù)，注意讓含有自變量的函數(shù)式子盡量簡(jiǎn)單一些21（1）；（2）.【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用線面平行的性質(zhì)定理可推導(dǎo)出，然后利用平行線分線段成比例定理可求得的值；（2）取中點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作，則，作于，連接，推導(dǎo)出，可得出為平面與平面所成的銳二面角，由此計(jì)算出、，并證明出平面，可得出直線與平面所成的角為，進(jìn)而可求得與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，平面，平面，平面平面，在梯形中，則，所以，；（2）取中點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作，則，作于，連接. 為的中點(diǎn)，且，且，所以，四