橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)

1、8.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1.橢圓的定義:到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)（大于|F1F2 |）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：3.橢圓中a,b,c的關(guān)系是:b2=a2-c2當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)當(dāng)焦點(diǎn)在Y軸上時(shí)二、橢圓 簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì) 由 1, 1 得 oyB2B1A1A2F1F2cab1、范圍-axa, -byb 知橢圓落在x=a,y= b圍成的矩形中YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）2、對(duì)稱(chēng)性：關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)3、橢圓的頂點(diǎn)令 x=0，得 y=？說(shuō)明橢圓與 y軸的交點(diǎn)？令 y=0，得 x=？說(shuō)明橢圓與 x軸的交點(diǎn)？*頂點(diǎn)：橢圓與

2、它的對(duì)稱(chēng)軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。*長(zhǎng)軸、短軸：線(xiàn)段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。a、b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。 oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)4、橢圓的離心率離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比：叫做橢圓的離心率。2離心率的取值范圍：3離心率對(duì)橢圓形狀的影響：1）e 越接近 1，c 就越接近 a，從而 b就越小，橢圓就越扁2）e 越接近 0，c 就越接近 0，從而 b就越大，橢圓就越圓1e與a,b的關(guān)系:0eb標(biāo)準(zhǔn)方程圖像范圍|x| a,|y| b對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱(chēng)；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)坐標(biāo)(a,0)、(-a,

3、0)、(0,b)、(0,-b)焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)、(-c,0)半軸長(zhǎng)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b. ab離心率abc的關(guān)系 b2=a2-c2|x| b,|y| a同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0 , c)、(0, -c)同前同前同前例3、橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)是（0，2），離心率 ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：（1）當(dāng)（0，2）點(diǎn)是短軸端點(diǎn)時(shí) 所以a=2（2）當(dāng)（0，2）點(diǎn)是長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí) 所以b=2練習(xí)1、求下列橢圓的長(zhǎng)軸和短軸長(zhǎng)、焦距、離心率、各個(gè)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)答案：（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為4，焦距為離心率為 頂點(diǎn)為（2，0） （-2，0）（0，5）（0，-5）焦點(diǎn)坐標(biāo)

4、為（0， ） （0， ）(2)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為1，焦距為離心率為 頂點(diǎn)為（2，0） （-1，0）（0，0.5）（0，-0.5）焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ） （0， ）2、橢圓以?xún)勺鴺?biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，一個(gè)頂點(diǎn)是（0，3），另一個(gè)頂點(diǎn)是（-12，0）則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）橢圓的幾何性質(zhì)（2） yxoF1F2MA1B1復(fù)習(xí)：橢圓的幾何性質(zhì)b-ba-a1、范圍： x ， y .A2B22、頂點(diǎn):3、對(duì)稱(chēng)性：橢圓既是 對(duì)稱(chēng)圖形，也是 對(duì)稱(chēng)圖形. 軸中心4、離心率:e=( eb0)(ab0)問(wèn)題1問(wèn)題2求曲線(xiàn)的方程的步驟有哪些？建系設(shè)點(diǎn) 列方程化簡(jiǎn) 最后別忘了檢驗(yàn) 點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到定直線(xiàn)l

5、：xa2/c的距離的比是常數(shù)e=c/a(ac0)，求點(diǎn)M的軌跡。探究：解：設(shè)d是點(diǎn)M到直線(xiàn)L的距離，由題意知所求軌跡就是集合： 由此得 將上式兩邊平方，并化簡(jiǎn)，得 設(shè)就可化成 這就是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸，長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別2a,2b的橢圓當(dāng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F的距離和它到定直線(xiàn)l的距離的比是常數(shù)e=c/a(0e1)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)叫做橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)，常數(shù)e是橢圓的離心率。（一）橢圓的第二定義 對(duì)于橢圓x2/a2y2/b21，相應(yīng)于焦點(diǎn)F2(c,0)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是l：xa2/c，根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性，相應(yīng)于焦點(diǎn)F1(c,0)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是l：xa2/c；注 意：（1

6、）焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)是對(duì)應(yīng)的。對(duì)于橢圓x2/b2y2/a21：相應(yīng)于焦點(diǎn)F2(0,c)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是l：ya2/c相應(yīng)于焦點(diǎn)F1(0,c)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是l：ya2/c。 橢圓上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)F和它到準(zhǔn)線(xiàn)l(與焦點(diǎn)F相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn))的距離的比。（2）離心率的幾何意義：（3）解題常用到的相關(guān)量：除了a、b、c、e外兩準(zhǔn)線(xiàn)間的距離：2a2/c焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離-焦準(zhǔn)距p: p=a2/c-c=b2/c例題分析例1求橢圓4x2y21的x、y的范圍，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，離心率，焦點(diǎn)與頂點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線(xiàn)方程。解：范圍：1/2x1/2,1y1 長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a2，短軸長(zhǎng)2b1 頂點(diǎn)(0,1),(1/2,0) 焦點(diǎn) 離心率 準(zhǔn)線(xiàn)方程 )2

7、3,0(F解法1：解法2： 課堂練習(xí)：1、橢圓的x2/9+y2/25=1準(zhǔn)線(xiàn)方程是（）A 、 x=+25/4 B、 y=+16/5C、 x=+16/5 D、y=+25/42、橢圓x2/25+y2/16=1上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于3，則它到相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離是 5D3、橢圓x2/4+y2=1上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3/2，則到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離是 4、設(shè)P是橢圓x2/100+y2/36=1上一點(diǎn)，P到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離是10，則P到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離是（ ）A、6 B、8 C、10 D、15D53/3 .5、已知橢圓x2/25+y2=1，點(diǎn)M(4,y0)在橢圓上，求點(diǎn)M到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離。6、求中心在原點(diǎn)，離心率為

