第八章.位移法課件

1、第八章 位移法8-1 位移法基本概念8-2 等截面直桿的剛度方程8-3 無側(cè)移剛架和有側(cè)移剛架的計算8-4 對稱結(jié)構(gòu)的計算8-5 支座移動、溫度變化及具有彈簧支座8-6 斜桿剛架的計算8-7 剪力分配法結(jié)構(gòu)的計算28-1 位移法基本概念一、 位移法基本概念1. 位移法基本未知量 取結(jié)構(gòu)內(nèi)部結(jié)點的角位移或線位移作為基本未知量。 上圖示連續(xù)梁，取結(jié)點B的轉(zhuǎn)角B作為基本未知量，這保證了AB桿與BC桿在B截面的位移協(xié)調(diào)。qABCllEIEI32. 位移法步驟1）在B結(jié)點加附加轉(zhuǎn)動約束( )。附加轉(zhuǎn)動約束只阻止結(jié)點的轉(zhuǎn)動，不阻止結(jié)點的線位移。此時產(chǎn)生固端彎矩。qABCqCB 2）令B結(jié)點產(chǎn)生轉(zhuǎn)角 。此時

2、AB、BC桿類似于B端為固端且產(chǎn)生轉(zhuǎn)角 時的單跨梁。( )43）桿端彎矩表達式由結(jié)點B平衡可得ACBiiAiBBCi4）建立位移法方程并求解55） 作彎矩圖將求得的 代入桿端彎矩表達式得到M 圖ABC6小結(jié)：1）位移法的基本未知量是結(jié)構(gòu)內(nèi)部結(jié)點（ 不包括支座結(jié)點）的轉(zhuǎn)角或線位移。2）選取內(nèi)部結(jié)點的位移作為未知量就滿足了變形協(xié)調(diào)條件；位移法方程是平衡方程，滿足平衡條件。3）位移法的基本結(jié)構(gòu)可看作為單跨超靜定梁的組合體系。為順利求解，必須首先討論單跨超靜定梁在荷載及桿端位移作用下的求解問題。7二、 位移法基本未知量 位移法的基本未知量是結(jié)構(gòu)內(nèi)部結(jié)構(gòu)結(jié)點（不包括支座結(jié)點）的轉(zhuǎn)角 和線位移。 不把支座

3、結(jié)點的可能位移作為位移法的未知量是因為：1）減少未知量的數(shù)目；2）單跨超靜定梁的桿端彎矩表達式中已經(jīng)反映了支座可能位移（轉(zhuǎn)角、線位移）的影響，如下圖示。ABqqAB8 在確定結(jié)構(gòu)的基本未知量之前，引入如下假設(shè)：對于受彎構(gòu)件，忽略軸向變形和剪切變形的影響。ABBA91結(jié)點轉(zhuǎn)角未知量結(jié)構(gòu)有幾個剛結(jié)點就有幾個結(jié)點轉(zhuǎn)角未知量。ABCABCDEABCD10 從兩個不動點（無線位移的點）引出的兩根無軸向變形的桿件，其交點無線位移。 若一個結(jié)構(gòu)需附加n根鏈桿才能使所有內(nèi)部結(jié)點成為不動點（無線位移），則該結(jié)構(gòu)線位移未知量的數(shù)目就是n。2結(jié)點線位移未知量用附加鏈桿的方法確定結(jié)點線位移未知量。不動點如右圖示：AA

4、A11附加鏈桿ABCDEA為有限值A(chǔ)BCDABCDABCDE128-2 等截面直桿的剛度方程一、符號規(guī)則1桿端彎矩 規(guī)定順時針方向為正，逆時針方向為負。桿端彎矩的雙重身份：1）對桿件隔離體，桿端彎矩是外力偶，順時針方向為正，逆時針方向為負。2）若把桿件裝配成結(jié)構(gòu)，桿端彎矩又成為內(nèi)力，彎矩圖仍畫在受拉邊。MBAMCB ABCMBC132結(jié)點轉(zhuǎn)角順時針為正，逆時針為負。 桿件兩端相對側(cè)移，其與弦轉(zhuǎn)角 的正負號一致。而以順時針方向為正，逆時針方向為負。3桿件兩端相對側(cè)移BAABABCD( )( )Fp141. 兩端固定梁二、等截面直桿的剛度方程ABEIABEIMABMBAAiBAiBABiMABMB

