線性代數(shù)課件：第3章 行列式及其應(yīng)用

1、第三章 行列式及其應(yīng)用3.1 行列式的定義 3.2 行列式的性質(zhì) 3.3 行列式的應(yīng)用 學(xué)習(xí)要點(diǎn)： 1. 了解行列式的定義及其性質(zhì)。 2. 會(huì)運(yùn)用行列式的性質(zhì)求行列式的值。 3. 重點(diǎn)掌握行列式在理論推導(dǎo)中的應(yīng)用，主要有以下三個(gè)定理： （1）行列式展式定理； （2）克萊姆法則； （3）行列式乘法定理。3.1 行列式的定義引例3.1 用消元法解二元線性方程組 解 第一個(gè)方程乘以a22，第二個(gè)方程乘以a12，然后兩方程相減得 類似可得當(dāng) 時(shí), 得方程組的解我們引進(jìn)二階行列式的概念, 即定義那么, 方程組的解可整齊地表示為二階行列式又稱為二階方陣的行列式類似地，如果定義三階行列式記作含有三個(gè)未知量的

2、線性方程組當(dāng)系數(shù)矩陣的行列式 時(shí)，通過(guò)計(jì)算可知其解可整齊地表示為 問(wèn)題使得方程組的解可整齊地表示為設(shè)nn的線性方程組如何定義 n 階行列式（這里假設(shè)分母不為零）在 中劃掉第 i 行和第 j 列元素而剩下的元素按原來(lái)相對(duì)位置不變所構(gòu)成的低一階的行列式，稱為 (i,j) 元素的余子式，記為Mij ,稱Aij = (-1)i+j Mij為 (i,j) 元素的代數(shù)余子式。例如n 階行列式的值定義如下：定義3.1（行列式的遞歸定義）當(dāng)n=1時(shí)， =a11;當(dāng)n2時(shí)，假設(shè)對(duì)n-1階行列式已有定義，則（上式又稱按第一行展開(kāi)）（3.1）由定義，可得二階行列式與三階行列式的計(jì)算計(jì)算下三角行列式按第1行展開(kāi)按第1

3、行展開(kāi)解 根據(jù)行列式的定義例3.1特別地，對(duì)于方陣 ，設(shè)Aij表示元素aij的代數(shù)余子式，稱矩陣為 A 的伴隨矩陣。3.2 行列式的性質(zhì)定義3.2（伴隨矩陣的定義）定理3.1（行列式展開(kāi)定理）即行列式等于其任一行（列）元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和（亦即行列式可按任一行或任一列展開(kāi)）；任一行（列）元素與另一行（列）元素所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和為零。即按第1行展開(kāi)例3.2驗(yàn)證行列式的展開(kāi)定理解按第3行展開(kāi)按第3列展開(kāi)再驗(yàn)證一下錯(cuò)列或錯(cuò)行展開(kāi)是否為零?設(shè) ，求D的第3列元素的代數(shù)余子 式之和。 根據(jù)行列式的展開(kāi)定理可得從而，即，練習(xí) 已知 計(jì)算例3.3解利用展開(kāi)定理得到計(jì)算行列式的基本方法 “

4、降階法”，即利用行列式展開(kāi)定理, 可將n階行列式的計(jì)算轉(zhuǎn)化為n-1階行列式的計(jì)算。 根據(jù)行列式的展開(kāi)定理，按第一列展開(kāi)得計(jì)算上三角行列式例3.4解例如性質(zhì)3.1如果行列式 有一行（列）的 元素為零，則該行列式的值等于零。性質(zhì)3.2 若行列式 的某一行（列）的所有元素均為兩個(gè)數(shù)之和，則該行列式等于相應(yīng)的兩個(gè)行列式的和。例如性質(zhì)3.3 設(shè)A是一個(gè)方陣， 相應(yīng)于方陣的三種初等行（列）變換，行列式也有相應(yīng)的三種行（列）變換。一次變換后，其值會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？(1) 設(shè) ，則(2) 設(shè) ，則(3) 設(shè) ，則推論3.1 如果行列式 中有兩行（列）的元素相同，則該行列式的值為零。例如性質(zhì)3.4 如果行列式

5、 中的某行元素（列）有公因子，則該公因子可提到行列式的外面。例如推論3.2 對(duì)于n階方陣A，則 是一個(gè)數(shù)。推論3.3 如果行列式 中有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，則其行列式的值為零。例如利用行列式的性質(zhì)得到計(jì)算行列式的基本方法 “化三角形法”。 其基本思路是：通過(guò)行列式的行（列）變換將行列式化簡(jiǎn)為階梯形行列式，再利用三角形行列式的值等于其對(duì)角線上元素的積計(jì)算其結(jié)果。解只用ri+krj這種變換，例3.5把行列式化為三角形，然后計(jì)算行列式D的值。只用ri+krj變換或只用ci+kcj變換一定能把行列式化為上(下)三角形,行列式的值不變。說(shuō)明1 行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的，對(duì)列也成立，反之亦然。說(shuō)明2