8、6/3，且一條準(zhǔn)線(xiàn)方程是y=3的橢圓方程。到左焦點(diǎn)距離是37/5，到右焦點(diǎn)距離是13/5y2/6+x2/2=1課后反思 橢圓的離心率是焦距與長(zhǎng)軸的比，橢圓上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與這點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離的比也是離心率，它反映了橢圓的扁圓程度，也溝通了橢圓上的點(diǎn)的焦半徑與到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)距離之間的關(guān)系，同時(shí)要注意橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)方程與焦點(diǎn)所在的位置的關(guān)系。思考上面探究問(wèn)題，并回答下列問(wèn)題：探究：（1）用坐標(biāo)法如何求出其軌跡方程，并說(shuō)出軌跡（2）給橢圓下一個(gè)新的定義已知橢圓 上的一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是x0，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，求PF2=?(ab0)|PF1|a+ex0，|PF2|aex0 焦半徑公式歸納:

9、橢圓的第一定義與第二定義是相呼應(yīng)的。定義 1圖 形定義 2平面內(nèi)與基礎(chǔ)練習(xí):DA定義：注：我們一般把這個(gè)定義稱(chēng)為橢圓的第二定義，而相應(yīng)的把另一個(gè)定義稱(chēng)為橢圓的第一定義。定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)叫做橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)。Hd敬請(qǐng)指導(dǎo)橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)第四課時(shí)橢圓的參數(shù)方程目 標(biāo)1、了解橢圓的參數(shù)方程,理解參數(shù)方程中系數(shù)a、b和參數(shù)的幾何意義;2、會(huì)用橢圓參數(shù)方程解決有關(guān)問(wèn)題.橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)與離心率離心率：橢圓的準(zhǔn)線(xiàn) 方程：oxyMLLFF離心率的范圍：相對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)F（c,0），準(zhǔn)線(xiàn)方程是：相對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)F（- c,0），準(zhǔn)線(xiàn)方程是：復(fù)習(xí)橢圓的有關(guān)幾何量1.兩準(zhǔn)線(xiàn)間距離2.焦半徑: M F1= a+ex, MF2=

10、 a-ex .1.圓x2+y2=r2(r0)的參數(shù)方程:2.圓(x-a)2+(y-b)2=r2的參數(shù)方程:其中參數(shù)的幾何意義為: 猜想橢圓 的參數(shù)方程為？為旋轉(zhuǎn)角參數(shù)方程的實(shí)質(zhì):三角換元新課探究問(wèn)題1:與圓類(lèi)似,把方程(1)叫做橢圓的參數(shù)方程.問(wèn)題2:橢圓的參數(shù)方程中 ，a,b, 的含義是什么?探求新知例1 如圖,以原點(diǎn)為圓心,分別以a、b(ab0)為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作ANOx，垂足為N，過(guò)點(diǎn)B作BMAN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。分析：本題是給定條件求軌跡問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們觀察并思考下列各問(wèn)題：（1）動(dòng)點(diǎn)A、B、N、M分別是如何

11、運(yùn)動(dòng)的？相互關(guān)系如何？其中最主要的動(dòng)點(diǎn)是哪個(gè)點(diǎn)？（2）動(dòng)點(diǎn)M是如何產(chǎn)生的？M的坐標(biāo)與點(diǎn)A、B的坐標(biāo)的關(guān)系如何？（3）什么是參數(shù)方程？如何設(shè)出恰當(dāng)?shù)膮?shù)？例1：如圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以 a、b（ab0)為半徑作兩圓.點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作 ANOx ，垂足為N，過(guò)點(diǎn) B作 BMAN，垂足為M，求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。解：xOyAMNBxOyAMNB說(shuō) 明由圖形可知:橢圓上到中心距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)為兩長(zhǎng)軸端點(diǎn),最長(zhǎng)距離為a; 最近的點(diǎn)為短軸兩端點(diǎn),最短距離為b.圓和橢圓的參數(shù)方程的比較名稱(chēng)方程參數(shù)的意義圓橢圓(a,b)為圓心,r為半徑a為長(zhǎng)半軸長(zhǎng),b為短半軸長(zhǎng);

12、 為離心角練習(xí)1把下列參數(shù)方程化為普通方程,普通方程化為參數(shù)方程.例2.P(x,y)為橢圓 上任意一點(diǎn),(1)求3x+4y的取值范圍;(2)求x2+y2的最值.解：由已知可設(shè)知識(shí)應(yīng)用 例3:如圖在橢圓x2+8y2=8上求一點(diǎn)P,使P到直線(xiàn)l:x-y+4=0的距離最小.解1:把直線(xiàn)l平移至首次與橢圓相切,切點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P,即:設(shè)l1的方程為x-y+m=0 ,整理得9y2-2my+m2-8=0,=4m2-49(m2-8)=0,解得m=3.由圖形可知m=3,l1首先與橢圓相切,此時(shí) ,即9y2-6y+1=0.XYlOx-y+m=0X2+8y2=8x-y+3=0X2+8y2=8例3:如圖在橢圓x2+8y2=8上求一點(diǎn)P,使P到直線(xiàn)l:x-y+4=0的距離最小.XYlOP例4課堂小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的參數(shù)方程及 的幾何意義。通過(guò)學(xué)習(xí)我們對(duì)橢圓有了更深入的了解，橢圓的兩種定義，兩種方程都是等價(jià)的，可以互相轉(zhuǎn)化。橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用廣泛，特別是求有關(guān)最值問(wèn)題，常比普通方程更簡(jiǎn)潔。解：ABCDOxy.)0(12222值的內(nèi)接矩形面積的最大求橢圓練習(xí)2：=+babyax解： yoF1F2x.125144)(322的取值