5、A15 式中系數(shù)4i、2i、6i/l 稱為剛度系數(shù)，即產(chǎn)生單位桿端位移所需施加的桿端力矩。由上圖可得：可寫成：上式就是兩端固定梁的剛度方程。162. 一端固定、一端輥軸支座的梁 BAEIBAiBAi173. 一端固定、一端滑動支座的梁BAEIMABMBA184. 等截面直桿只要兩端的桿端位移對應(yīng)相同， 則相應(yīng)的桿端力也相同。 1)BAMABMBABAMABMBA192)BAMABMBABAMABMBA3)BAMABBAMAB201. 兩端固定梁三、固端彎矩qABFpAB 單跨超靜定梁在荷載作用下產(chǎn)生的桿端彎矩稱為固端彎矩。固端彎矩以順時針方向為正，逆時針方向為負。212. 一端固定、一端輥軸支

6、座的梁ABFpBAq223. 一端固定、一端滑動支座的梁 各種單跨超靜定梁的固端彎矩可查教材附表。ABABFpq23四、正確判別固端彎矩的正負號ABABqqqBABAq248-3 無側(cè)移剛架和有側(cè)移剛架的計算一、無側(cè)移剛架的位移法求解建立位移方程有兩種方法：1）直接利用平衡條件建立位移法方程。2）利用位移法基本體系建立位移法方程。25解： 令例8-3-1 用位移法求圖示剛架的M圖，各桿EI 相同。1. 利用平衡條件建立位移法方程ABCDE8kN/miii1）未知量：B D( ) ( )262）列出桿端彎矩表達式a) 固端彎矩ABCDE8kN/miiiib) B 產(chǎn)生桿端彎矩iABCDEiii(

7、 )c) D 產(chǎn)生桿端彎矩iABCDEiii( )273）建立位移法方程并求解由結(jié)點B和結(jié)點D的平衡條件可得：12MBDMBABMDBMDCMDED284）作彎矩圖將求得的 B 、 D 代入桿端彎矩表達式得：M 圖(kN.m)ABCDE0.711.7827.0225.2438.761.4211.73292. 利用位移法基本體系建立位移法方程1）求剛度系數(shù)( )( )解:F1PF2P10.6742.6721.67ABCDEMP 圖10.6710.670F1PBF1P= -10.670F2PD10.6742.67F2P= -32304i4ik11Bk11=8i0k21D2ik21=2i0k11k2

8、12i4i2i4iABCDE312i0k12Bk12=2i3ik22D4ik22=8iik12k22ABCDE2ii4i3i32F1P= -10.67F2P= -32k11=8ik12=k21=2ik22=8i2）建立位移法方程 上述剛度系數(shù)實質(zhì)上是剛結(jié)點附加轉(zhuǎn)動約束產(chǎn)生的反力矩，由于原結(jié)構(gòu)并沒有附加轉(zhuǎn)動約束，各附加轉(zhuǎn)動約束上的反力矩之和應(yīng)等于零，據(jù)此可以建立位移法典型方程。 位移法標準方程的物理意義：每個結(jié)點附加轉(zhuǎn)動約束的反力矩之和等于零，所以方程右端恒等于零。位移法方程是平衡方程。331. 利用平衡條件建立位移法方程二、有側(cè)移剛架的位移法求解1）未知量：2kN/m14kNEEIABCD2E

9、I4EI(i)(i/2)(2i)例8-3-2 用位移法求圖示剛架內(nèi)力圖。解：( )( )2）列出桿端彎矩表達式34a）固端彎矩b）D 產(chǎn)生的桿端彎矩2kN/m14kNEABCDii/22iEABCDii/22i( )EABCDii/22i( )c） 產(chǎn)生的桿端彎矩353）建立位移法方程并求解MDCMDAMDED由結(jié)點D平衡：B2kN/mA14kNECDFQDAMDAMADFQEBMBEDA柱：作CE梁隔離體，求柱剪力。136EB柱2kN/mA14kNECDBFQDAMDAMADFQEBMBECE梁237解方程組、，得4）作內(nèi)力圖38EABCD1412216EABCD14383EFNEB=3kN