6、 計(jì)算行列式的方法很多，技巧也很強(qiáng)，重點(diǎn)掌握降階法和化三角形法。定理3.2 矩陣A的行列式與其轉(zhuǎn)置矩陣AT 的行列式的值相等，即計(jì)算行列式 將行列式第2、3、4列加到第一列, 得例3.6解特征1：對(duì)于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在簡(jiǎn)化計(jì)算。 將行列式第2,3,n列加到第一列, 得計(jì)算 n 階行列式例3.7解計(jì)算 n 階行列式 利用初等列變換可將該行列式化為三角形行列式特征2：第一行，第一列及對(duì)角線元素除外，其余元素全為零的行列式稱為爪型行列式。例3.8解計(jì)算范德蒙德(Vandermonde)行列式 從最后一行開(kāi)始，每行減去上一行的an倍。特

7、征3：范德蒙德(Vandermonde)行列式的計(jì)算過(guò)程及結(jié)論。例3.9解按最后一列展開(kāi)定理3.3（行列式的乘法定理） 只用第三種初等行變換可把A化為上三角矩陣 證明設(shè)A，B是 n 階方陣，則注 當(dāng)A，B都是n階方陣時(shí)，一定有 只用第三種初等列變換可把B化為上三角矩陣 即存在第三種初等矩陣 使得 并有 因此設(shè)A是奇數(shù)階方陣，且 證明例3.10證明3.3 行列式的應(yīng)用行列式的應(yīng)用主要體現(xiàn)在理論推導(dǎo) 。方陣A可逆的充分必要條件是 ，時(shí)，其逆矩陣 ，其中A*為A的伴隨矩陣。定理3.4且當(dāng)A可逆說(shuō)明1 該定理不僅可以用來(lái)判別方陣可逆，同時(shí)也提供了求逆矩陣的計(jì)算公式。說(shuō)明2 當(dāng) 時(shí)，A稱為奇異矩陣，否則

8、稱為非奇異矩陣。證明 必要性設(shè)方陣A可逆，則存在A-1，使對(duì)上式兩邊取行列式，并利用行列式乘法定理得 所以 充分性所以A可逆，且設(shè) ，由行列式展開(kāi)定理討論矩陣何時(shí)可逆，且求其逆矩陣。A可逆的充分必要條件為例3.12解求A的逆矩陣?yán)?.13解設(shè)例3.14證明證明A可逆的充要條件是并求其逆。設(shè)A，B均為n階方陣，證明AB可逆的充分必要條件是A，B均可逆。若A，B均可逆，則 從而因此AB可逆。 反之，若AB可逆，則 從而因此A、B可逆。 例3.15證明有唯一解解的分量為定理3.5 克萊姆法則注 通常把解的分量表達(dá)式叫做克萊姆法則。設(shè)，則線性方程組其中Dj (j=1,2,n)是把系數(shù)行列式 D中第 j

9、列換成向量b而得到的行列式?？芍狝可逆，且方程組有惟一解，其解為由系數(shù)矩陣的行列式即證明比較左右兩邊矩陣的j 行, 得推論3.4設(shè)齊次線性方程組Ax = 0，如果系數(shù)矩陣行列式則方程組Ax = 0只有零解。已知拋物線 經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(1,0)，(2,3) (-3,28)，求該拋物線的方程。 將三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程，得a,b,c應(yīng)滿足的非線性 經(jīng)計(jì)算得 例3.16解方程組注 系數(shù)行列式是范德蒙行列式故由克萊姆法則，上述方程組的惟一解為 于是所求拋物線方程為 系數(shù)行列式按第3行展開(kāi)當(dāng) 時(shí)，齊次方程組有非零解。當(dāng) 為何值時(shí)，齊次方程組有非零解？ 例3.17解問(wèn)a,b為何值時(shí)，方程組有唯一解，無(wú)解，無(wú)窮

10、多解。有無(wú)窮多解時(shí)，求出其通解。已知方程組 系數(shù)矩陣是方陣首選行列式法例3.18解當(dāng)a1時(shí)，方程組有唯一解；a=1當(dāng) 時(shí)，方程組無(wú)解。當(dāng) 時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。當(dāng)a=1 時(shí)，方程組可能無(wú)解也可能有無(wú)窮多解，需討論。通解為定義3.3（n階行列式的逆序數(shù)定義）其中，是自然數(shù)1，2，n的一個(gè)排列；是對(duì)所有這樣的排列求和，共有 項(xiàng)；是排列 的逆序數(shù)，其定義為： 在一個(gè)排列 中，如果 ，則稱出現(xiàn)一個(gè)逆序，一個(gè)排列中出現(xiàn)逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。例如因此解 根據(jù)行列式的逆序數(shù)定義，能夠出現(xiàn)x4，x3的項(xiàng)只有設(shè)例3.19問(wèn)f(x)中x4，x3系數(shù)分別是多少？和故所以，x4，x3的系數(shù)分別為1，-4。所以根為x =1,2,3. 利用范德蒙德行列式備用題1解計(jì)算行列式D2n的值按第一行展開(kāi)備用題2解計(jì)算n階行列式的值按第一行展開(kāi)備用題3解得遞推公式特征4：所求行列式某一行（列）至多有兩個(gè)非零元素，按這一行展開(kāi)，并能夠得到較低階的具有相同結(jié)構(gòu)的行列式，如備用題2、3。計(jì)算n 階行列式Dn拆分為如下兩個(gè)行列式，且第一個(gè)行列式按最后一列展開(kāi)，注意與例3.7的形式不同。第二個(gè)行列式利用備用題4解特征5：除對(duì)角線元素外，上三角各元素相等，下三角各元素相等，常用拆分法或數(shù)學(xué)歸納法求解。閱讀書(shū)上例題3.10。設(shè)分塊矩陣 ，其中A是m階方陣，B是 n階