新課標(biāo)人教版高中(必修3)《23變量間的相關(guān)關(guān)系》

1、變量間的相關(guān)關(guān)系2.3.1-2復(fù)習(xí)回顧前面我們學(xué)習(xí)了怎樣對收集來的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析:頻率分布圖離散程度集中趨勢下面我們來介紹一中更為常見的分析方法:變量間的相關(guān)關(guān)系小明,你數(shù)學(xué)成績不太好,物理怎么樣?也不太好啊.學(xué)不好數(shù)學(xué),物理也是學(xué)不好的?.你認(rèn)為老師的說法對嗎?事實(shí)上,我們在考察數(shù)學(xué)成績對物理成績影響的同時,還必須考慮到其他的因素:愛好,努力程度。如果單純從數(shù)學(xué)對物理的影響來考慮,就是考慮這兩者之間的相關(guān)關(guān)系我們在生活中,碰到很多相關(guān)關(guān)系的問題:物理成績數(shù)學(xué)成績學(xué)習(xí)興趣花費(fèi)時間其他因素商品銷售收入廣告支出經(jīng)費(fèi)?糧食產(chǎn)量施肥量?付出收入?人體脂肪含量年齡? 以上幾種問題中的兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系

2、,我們都可以根據(jù)自己的生活,學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)作出相應(yīng)的判斷,“規(guī)律是經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)”,不管你多有經(jīng)驗(yàn),只憑經(jīng)驗(yàn)辦事,還是很容易出錯的,在尋找變量間的相關(guān)關(guān)系時,我們需要一些更為科學(xué)的方法來說明問題. 在尋找變量間的相關(guān)關(guān)系時,統(tǒng)計(jì)同樣發(fā)揮了非常重要的作用,我們是通過收集大量的數(shù)據(jù),對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,才能對它們之間的關(guān)系作出判斷.下面我們通過具體的例子來分析在一次對人體脂肪含量和年齡的關(guān)系研究中,研究人員獲得了一份樣本數(shù)據(jù):根據(jù)上述數(shù)據(jù),人體的脂肪含量與年齡之間有什么樣的關(guān)系?說明:各個年齡階段的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡樣本的平均數(shù)年齡脂肪239.52717.83921.24125.94

3、54927.526.35028.25329.65430.25631.45730.8年齡脂肪5833.56035.26134.6 從上表發(fā)現(xiàn)，對某個人不一定有此規(guī)律，但對很多個體放在一起，就體現(xiàn)出“人體脂肪隨年齡增長而增加”這一規(guī)律.而表中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)是這個年齡人群的樣本平均數(shù).我們也可以對它們作統(tǒng)計(jì)圖、表，對這兩個變量有一個直觀上的印象和判斷. 下面我們以年齡為橫軸，脂肪含量為縱軸建立直角坐標(biāo)系，作出各個點(diǎn)，稱該圖為散點(diǎn)圖。如圖：O20253035404550556065年齡脂肪含量510152025303540通過分析、觀察可以看到：隨著年齡的增長，人體脂肪含量越高，這表明兩個變量之間

4、的確存在一定的關(guān)系。從散點(diǎn)圖可以看出：所有的點(diǎn)大致在一條直線附近波動，我們稱這兩個變量間存在線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線(regression line)遞增我們叫它們正相關(guān)遞減我們叫它們負(fù)相關(guān)O20253035404550556065年齡脂肪含量510152025303540 從剛才的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)：年齡越大，體內(nèi)脂肪含量越高，點(diǎn)的位置散布在從左下角到右上角的區(qū)域。稱它們成正相關(guān)。但有的兩個變量的相關(guān)，如下圖所示：如高原含氧量與海拔高度的相關(guān)關(guān)系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。 作出散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，它們散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)。又如汽車的載重和汽車每消耗1升汽油所行使的平均路程，

5、稱它們成負(fù)相關(guān).O 如果可以求出這條直線的方程(回歸方程),那么我們就可以比較清楚的了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性.這條直線就可以作為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的代表怎樣求線性回歸方程呢?方案1、先畫出一條直線，測量出各點(diǎn)與它的距離，再移動直線，到達(dá)一個使距離的 和最小時，測出它的斜率和截距，得回歸 方程。20253035404550556065年齡脂肪含量0510152025303540如圖 ： 方案2、在圖中選兩點(diǎn)作直線，使直線兩側(cè) 的點(diǎn)的個數(shù)基本相同。 20253035404550556065年齡脂肪含量0510152025303540方案3、如果多取幾對點(diǎn)，確定多條直線，再求出 這些直線

6、的斜率和截距的平均值作為回歸 直線的斜率和截距。而得回歸方程。 如圖我們還可以找到 更多的方法，但 這些方法都可行 嗎?科學(xué)嗎？ 準(zhǔn)確嗎？怎樣的 方法是最好的？20253035404550556065年齡脂肪含量0510152025303540我們把由一個變量的變化去推測另一個變量的方法稱為回歸方法。（二）回歸直線 實(shí)際上,求回歸直線的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫”從整體上看,各點(diǎn)到此直線的距離最小”. 我們上面給出的幾種方案可靠性都不是很強(qiáng)，人們經(jīng)過長期的實(shí)踐與研究，已經(jīng)找到了計(jì)算回歸方程的斜率與截距的方法:以上公式的推導(dǎo)較復(fù)雜，故不作推導(dǎo)，但它的原理較為簡單：即各點(diǎn)到該直線的距離的平方和最

7、小，這一方法叫最小二乘法。于是得計(jì)算回歸方程的斜率和截距的一般公式. 人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的線性回歸方程是：（1）預(yù)測:一個人37歲時，他的體內(nèi)脂肪含量可能是多少？（2）比較前面表格中給出的數(shù)值，你有什么體會？例.下表是某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)(y)與當(dāng)天氣溫(x)的對比表： (1)試用最小二乘法求出線性回歸方程；(2)如果某天的氣溫是-3，請預(yù)測這天可能會賣出熱茶多少杯 (1)作散點(diǎn)圖如圖所示 解由散點(diǎn)圖知兩個變量是線性相關(guān)的，計(jì)算各種數(shù)據(jù)如下表 于是：則：分步計(jì)算減少出錯于是，線性回歸方程為 y=57.557-1.648x 2)由回歸方程知，當(dāng)某天的氣溫是-3時，賣出的熱茶杯數(shù)為 57.557-1.648(-3)63(杯） 練習(xí):根據(jù)下表