10、14141433DFNDA= -17kNEABCD17FN=03392. 利用位移法基本體系建立位移法方程1）求剛度系數(shù)未知量：( )( )F1P=14D 1414kNEABCD2kN/m4kN.mF1PF2PMP圖14kN.mB042kN/m14kNEACDF2PF2P=340 3ik11=5iD 2ik11EABCD i i/2 2i2i i3 i-0.75i 0iEACDBk21= -0.75i41k12= -0.75iD 0.75i 1.5ik12EABCDii/2 2i 0.75i 0.75ik220.375i0.375i 0.75i 0.75iEACDBk22=0.75i 1.5i

11、422）建立位移法方程并求解k11=5i k12= k21 = -0.75ik22=0.75i F1P=14 F2P=3附加轉(zhuǎn)動約束的反力矩之和等于零附加鏈桿上的反力之和等于零3）桿端彎矩內(nèi)力圖見前圖。43 8-4 對稱結(jié)構(gòu)的計算 結(jié)構(gòu)對稱是指結(jié)構(gòu)的幾何形狀、支座條件、材料性質(zhì)及各桿剛度EA、EI、GA均對稱。 利用結(jié)構(gòu)對稱性簡化計算，基本思路是減少位移法的基本未知量。一、奇數(shù)跨剛架 分析與對稱軸相交截面的位移條件，在根據(jù)對稱性取半邊結(jié)構(gòu)時，該截面應(yīng)加上與位移條件相應(yīng)的支座。1. 對稱荷載44 對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，其內(nèi)力和變形均對稱。 在取半邊結(jié)構(gòu)時，B截面加上滑動支座，但橫梁線剛度應(yīng)加

12、倍。 與對稱軸相交截面B的位移條件為:未知量 FP FP B i2 i1i12i2 i1BC FP45 B i i1 i2 i i1 i2i FP FPi i1 i22 iBC A未知量 FP462反對稱荷載 對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，其內(nèi)力和變形均反對稱。 FPi2 i1BC未知量 FP FP B i2 i1 i1 i247 B i2 i1 i1 FP FPB 2i2 i1 C未知量 FP48二、偶數(shù)跨剛架偶數(shù)跨剛架不存在于對稱軸相交的截面。1. 對稱荷載 FP FPBi2i ii2i1 FP Bi2 i492. 反對稱荷載FPBII1/2I2 將中柱改為跨度為 的小跨，則原結(jié)構(gòu)變?yōu)槠鏀?shù)跨

13、。利用奇數(shù)跨結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下的結(jié)論就可以得到圖示簡化結(jié)果。dlFPFPBIII1I2 I2 dlFPFPBIII1/2I1/2I2 I2 FPBII1/2I2 50例8-4-1 作圖示結(jié)構(gòu) M 圖。三、舉例FPi0i0i1i12i1解： i0i0i1i12i1FP/2FP/2M=0FN= -FP/2 FN= -FP/2 2i1i0i0i1i1FP/2FP/251M圖（FP h）FP/2i0i1i1i0i1i1FP/4FP/4M=0FN= -FP/4 i0i1i1FP/4FP/4BFP/42i0i13FP h/28FP h/7AChFP52例8-4-2 作下圖示結(jié)構(gòu)M 圖。解:FPFP/2

14、FP/20CBIIII2IIIlllFP/2FP/20IIIIBCIIIBCFP/4FP/4IBFP/4IIIIBCFP/4FN= -FP /4M=053 M圖（FP l）2ii=EI/lFP/4BAC( )2iFP/4IBi=EI/l54四、對稱溫度變化時的求解1. 奇數(shù)跨剛架取半邊結(jié)構(gòu)求解。I1I1IB30C30C30C10CIB30C10CI130CCA未知量( )552偶數(shù)跨剛架例8-4-3 作下圖示結(jié)構(gòu)M圖。剛架各桿為矩形截面，截面高為0.6m，各桿EI相同。解：( )取如圖半邊結(jié)構(gòu)，未知量 。a)b)ACDt2=-30 Cl=6m h=4m Bt2=-30 C t2=-30 CAB

