R語言 實驗6 參數(shù)估計111

1、實驗6參數(shù)估計一、實驗?zāi)康模赫莆站胤ü烙嬇c極大似然估計的求法；了解估計量的優(yōu)良性準則：無偏性、有效性、相合性（一致性）；學(xué)會利用R軟件完成一個正態(tài)總體均值和兩個正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計;學(xué)會利用R軟件完成一個總體比例和兩個總體比例差的區(qū)間估計；掌握大樣本數(shù)據(jù)關(guān)于單個總體均值和總體比例的樣本容量的確定方法。實驗內(nèi)容:練習(xí)：要求：完成練習(xí)并粘貼運行截圖到文檔相應(yīng)位置（截圖方法見下），并將所有自己輸入文 字的字體顏色設(shè)為紅色（包括后面的思考及小結(jié)），回答思考題，簡要書寫實驗小結(jié)。 修改本文檔名為“本人完整學(xué)號姓名1”，其中1表示第1次實驗，以后更改為2,3,.。 如文件名為“1305543109張立

2、1”，表示學(xué)號為1305543109的張立同學(xué)的第1次實驗，注 意文件名中沒有空格及任何其它字符。最后連同數(shù)據(jù)文件、源程序文件等（如果有的話， 本次實驗沒有），一起壓縮打包發(fā)給課代表，壓縮包的文件名同上。截圖方法：法1：調(diào)整需要截圖的窗口至合適的大小，并使該窗口為當前激活窗口（即該窗口在屏幕最 前方），按住鍵盤Alt鍵（空格鍵兩側(cè)各有一個）不放，再按鍵盤右上角的截圖鍵（通常 印有“印屏幕”或“Pr Scrn”等字符），即完成截圖。再粘貼到word文檔的相應(yīng)位置即 可。法2：利用QQ輸入法的截屏工具。點擊QQ輸入法工具條最右邊的“扳手”圖標，選擇其中的“截屏”工具。）自行完成教材中相應(yīng)的例題。（

3、習(xí)題5.1）下表列出50個抽取自二項分布總體B（n, p）的數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)存放在 binom . data件中），試用矩估計方法估計參數(shù)n和p。來自二項分布總體的數(shù)據(jù)1516141516111515121414141214121514141214151718101312151716181712101513121416161615111315161714111617解：若將n作為未知參數(shù)，則需要同時考慮一階矩和二階矩?？傮w的一階矩和二階矩分別為：a1 =E（X）= np，a2 =E（X 2）= var（X）+（E（x）2 = np（1-p）+（np）2，根據(jù)矩估計的基本思想，a1 = %，a2 =

4、A2，（其中1 =LEx, = X,A廣 p X；）即有I np(1 一 p) + (np)2 = A、2.一 A -解上述方程組，可得p = 1 + A1 , n = A1/p。1以下請根據(jù)上式完成R程序，計算出參數(shù)n和p的矩估計量的值(參考 n = 20.0284, p = 0.713986)源代碼：x-scan(file.choose()Read 50 itemsyac-nean(x)b-niean(y)p/a1 0.71395)n=a/pn1 20.0284(習(xí)題5.2)設(shè)總體X的分布密度函數(shù)為f (x；a)=(a +1) x a00 x 1, 其他，從總體X抽取的樣本為：0.1 0.

5、2 0.9 0.8 0.7 0.7 0.6 0.5求參數(shù)a的極大似然估計量&。解：設(shè)X，X2,，Xn為其樣本，只需要考慮xe(0, 1)部分。依題意，此分布的似然函數(shù)為L(a ； x) = Hf (x ；a) = (a+1)n (Hx )aiii=1i=1相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為ln L(a; x) = n ln(a +1)+ a In H x TOC o 1-5 h z *d In L(以;x)n令 =頑+或x =0i=1解此似然方程得到a =+ -1, lnHxii=1 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 、n 或?qū)憺閍 =- 1。zL ln x

