中考數(shù)學 專題08 存在性-等腰三角形（解析版）

1、中考數(shù)學壓軸題-二次函數(shù)-存在性問題第1節(jié) 等腰三角形的存在性 方法點撥“兩圓一線”得坐標：（1）以點A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有AB=AC；（2）以點B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點即為滿足條件的點C，有CA=CB幾何法：（1）兩圓一線作出點；（2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長，由線 段長得點坐標代數(shù)法：（1）表示出三個點坐標A、B、C；（2）由點坐標表示出三條線段：AB、AC、BC；（3）分類討論AB=AC、AB=BC、AC=BC；（4）列出方程求解 例題演練 例1如圖，拋物

2、線yax2x+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，連接AC，已知B（1，0），且拋物線經(jīng)過點D（2，2）（1）求拋物線的解析式；（2）若點E是拋物線上位于x軸下方的一點，且SACESABC，求E的坐標；（3）若點P是y軸上一點，以P、A、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，求P點的坐標【解答】解：（1）把B（1，0），D（2，2）代入yax2x+c得，解得：故拋物線的解析式為yx2x2；（2）當y0時，x2x20，解得x11，x23，A（3，0），AB4，當x0時，y2，C（0，2），OC2，SABC424，設AC的解析式為ykx+b，把A（3，0），C（0，2）代入ykx+b得，解得yx2

3、，如圖1，過點E作x軸的垂線交直線AC于點F，設點F（a，a2），點E（a，a2a2），其中1a3，SACEEF|a2a|，SACESABC，a23a2或a2+3a2，解得a1（舍去），a2，a31，a42，E1（，），E2（1，），E3（2，2）；（3）在yax2+bx2中，當x0時，y2，C（0，2），OC2，如圖2，設P（0，m），則PCm+2，OA3，AC，當PACA時，則OP1OC2，P1（0，2）；當PCCA時，即m+2，m2，P2（0，2）；當PCPA時，點P在AC的垂直平分線上，則AOCP3EC，P3C，m，P3（0，），當PCCA時，m2，P4（0，2）綜上所述，P點的坐標（

4、0，2）或（0，2）或（0，）或（0，2）例2已知拋物線與x軸交于點A（2，0）、B（3，0），與y軸交于點C（0，4）（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是拋物線上位于第一象限內的一點，當四邊形ABPC的面積最大時，求出四邊形ABPC的面積最大值及此時點P的坐標（3）如圖2，將拋物線向右平移個單位，再向下平移2個單位記平移后的拋物線為y，若拋物線y與原拋物線對稱軸交于點Q點E是新拋物線y對稱軸上一動點，在（2）的條件下，當PQE是等腰三角形時，求點E的坐標【解答】解：（1）拋物線與x軸交于點A（2，0）、B（3，0），可設拋物線的解析式為：ya（x+2）（x3）（a0），把C（0，4）

5、代入ya（x+2）（x3）（a0）中，得46a，a，拋物線的解析式為：y，即y+；（2）設P點的坐標為（t，），過點P作PMx軸，與BC交于點M，如圖1，設直線BC的解析式為ykx+b（k0），則，解得，直線BC的解析式為：y，M（t，），t2+3t，S四邊形ABPCSAOC+SBOC+SBPC，當t時，S四邊形ABPC的最大值為，此時P點的坐標為（，）；（3）將拋物線向右平移個單位，再向下平移2個單位記平移后的拋物線為y，y的解析式為y（x）2+（x）+42，即yx2+x+，拋物線y的對稱軸為x1，拋物線y+（x）2+，拋物線y+的對稱軸為直線x，把x代入yx2+x+，中，得y2，Q點的坐標

6、為（，2），設E的坐標為（1，n）當PEQE時，則PE2QE2，即，解得，n，E（1，）（不合題意舍棄，此時P，E，Q共線），當PQQE時，則PQ2QE2，即，解得，n2，E點的坐標為（1，2+）或（1，2）；當PQPE時，則PQ2PE2，即，解得，n，點E的坐標為（1，）或（1，）綜上，當PQE是等腰三角形時，點E的坐標為（1，2+）或（1，2）或（1，）或（1，）例3在平面直角坐標系xOy中，拋物線yax2+x+c與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），其中A（，0），tanACO（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點D為直線BC上方拋物線上一點，連接AD、BC交于點E

7、，連接BD，記BDE的面積為S1，ABE的面積為S2，求的最大值；（3）如圖2，將拋物線沿射線CB方向平移，點C平移至C處，且OCOC，動點M在平移后拋物線的對稱軸上，當CBM為以CB為腰的等腰三角形時，請直接寫出點M的坐標【解答】解：（1）A（，0），AO|，tanACO，CO3，C（0，3），將A、C的坐標代入yax2+x+c得，拋物線的解析式為：yx2+x+3；（2）如答圖1，過D作DGx軸于點G，交BC于F，過A作AKx軸交BC延長線于K，設直線BC解析式為：ykx+b，由（1）yx2+x+3得B（ 3，0），將B（ 3，0）、C（0，3）分別代入ykx+b得：，解得，直線BC解析式為

