從向量積的角度理解行列式

1、 行列式是線(xiàn)性代數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)，特別是其看上去似乎有點(diǎn)古怪的定義和計(jì)算式。本文從向量積的角度，讓你換個(gè)思路理解行列式的計(jì)算式和意義。根據(jù)向量積的定義，兩個(gè)向量F、E的向量積為一個(gè)新向量乙?guī)诘拇笮。＃﹟c|=|7|K|sin6,其中e為兩個(gè)向量的夾角,的方向?yàn)榘凑沼沂址▌t確定的既垂直于乂垂直于B的方向。對(duì)于兩個(gè)二維向量的外積，其向量積的大小可看做是平面上y、E為邊的平行四邊形面積。以坐標(biāo)形式表示，設(shè)有7=axT+ayy,K=S了+by了兩個(gè)二維向量（了、了表示x、y軸方向的單位向量，即以可以按照展開(kāi)式將其展開(kāi):-*c=aXb=(axi+ayj)x(bxi+byj)）。向量積的計(jì)算符合分配率法則

2、，所 # =axbx(TxT)+axby(TxiTj+a(了xT)+ayby(了x了)由向量積的定義可知，TxT=o,T設(shè)了xy=k（k顯然是一個(gè)垂直于、了的單位向量），則有了Xr=-k（與k方向相反的單位向量）。于是：c=aXF=axby(Tx)+aybx(了x了)=(axby-aybx)k其中（axbyUybJ正是對(duì)應(yīng)的二階行列式。如果仔細(xì)推敲一下兩個(gè)二維向量的向量積，感覺(jué)是比較奇怪的。用冒、:0分別表示了、了，對(duì)于丁axbzCx(ixRxi)+axbzCy(ixkxj)+axbzCz()-3ybxcx(jxixi)+aybxCy(jxixj)+xixk)+I)I、I)jI)I).ayby

3、C,jxjXi)+aybyC/jxjXj)+aybyCCjXjXk)+aybzCx(了xkxi)+aybzCy(yxkxJ)+aybzCz(亍xkxk)+azbxCx(kxTxT)+azbxCy(kxTx了)+azbxCz(kxTxk)+9azbyCx(kxjxi)+azbyCy(kxjxj)+azbyCz(kxjxk)+azbzGkxkx)+azbzCy(kxkx了)+azbzCz(kxkxk) #分析一下上面的式子：三個(gè)含三分項(xiàng)的式子相乘，容易知道，可以展開(kāi)為33=27個(gè)分項(xiàng)。由于TxT=7x7=kxk=o,因此上式中含有同樣兩個(gè)單位向量的分項(xiàng)均為0,只剩下含有三個(gè)均為不同單位向量相乘的分

4、項(xiàng)。由簡(jiǎn)單地排列組合（相當(dāng)于了、了、匠的排列組合）可以知道，其中有3!二6個(gè)不為零的分項(xiàng)。將等于0的分項(xiàng)去除，有上式二axbyCz（ixxk）+kbzCy（ixkx了）七也心（了xixk）+3ybzcx（yxkxi）+azbxCy（kxTxj）+渤丫（kx了xT）需要注意的是，不能認(rèn)為T(mén)x7=k,從而得出Txyxk=kxk=o的結(jié)論。類(lèi)比兩個(gè)二維向量的向量積的結(jié)果，應(yīng)該把（了x了xW）視為四維空間中與了、7E均垂直的一個(gè)新的單位向量T,即1000X1X0001o001 # T=rxpxk,貝ij有TxkxT=kxTXy=T,Txkxy=kX了xT=7xTXk=-T由此得出：aXb*Xc=（ax

5、bycz+aybzcx+azbxCyaxbzcy-aybxcz-azbycx）1而（a:cbyCz+aybzCx+azgCy-axb2cy-?。盒?azbyCx）正是三階行列式的表達(dá)式。另外，從三個(gè)向量乘積的分開(kāi)步驟來(lái)看,aXK得到的是一個(gè)新向量這個(gè)向量B的方向垂直于7、E所在平面，大小為y、E為邊的平行四邊形面積。pxc的大小則等于|p11c|sine,其中e為0、W兩個(gè)向量的夾角。如圖,|c|sinO可看做是高“h”。而剛剛說(shuō)過(guò),|p|大小為7、E為邊的平行四邊形面積，底面積乘以高，所以(aXbXc)的大小可看做是以a、E、c為棱的平行六面體的面積。不加絕對(duì)值符號(hào)的三階行列式表達(dá)式可看做是以、E、X為棱的平行六面體的有向面積。在前面展開(kāi)式的基礎(chǔ)上，不難推出n個(gè)1】維向量的向量積的表達(dá)式。由上述計(jì)算過(guò)程可以歸納出，n個(gè)維向量的向量積的展開(kāi)式應(yīng)含有個(gè)向量，但其中不為零的向量應(yīng)有n!個(gè)。n個(gè)1】維向量的向量積是一個(gè)1】+1維向量，它的方向是1】+1維空間中與這個(gè)1】維空間垂直的方向，這個(gè)方向有兩個(gè)，設(shè)其中