6、i容易驗證d 2 In L 八 da 2 ，從而a使得L達到極大，即參數(shù)a的極大似然估計量i=1a=r -1。L ln Xi i=1以下請根據(jù)上式完成R程序，計算出參數(shù)a的極大似然估計量a的值。 源代碼：x-c(01,02,09,08,07,07,06,05)fv-function(x) 8/(x+1)+sum(log(x)uniroot(f,c(0,1)運行結(jié)果或截圖:x-c (0.1,3.20.90.8,0.7,0.7,0.6.0.5f-f miction (x 8/ (x+1) d-sum flog (x wiizoot(f,c(0f1 $root|1 0.0003573701$f ro

7、ot|1 0.05956635$iter1 13$lniL 1e1 NA$estini.pTec|1 0.0001125295補充：求參數(shù)a的矩估計量a。由于只有一個參數(shù)，因此只需要考慮a1 = 41，即E(X)= X。-8而由 E(X)的定義有：E(X)= fx - f (x)dx = jx - (a+1)xadx =蘭1 xa+2 |1 = _5i! a + 2 o a + 20,a +11-因此=X ,解得a= f - 2。以下請根據(jù)上式完成R程序，計算出參數(shù)(！的矩估計量a的值，并與其極大似然估計 量的值進行比較。源代碼：a a運行結(jié)果或截圖：(習(xí)題5.4)為研究新生兒出生時的體重，隨

8、機地選取了某婦產(chǎn)醫(yī)院的100個新生 兒，其樣本均值為3338g，樣本標準差為629g。試計算新生兒平均體重的置信水 平為95%的置信區(qū)間。提示：參考例5.6解：源代碼及運行結(jié)果：(源代碼復(fù)制到此處，不需要截圖)x_bar-3338s-629n-100alpha-0.05z-qnorm(1-alpha/2)c(x_bar-s/sqrt(n)*z,x_bar+s/sqrt(n)*z)1 3214.718 3461.282結(jié)論：新生兒平均體重的置信水平為95%的置信區(qū)間為3214.718,3461.282。(習(xí)題5.5)某婦產(chǎn)醫(yī)院有意估計產(chǎn)婦在該醫(yī)院住院的平均天數(shù)，在過去的年份中 隨機抽取了 36位

9、孕婦，每位孕婦住院天數(shù)取整后如下表所示(數(shù)據(jù)存放在 hospital.data文件中)。使用這些數(shù)據(jù)構(gòu)建95%的置信區(qū)間，估計在該醫(yī)院生小 孩的所有孕婦的平均住院天數(shù)。提示：參考例5.10。由于此題是小樣本數(shù)據(jù)，也可以直接使用此$給函數(shù)。解：源代碼及運行結(jié)果：(源代碼復(fù)制到此處，不需要截圖)x-scan(file.choose()Read 36 itemsx_bar-mean(x)s-sd(x)n-length(x)alpha-0.05t-qt(1-alpha/2,df=n-1)c(x_bar-s/sqrt(n)*t,x_bar+s/sqrt(n)*t) 1 2.910812 3.700299

10、結(jié)論：在該醫(yī)院生小孩的所有孕婦的平均住院天數(shù)在2.910812 3.700299天之間。(習(xí)題5.8 )已知某種燈泡壽命服從正態(tài)分布，在某星期所生產(chǎn)的該燈泡中隨機抽 取10只，測得其壽命(單位：小時)為1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948求燈泡壽命平均值的置信度為0.95的單側(cè)置信下限。提示：此題是一個正態(tài)總體的區(qū)間估計問題，且由于總體方差未知，因此可以直接使用R語言中t.test()函數(shù)進行分析。參考例5.11，單側(cè)置信下限，t.test()函數(shù)中的參數(shù) alternative=greater o解：源代碼及運行結(jié)果：(源代碼復(fù)制到此處，不需

11、要截圖)x-c(1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948)t.test(x,alternative=greater)One Sample t-testdata: xt = 23.969, df = 9, p-value = 9.148e-10alternative hypothesis: true mean is greater than 095 percent confidence interval:920.8443 Infsample estimates:mean of x997.1結(jié)論：燈泡壽命平均值的置信度為095的單側(cè)置信下限為920.8