8、：yx+3，A（，0），故K的橫坐標xk，代入yx+3得yk4，K（，4），AK4，設D（m，m2+m+3），則F（m，m+3），DFm2+m，DGx軸于點G，AKx軸，AKDG，AKEDFE，將BDE、ABE分別看作DE、AE為底邊，則它們的高相同，m2+m（m）2+，m時，有最大值，最大值為；（3）如答圖2，連接OC，過C作CFy軸于F，由拋物線的解析式y(tǒng)x2+x+3知其頂點為（，4），OC3，OB3，tanBCO，BC6，BCO60，OCOC，COC是等邊三角形，CC3，BC3，RtCFC中可得CF，CF，原拋物線的平移是相當于向右平移個單位再向下平移個單位，且FO，平移后拋物線頂點為（

9、，），對稱軸是x，C（，），M在平移后拋物線的對稱軸上，設M（，m），又CBM為以CB為腰的等腰三角形，可分兩種情況：CM，CB3，則3，解得m或m，M（，）或M（，），BMCB3，則，解得m或m，M（，）或M（，），綜上所述，CBM為以CB為腰的等腰三角形，則M（，）或M（，）或M（，）或M（，），故答案為：M（，）或M（，）或M（，）或M（，）例4如圖，拋物線yax2+bx+3與x軸交于A，B兩點，且點B的坐標為（2，0），與y軸交于點C，拋物線對稱軸為直線x連接AC，BC，點P是拋物線上在第二象限內的一個動點過點P作x軸的垂線PH，垂足為點H，交AC于點Q過點P作PGAC于點G（1）求拋

10、物線的解析式（2）求PQG周長的最大值及此時點P的坐標（3）在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q，使得以B，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請寫出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）拋物線yax2+bx+3過點B（2，0），對稱軸為直線x，解得，yx2x+3（2）令y0，即x2x+30，x13，x22，A（3，0），令x0，得C（0，3），直線AC經(jīng)過A（3，0），C（0，3），設直線AC的解析式為：ykx+b，則，直線AC的解析式為yx+3，BAO45，PHAO，PGAB，AQHPQGQPG45，PQG是等腰直角三角形，設P（m，m2m+3），Q（m，m+3），

11、PQm2m+3m3m2m，當m時，PQmax，此時P（，），PQG是等腰直角三角，PQG周長m2m+（m2m），（+1）（m2m），（+1）PQ，PFG周長的最大值為：（+1）（3）B（2，0），C（0，3），Q（m，m+3），由兩點間距離公式可求得：CQ22m2，CB213，BQ22m2+2m+13，當CQCB時，2m213，m1（舍去），m2，Q1（，+3）；當BQCB時，2m2+2m+1313，m10（舍去），m21，Q2（1，2）；當CQBQ時，2m2+2m+132m2，2m+130，m，Q3（，）（不合題意舍去），綜上所述，當Q1（，+3），Q2（1，2）時，以B，C，Q為頂點的三角

12、形是等腰三角形練1.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yx2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（點B在點A的左側），直線BC的解析式為yx+3（1）求拋物線的解析式；（2）過點A作ADBC，交拋物線于點D，點E為直線BC上方拋物線上一動點，連接CE，EB，BD，DC求四邊形BECD面積的最大值及相應點E的坐標；（3）在（2）中，當四邊形BECD的面積最大時，將拋物線向左平移1個單位，記平移后C、E的對應點分別為C、E，在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使以C、E、M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）將x0，y0分別代入yx+

13、3，得：B（3，0），C（0，3），拋物線過點B、點C，將其分別代入拋物線yx2+bx+c，得：，解得：，該拋物線得解析式為：yx22x+3；（2）如圖，設DC交x軸于點F，過點E作EGy軸交BC于點G，將y0代入拋物線yx22x+3得：A （1，0），因為ADBC，可得直線AD的表達式為：yx1，聯(lián)立可得D （4，5）， 由C（0，3）D（4，5）得直線CD的表達式為：y2x+3，F(xiàn)（），則BF，設E（x，x22x+3），則G（x，x+3）EG（x22x+3）（x+3）x23x，四邊形BECD的面積 SSEBC+SBCDEG，S有最大值， 當時，S的最大值為，此時點E的坐標為（）；（3）存在