15、CDEFl=6m l=6m h=4m t2=-30 C t2=-30 C t1=10 C t1=10 C t2=-30 C t1=10 C t1=10 C 561）各桿兩端相對側(cè)移桿AB縮短桿CD伸長桿BC縮短則AB、BC桿相對側(cè)移為:c)ABBCABCDt0=-10 C t0=-10 C t0=10 C 572）求固端彎矩相對側(cè)移 AB、 BC產(chǎn)生的固端彎矩為: 桿兩端溫差 t產(chǎn)生的固端彎矩為:d)ACDl=6m h=4m Bt= 40 C t= 40 C t= 0 C 583）桿端彎矩表達式：4）建立位移法方程并求解：595）回代求桿端彎矩并畫彎矩圖 在溫度變化作用下，超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力與桿件

16、EI 的絕對值成正比。CBADFEM 圖608-5 支座移動、溫度變化及具有 彈簧支座結(jié)構(gòu)的計算一、支座移動時的位移法求解解題思路：1）鎖住結(jié)點，即令結(jié)點位移未知量等于零；2）令結(jié)構(gòu)產(chǎn)生已知的支座移動，此時各桿產(chǎn)生固端彎矩；3）令結(jié)構(gòu)分別產(chǎn)生結(jié)點位移，此時各桿產(chǎn)生桿端彎矩；4）疊加2)、3)的結(jié)果就求得各桿最終的桿端彎矩。61例8-5-1 作下圖示結(jié)構(gòu) M 圖。解：( )未知量。1）桿端彎矩表達式ABCEIEIllABCEIEIllABCEIEIll622）建立位移法方程并求解3）作彎矩圖63 在支座移動作用下，超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力與桿件EI的絕對值成正比。M 圖ABC5.1434.286 結(jié)構(gòu)彎矩

17、圖如下圖示。 CABCEI、lEI、lAEI、lD思考題:下圖示剛架結(jié)點B、C有向右位移動 , 作結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖。64二、 彈簧支座的處理增加未知量 根據(jù)彈簧支座所在的位置，有時需要增加位移法未知量。不增加未知量未知量ABCkFPABCDEIEIlBH=CH=未知量65例8-5-2 求下圖示結(jié)構(gòu)M 圖。1）未知量解：( )( )BH=CH=，。2）桿端彎矩表達式桿端彎矩由三部份組成：FPABCDEIEIl66FPABCDEIEIl A0、 =0時由荷載產(chǎn)生的固端彎矩。本題為結(jié)點荷載，固端彎矩為零；=0時由 產(chǎn)生的桿端彎矩；A0時由 產(chǎn)生的桿端彎矩。12367ADMABMDCFPFQBAFQCDBC

18、3）建立位移法方程并求解取BC桿作為隔離體，求剪力FQBA 、 FQCD 。168在彈簧支座A處補充平衡方程。解方程組、，得2MABA694）作彎矩圖CABDM 圖70例8-5-3 作下圖示連續(xù)梁的M圖。1）未知量qEIABEICll解： 令 ， 。CV=( )( )712）桿端彎矩表達式 qABCB0、 =0i i ABC B0 、 0i i ABCB0、 =0i i 723）建立位移法方程并求解取BC桿作為隔離體，求剪力FQCB 。21C MBCFQBCFQCBk B73解方程組、，得：4）作彎矩圖ABM 圖C74三、溫度變化時的計算在溫度變化影響下，桿件軸向變形不能忽略。例8-5-4 作

