人教版八年上13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題第一課時(shí)

1、第十三章 軸對稱13.4 課題學(xué)習(xí) -最短路徑問題 桑樹坪學(xué)校 羅 毅觀察發(fā)現(xiàn)AB觀察發(fā)現(xiàn) 如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？復(fù)習(xí)引入線段公理：兩點(diǎn)之間，線段最短.垂線段性質(zhì)：垂線段最短.AB最短路徑問題BAl兩點(diǎn)的所有連線中，( )最短。 連接直線外一點(diǎn)與直線的所有連線中，( )最短。()兩點(diǎn)在一條直線異側(cè) 已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)， 在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小,怎么作？連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)P ，P點(diǎn)即為所求。ABP為什么這樣做？兩點(diǎn)之間線段最短。() 兩點(diǎn)在一條直線同側(cè) 如圖，牧馬人從A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊 L 飲

2、馬，然后到B 地牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？ 思考：你能把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎？ABllABCC分析：轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 當(dāng)點(diǎn)C 在直線 L的什么位置時(shí)，AC與BC的和最?。繂栴}1 如圖，點(diǎn)A、B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在 l 上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離的和最短？聯(lián)想：兩點(diǎn)之間，線段最短.？lABC（1）這兩個(gè)問題之間，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？（2）我們能否把A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線L 的異側(cè)呢？ （3）利用什么知識可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化目標(biāo)？分析：lABClABClABCB 如下左圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線 L 的對稱點(diǎn)B .當(dāng)點(diǎn)C在直線L的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？

3、如上右圖，在連接AB兩點(diǎn)的線中，線段AB最短. 因此，線段AB與直線 L 的交點(diǎn)C 的位置即為所求.lABCB 在直線 l 上任取另一點(diǎn)C ，連接AC 、BC 、B C 直線 l 是點(diǎn)B、B的對稱軸， 點(diǎn)C、C在對稱軸上，BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB在ABC中，AB AC+BC， AC+BC AC+BC，即AC+BC最小lBABCC證明：如圖. 1、問題：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)水站，向居民區(qū)A、B 提供水，水站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B 到它的距離之和最短 練習(xí)：請同學(xué)們自己動手試一試！只有A、C、B在一直線上時(shí)，才能使AC +BC最小作點(diǎn)A關(guān)于直線“街道”的

4、對稱點(diǎn)A，然后連接AB，交“街道”于點(diǎn)C，則點(diǎn)C 就是所求的點(diǎn) 證明：（學(xué)生完成）2如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑 答：作Q關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)Q，連接PQ交BC于R，旅游船線路：PQRP.問題1 歸納lABCBlABC 抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實(shí)際問題ABllABC問 題 2 （造橋選址問題）如圖，A和B兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.） 思考：你能把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題嗎？ 如圖假定任選位

5、置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑AM+MN+BN，那么折線AMNB在什么情況下最短呢？分析：aBAbMN 由于河寬MN是固定的，因此當(dāng)AM+NB最小時(shí)，AM+MN+NB最小。分析：lABCaBAbMNA 如左圖，如果將點(diǎn)A沿與河岸垂直的方向平移到點(diǎn)A，使AA等于河寬，則AA=MN，AM=AN，問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AN+NB最??？最終轉(zhuǎn)化為如右圖的問題。參考右圖，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”可以解決. 如圖，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA等于河寬，連接AB交河岸于點(diǎn)N，在點(diǎn)N處造橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.aBAbMNA解：另任意造橋MN，連接AM、B

6、N、AN.由平移性質(zhì)可知，AMAN，AMAN，AAMNM N.AM+MN+BNAA+AB， AM+MN+BNAA+AN+BN.在ANB中，由線段公理知AN+BN AB，AM +MN +BN AM+MN+BN.證明：aBAbMNANM問題2 歸納抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實(shí)際問題lABC小結(jié)歸納lABClABCB轉(zhuǎn)化軸對稱變換平移變換兩點(diǎn)之間，線段最短. 你也許很喜歡臺球，在玩臺球過程中也用到數(shù)學(xué)知識.如圖，四邊形ABCD是長方形的球桌臺面，有兩個(gè)球分別位于P、Q兩點(diǎn)上，先找出P點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)P，連接PQ交BC于M點(diǎn)，則P處的球經(jīng)BC反彈后，會擊中Q處的球. 請回答：如果使P球先碰撞臺邊BC反彈碰撞臺邊AD后，再擊中Q球，該如何撞擊呢?（畫出圖形）2.選做作業(yè)ACDBPQAC