14、，由題知平移后E（，），C（1，3），設M點的坐標為（2，y），當MEMC時，ME2MC2，即（2+）2+（y）2（2+1）2+（y3）2，解得y，M1（），當CEEM時，CE2EM2，即（+1）2+（3）2（2+）2+（y）2，解得y1，y2，M2（2，），當CEMC時，同理得（+1）2+（3）2（2+1）2+（y3）2，解得y33+，y43， 綜上M1（），M2（2，），練2.如圖，拋物線yax2+bx+與x軸交于點A、B（點A在點B左側），與直線交于點A，C，其中A（7，0），C（1，6）（1）求拋物線與直線的解析式；（2）如圖，P為直線AC上方拋物線上的動點，過P作PQAC于Q，當PQ

15、的長度最大時，在x軸上取兩個動點M、N，使MN2，連接PM、CN，求PM+MN+NC的最小值；（3）如圖，拋物線的對稱軸與x軸交于點D，將直線AC向下平移一個單位得到直線AC，直線AC與拋物線的對稱軸交于點G，將ADG繞點A順時針旋轉（0180），旋轉過程中的ADG記為ADG，設直線DG交直線AC于點T，當AGT為等腰三角形時，直接寫出T的坐標【解答】解：（1）拋物線yax2+bx+經(jīng)過A（7，0），C（1，6），解得：，拋物線解析式為yx23x+；設直線AC的解析式為ymx+n，將A（7，0），C（1，6）代入，得：，解得：，直線AC的解析式為：yx+7；（2）設P（t，t23t+），如圖，

16、作PEy軸交直線AC于E，設直線AC與y軸交于D（0，7），E（t，t+7），PEt23t+（t+7）t24t，A（7，0），D（0，7），OA7，OD7，AC7，PEy軸，PEQADO，PQAC，PQEAOC90，PQEAOC，即，PQ（t24t）t22t（t+4）2+，0，7t1，當t4時，PQ有最大值，此時P（4，）；作點C關于x的對稱點C，則C（1，6），將C點向左平移2個單位得C，則C（3，6），連接PC則PC與x軸交于點M則PM+MN+CNPC+2，PC，PM+MN+NC的最小值為+2；（3）yx23x+（x+3）2+8，拋物線對稱軸為x3，G（3，3），D（3，0），AD4，DG

17、3，AG5，由旋轉知：ADAD4，DGDG3，AGAG5，AGT為等腰三角形，AGGT或AGAT或GTAT，當AGGT時，如圖，過點T1作T1Kx軸于K，過T2作T2Lx軸于L，GT1AG5，GT2AG5，AT14，T1AK45，AKT1K42，T1（7+2，2），同理可得：AT2，ALT2L2，T2（7，）；當AGAT時，如圖，ATAG5，作TKx軸于K，TAK45，AKTK5，T（7，）；當GTAT時，如圖，過點T作作TKx軸于K，設ATx，則DTx3，AD2+DT2AT2，42+（x3）2x2，解得：x，AT，AKTK，T（7，）；綜上所述，點T的坐標為（7+2，2），（7，），（7，）

18、，（7，）練3.如圖，二次函數(shù)yax2+bx+c（a0）的圖象與x軸交于點A（），與y軸交于點B（0，2），若該函數(shù)與x軸的另一個交點C滿足OC3OA，拋物線頂點為D（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，連接BC，若點Q是直線BC下方拋物線上的動點，過點Q作QEBC于點E，作QFx軸交BC于點F，求線段EF長度的最大值；（3）如圖2，將拋物線沿直線DO平移，點D平移后的對應點為D，直線x與x軸相交于點M，與平移中的拋物線相交于點N，當DMN是以MN為底邊的等腰三角形時，請直接寫出D的坐標【解答】解：（1）A（），OC3OA，故點C的坐標為（3，0），設拋物線的表達式為ya（x+）（x3），將

19、點B的坐標代入上式得：2a（3），解得a，故拋物線的表達式為yx2x2； （2）由點B、C的坐標得，直線BC的表達式為yx2，則tanOCB，則sinOCB，設QF交x軸于點H，EQF90EFQ90HFCHCFOCB，sinEQFsinOCB，設點Q的坐標為（t，t2t2），點F（t，t2），則EFFQsinEQF（t2）（t2t2）（t2+t），0，故EF有最大值，當t時，EF的最大值為； （3）對于yx2x2，則函數(shù)的對稱軸為x，當x時，yx2x2，故點D的坐標為（，），由點O、D的坐標得，直線OD的表達式為yx，則拋物線沿直線OD運動時，向上平移8m個單位，向左平移3m個單位，故點D的坐標為（3m，8m），則平移后的拋物線表達式為y（x+3m）2+8m，當x時，y（x+3m）2+8m6m2+8m，故點N的坐標為（，6m2+8m），由圖（2）知，DMN是以MN為底邊的等腰三角形時，點D在MN的中垂線上，即（6m2+8m）8m，解得m，故點D的坐標為（，）練5.拋物線yx2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（1，0），C（0，2）（1）求拋物線的表達式；（2）如圖1，點P是線段BC上的一個動點，過點P作x軸的垂線與拋物線相交于點Q，當點P運動到什么位置時，四邊形CDBQ的