19、右圖示剛架M 圖。解:1）未知量( )( )BH=2）桿端彎矩表達式ABCEIEImmbh=0.5mt1=30 C t1=30 C t2=-10 C B0、 =0時由溫度變化產(chǎn)生的固端彎矩；=0時由 產(chǎn)生的桿端彎矩；A0時由產(chǎn)生的桿端彎矩。12375桿BA伸長桿BC伸長桿BA相對側(cè)移桿BC相對側(cè)移桿伸長產(chǎn)生相對側(cè)移ABCBABCt0=10 C 溫差產(chǎn)生的固端彎矩ABCt=40 C 76由相對側(cè)移產(chǎn)生的固端彎矩：由桿兩側(cè)溫差產(chǎn)生的固端彎矩：77總的固端彎矩為桿端彎矩表達式為783）建立位移法方程并求解取隔離體，求剪力FQBA ：AMBAMABFQBABC2179解方程組、，得：4）作彎矩圖BAC

20、M 圖808-6 斜桿剛架的計算 解帶斜桿的剛架，關(guān)鍵是如何確定斜桿兩端的相對側(cè)移。 確定斜桿兩端的相對側(cè)移需要畫位移圖。其思路是：根據(jù)已知兩個結(jié)點線位移的大小和方向確定第三個結(jié)點的線位移。 如下頁圖示裝置，已知結(jié)點A、B線位移的大小和方向，求結(jié)點C的線位移。81多邊形 為所求位移圖。B C A B C2 A C AABBC1 C C2 C C1 為此，將AC、BC桿在C結(jié)點拆開，CA桿平移到 ，CB桿平移到 。然后， 桿繞 旋轉(zhuǎn)， 桿繞 旋轉(zhuǎn)，兩桿交點為 ，則 即為結(jié)點C的線位移。82B C BCA AO 3）C結(jié)點線位移為 。右圖即為所求的位移圖。作位移圖具體步驟：2）過A作AC垂線，過B

21、作CB垂線，兩垂線交點為C。1）取極點O，過O作 與 平行線，并截取 ， 。83例8-6-1 作圖示剛架M圖。1）未知量解：A B C i 2i dFP d/2dBH=( )( )2）畫位移圖，確定各桿相對側(cè)移 。 A B C dFP d/2d844）建立位移法方程并求解結(jié)點B13）桿端彎矩表達式85取AB桿為隔離體，求剪力FQBA 。A B C o MBAMABMBAFQBAFQBAFPFyC考慮BC部分平衡：286解方程組、，得：5）作彎矩圖M 圖A B C FP 87例8-6-2 作圖示結(jié)構(gòu) M 圖。A B C D EI EI 2EI (i) (2i) (0.8i) 4m 4m 4m 3

22、m 1kN/m解：1）未知量BH=( )882）畫位移圖，確定各桿相對側(cè)移。 3）桿端彎矩表達式B C 4）建立位移法方程并求解89考慮ABC部分平衡：取桿BD為隔離體，求剪力FQBD 。A B C D 1kN/m MDBMCBFQDBFQBD2kN4m4m3moB 905）作彎矩圖M 圖(kN.m)2.163.0827.79A B C D 91 注意帶滑動支座單跨斜梁固端彎矩及剛度系數(shù)的求解。= = B C q B C q a)b)B C q q B C 92B C ie)C FP B C FP B c)d)93 8-7 剪力分配法1）橫梁抗彎剛度EI的剛架（EA總認為趨于無窮大）。2）鉸接

23、排架中，橫梁EA的結(jié)構(gòu)。 用位移法求解時，若結(jié)構(gòu)的結(jié)點位移未知量只有線位移而沒有角位移，則適用于無剪力分配法。下列兩類結(jié)構(gòu)可能滿足上述條件：94EI EI EA B EA EA 95一、水平結(jié)點荷載作用的情況例8-7-1 作圖示結(jié)構(gòu) M 圖。1）未知量解：A C E B D F I1 I2 I3 h1 h2 h3 EA EA FP ( )2）桿端彎矩表達式963）建立位移法方程并求解求各柱剪力。 k1、k2、k3稱為柱的側(cè)移剛度，在數(shù)值上等于該柱兩端產(chǎn)生相對側(cè)移=1時柱的剪力值。MBAFQABMDCMFEFQCDFQEFFPB AC D F E h1 h2 h3 EA EA 97考慮ACE部分平衡 MBAFQABMDCMFEFQCDFQEFFPB AC D F E h1 h