12、443(習(xí)題5.11)某調(diào)查公司對902名高爾夫女選手進行了一項調(diào)查，以了解女選手 怎樣看待自己在比賽中的安排。調(diào)查結(jié)果顯示397名女選手對下午茶的時間感到 滿意。(1)試計算所有女選手對下午茶的時間感到滿意的置信區(qū)間，這里取置信水 平為0.95; 如果使用binom. test ()函數(shù)精確計算兩者相差多少？提示：參考例5.12 o解：源代碼及運行結(jié)果：(源代碼復(fù)制到此處，不需要截圖)m-397n-902p-m/nq-1-palpha-0.05z-qnorm(1-alpha/2)c(p-z*sqrt(p*q/n),p+z*sqrt(p*q/n)1 0.4077379 0.4725281bin

13、om.test(x=397,n=902)Exact binomial testdata: 397 and 902number of successes = 397, number of trials = 902, p-value =0.0003617alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.595 percent confidence interval:0.4074246 0.4732337sample estimates:probability of success0.440133結(jié)論：所有女選

14、手對下午茶的時間感到滿意的置信區(qū)間為0.4077379 ,0.4725281（續(xù)習(xí)題5.12）如果希望新生兒的平均體重與總體均值的邊際誤差不超過100， 應(yīng)從該婦產(chǎn)醫(yī)院隨機地選取多少名新生兒？提示：例5.13 o解：源代碼及運行結(jié)果：（源代碼復(fù)制到此處，不需要截圖）s-344.80e-100alpha-0.05z-qnorm（1-alpha/2）（n-zA2*sA2/eA2）1 45.66997結(jié)論：應(yīng)從該婦產(chǎn)醫(yī)院隨機地選取46名新生兒（習(xí)題5.13）某汽車營銷公司計劃估計某地區(qū)擁有小汽車家庭所占的比重，要求 邊際誤差不超過5%,置信水平取90%，問應(yīng)抽取多少樣本？公司調(diào)查人員認為， 擁有小汽

15、車家庭的實際比重不會超過20%，如果這一結(jié)論成立，應(yīng)抽取多少樣 本？提示：例5.14 o解：源代碼及運行結(jié)果：（源代碼復(fù)制到此處，不需要截圖）p-0.5e-0.1alpha-0.1z-qnorm（1-alpha/2）（n-zA2*p*（1-p）/eA2）1 67.63859結(jié)論：要求邊際誤差不超過5%，置信水平取90%，問應(yīng)抽取68個樣本。（習(xí)題5.16 ）甲、乙兩種稻種分別播種在10塊試驗田中，每塊試驗田甲、乙稻種 各種一半。假設(shè)兩稻種產(chǎn)量X, Y均服從正態(tài)分布，且方差相等。收獲后10塊試驗 田的產(chǎn)量如下所示（單位：千克）。甲 種140137136140145148140135144141乙

16、種135118115140128131130115131125求出兩稻種產(chǎn)量的期望差冉-*的置信區(qū)間(a =005)。提示：此題是兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計問題，且由于兩總體方差未知，因此可以直接 使用R語言中t.test()函數(shù)進行分析。ttest()可做兩正態(tài)樣本均值差的估計。注意此例 中兩樣本方差相等。參考教材P185倒數(shù)第四行開始至P186。解：源代碼及運行結(jié)果：(源代碼復(fù)制到此處，不需要截圖)x-c(140,137,136,140,145,148,140,135,144,141)y-c(135,118,115,140,128,131,130,115,131,125)xbarv-mean(

17、x)s1v-sd(x)n1v-length(x)ybarv-mean(y)s2v-sd(y)n2v-length(y)sw2v-(n1-1)*s1A2+(n2-1)*s2A2)/(n1+n2-2)s-sqrt(sw2*(1/n1+1/n2)alphav-0.05t=30，去掉總體服從正態(tài)分布這一 假設(shè)T統(tǒng)計量：小樣本數(shù)據(jù)的區(qū)間估計，總體方差未知對于單個總體比例的區(qū)間估計，涉及到是其實是二項分布。但當滿足_ np=5和nq=5(q=1-p) 條件時，可以近似使用正態(tài)分布來計算。對于單個總體比例的區(qū)間估計，涉及的是二項分布。因此在R語言中，可以使用binom.test(涵數(shù)進行區(qū)間估計，它是精確檢驗函數(shù)，通常用于小樣本數(shù)據(jù)；當處 理大樣本數(shù)據(jù)