從向量積的角度理解行列式

1、 行列式是線性代數中的一個難點，特別是其看上去似乎有點古怪的定義和計算式。本文從向量積的角度，讓你換個思路理解行列式的計算式和意義。根據向量積的定義，兩個向量F、E的向量積為一個新向量乙?guī)诘拇笮。＃﹟c|=|7|K|sin6,其中e為兩個向量的夾角,的方向為按照右手法則確定的既垂直于乂垂直于B的方向。對于兩個二維向量的外積，其向量積的大小可看做是平面上y、E為邊的平行四邊形面積。以坐標形式表示，設有7=axT+ayy,K=S了+by了兩個二維向量（了、了表示x、y軸方向的單位向量，即以可以按照展開式將其展開:-*c=aXb=(axi+ayj)x(bxi+byj)）。向量積的計算符合分配率法則

2、，所 # =axbx(TxT)+axby(TxiTj+a(了xT)+ayby(了x了)由向量積的定義可知，TxT=o,T設了xy=k（k顯然是一個垂直于、了的單位向量），則有了Xr=-k（與k方向相反的單位向量）。于是：c=aXF=axby(Tx)+aybx(了x了)=(axby-aybx)k其中（axbyUybJ正是對應的二階行列式。如果仔細推敲一下兩個二維向量的向量積，感覺是比較奇怪的。用冒、:0分別表示了、了，對于丁axbzCx(ixRxi)+axbzCy(ixkxj)+axbzCz()-3ybxcx(jxixi)+aybxCy(jxixj)+xixk)+I)I、I)jI)I).ayby

3、C,jxjXi)+aybyC/jxjXj)+aybyCCjXjXk)+aybzCx(了xkxi)+aybzCy(yxkxJ)+aybzCz(亍xkxk)+azbxCx(kxTxT)+azbxCy(kxTx了)+azbxCz(kxTxk)+9azbyCx(kxjxi)+azbyCy(kxjxj)+azbyCz(kxjxk)+azbzGkxkx)+azbzCy(kxkx了)+azbzCz(kxkxk) #分析一下上面的式子：三個含三分項的式子相乘，容易知道，可以展開為33=27個分項。由于TxT=7x7=kxk=o,因此上式中含有同樣兩個單位向量的分項均為0,只剩下含有三個均為不同單位向量相乘的分

4、項。由簡單地排列組合（相當于了、了、匠的排列組合）可以知道，其中有3!二6個不為零的分項。將等于0的分項去除，有上式二axbyCz（ixxk）+kbzCy（ixkx了）七也心（了xixk）+3ybzcx（yxkxi）+azbxCy（kxTxj）+渤丫（kx了xT）需要注意的是，不能認為Tx7=k,從而得出Txyxk=kxk=o的結論。類比兩個二維向量的向量積的結果，應該把（了x了xW）視為四維空間中與了、7E均垂直的一個新的單位向量T,即1000X1X0001o001 # T=rxpxk,貝ij有TxkxT=kxTXy=T,Txkxy=kX了xT=7xTXk=-T由此得出：aXb*Xc=（ax

5、bycz+aybzcx+azbxCyaxbzcy-aybxcz-azbycx）1而（a:cbyCz+aybzCx+azgCy-axb2cy-?。盒?azbyCx）正是三階行列式的表達式。另外，從三個向量乘積的分開步驟來看,aXK得到的是一個新向量這個向量B的方向垂直于7、E所在平面，大小為y、E為邊的平行四邊形面積。pxc的大小則等于|p11c|sine,其中e為0、W兩個向量的夾角。如圖,|c|sinO可看做是高“h”。而剛剛說過,|p|大小為7、E為邊的平行四邊形面積，底面積乘以高，所以(aXbXc)的大小可看做是以a、E、c為棱的平行六面體的面積。不加絕對值符號的三階行列式表達式可看做是以、E、X為棱的平行六面體的有向面積。在前面展開式的基礎上，不難推出n個1】維向量的向量積的表達式。由上述計算過程可以歸納出，n個維向量的向量積的展開式應含有個向量，但其中不為零的向量應有n!個。n個1】維向量的向量積是一個1】+1維向量，它的方向是1】+1維空間中與這個1】維空間垂直的方向，這個方向有兩個，設其中