分式方程的應(yīng)用案例定稿

1、分式方程的應(yīng)用教學(xué)案例七河中學(xué) 楊克成教學(xué)目標(biāo)：1、通過對具體問題的分析，設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，列出有關(guān)方程，從而解決實(shí)際問題。2、進(jìn)一步讓學(xué)生體會分式方程必須“轉(zhuǎn)化”為整式方程來解的思想方法。3、使學(xué)生了解解分式方程可能產(chǎn)生增根，知道檢驗(yàn)是解分式方程的一個重要步驟。教學(xué)重點(diǎn)：列分式方程解應(yīng)用題.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)題意，找出等量關(guān)系，正確列出方程.教學(xué)過程：一:復(fù)習(xí)回顧：解下列方程(1) 2/x+x/x+3 =1； （2）1/x-2+3=x-1/x-2本環(huán)節(jié)的主要作用是讓學(xué)生進(jìn)一步體會解分式方程的基本步驟，做到解方程與分式方程的應(yīng)用順利過渡。）二：合作探究（一）自主學(xué)習(xí)教材152153頁內(nèi)容，思考下列問

2、題1.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟是：（1）審:分析題意,找出數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系.（2）設(shè):選擇恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù),注意單位和語言完整.直接設(shè)法與間接設(shè)法（3）列:根據(jù)數(shù)量和相等關(guān)系,正確列出方程.（4）解:認(rèn)真仔細(xì)解這個分式方程.得未知數(shù)的值（5）驗(yàn):檢驗(yàn).有兩次檢驗(yàn).是否是所列方程的解;是否滿足實(shí)際意義. （6）答:注意單位和語言完整。 2.列方程解應(yīng)用題例1 一隊(duì)學(xué)生去校外徒步參觀，他們出發(fā)30分鐘時，學(xué)校要把一個緊急通知傳給帶隊(duì)老師，派一名學(xué)生騎車從學(xué)校出發(fā)，按原路追趕隊(duì)伍，若騎車的速度是隊(duì)伍行進(jìn)速度的2倍，這名學(xué)生追上隊(duì)伍時離學(xué)校的距離是15千米，問這名學(xué)生從學(xué)校出發(fā)到追上隊(duì)伍用了多少時間

3、？請同學(xué)根據(jù)題意，找出題目中的等量關(guān)系。（找一生回答）答：騎車行進(jìn)路程=隊(duì)伍行進(jìn)路程=15(千米)； 騎車的速度=步行速度的2倍； 騎車所用的時間=步行的時間0.5小時。 請同學(xué)依據(jù)上述等量關(guān)系列出方程。 答案：方法1：設(shè)這名學(xué)生騎車追上隊(duì)伍需x小時，依題意列方程為.15/x=215/x+0.5方法2： 設(shè)步行速度為x千米/時，騎車速度為2x千米/時，依題意列方程為 15/x-15/2x=1/2 解 由方法1所列出的方程，已在復(fù)習(xí)中解出，下面解由方法2所列出的方程。方程兩邊都乘以2x,去分母，得 3015=x.所以 x=15.檢驗(yàn)：當(dāng)x=15時，2x=2150,所以x=15是原分式方程的根，并

4、且符合題意。所以騎車追上隊(duì)伍所用的時間為：15千米/30千米/每小時=1/2小時=30分鐘答：騎車追上隊(duì)伍所用的時間為30分鐘。說明：在例1中我們運(yùn)用了兩個關(guān)系式，即時間=距離/速度 ，速度=距離/時間 。如果設(shè)速度為求知量，那么按時間找等量關(guān)系列方程；如果設(shè)時間為求知量，那么按速度找等量關(guān)系列方程，所列出的方程都是分式方程。例2 某工程需在規(guī)定日期內(nèi)完成，若由甲隊(duì)去做，恰好如期完成；若由乙隊(duì)去做，要超過規(guī)定日期三天完成。現(xiàn)由甲、乙兩隊(duì)合做兩天，剩下的工程由乙獨(dú)做，恰好在規(guī)定日期完成，問規(guī)定日期是多少天？分析：這是一個工程問題，在工程問題中有三個量，工作量設(shè)為S，工作所用時間設(shè)為t，工作效率設(shè)

5、為m,三個量之間的關(guān)系是 S=mt,或t=s/m ，或m= S/t請同學(xué)根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程。答案：方法1 工程規(guī)定日期就是甲單獨(dú)完成工程所需天數(shù)，設(shè)以為x天，那么乙單獨(dú)完成工程所需的在數(shù)就是(x+3)天。設(shè)工程總量為1，甲的工作效率就是1/x ,乙的工作效率就是1/x+3 。依題意，列方程為2(1/x + 1/x+3)+x-2/x+3 =1說明：工作效率的意義是單位時間完成的工作量。方法2 設(shè)規(guī)定的日期為x天，乙與甲合作兩天后，剩下的工程由乙單獨(dú)做，恰好 在規(guī)定日期完成，因此乙的工作時間就是x天，根據(jù)題意列方程2/x+ x/x+3=1。方法3 根據(jù)等量關(guān)系，總工作量甲的工作量=乙的工作

6、量，設(shè)規(guī)定日期為x天，則列方程12/x = 2/x+3+x-2/x+3 。用方法1方法3所列出的方程，我們已在新課之前解出，這里就不再解分式方程了。重點(diǎn)是找等量關(guān)系列方程。隨堂練習(xí)1甲加工180個零件所用的時間，乙可以加工240個零件，已知甲每小時比乙少加工5個零件，求兩人每小時各加工的零件個數(shù)。2A，B兩地相距135千米，有大、小兩輛汽車從A地開往B地，大汽車比小汽車早出發(fā)5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘。已知大、小汽車速度的比為2:5,求兩輛汽車的速度。小結(jié)：1 .列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題的方法與步驟基本相同，不同點(diǎn)是，解分式方程必須要驗(yàn)根。一方面要看原方程是否有增根，

7、另一方面還要看解出的根是否符合題意。原方程的增根和不符合題意的根都應(yīng)舍去。2列分式方程解應(yīng)用題，一般是求什么量，就設(shè)所求的量為未知數(shù)，這種設(shè)未知數(shù)的方法叫設(shè)直接未知數(shù)。但有時可根據(jù)題目特點(diǎn)不直接設(shè)題目所求的量為未知量，而是設(shè)另外的量為未知量這種設(shè)未知數(shù)的方法叫做設(shè)間接未知數(shù)。在列分式方程解應(yīng)用題時，設(shè)間接未知數(shù)，有時可使解答變得簡捷。例如在課堂練習(xí)中的第2題，若題目的條件不變，把問題改為求大、小兩汽車從A地到達(dá)B地各用的時間，如果設(shè)直接未知數(shù)，即設(shè)小汽車從A地到B地需用時間為x小時，則大汽車從A地到B地需(x+51/2 ),依題意，列方程135/x+5-1/2：135/x=2:5。解這個分式方

8、程，運(yùn)算較繁瑣。如果設(shè)間接未知數(shù)，即設(shè)速度為未知數(shù)，先求出大、小兩輛汽車的速度，再分別求出它們從A地到B地的時間，運(yùn)算就簡便多了。反思：1教學(xué)設(shè)計(jì)中，對于例1，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意，找到三個等量關(guān)系，并用兩種不同的方法列出方程；對于例2，引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意用三種不同的方法列出方程。這樣安排，意在啟發(fā)學(xué)生能善于從不同的角度、不同的方向思考問題，激勵學(xué)生在解決問題中養(yǎng)成靈活的思維習(xí)慣。這就為在列分式方程解應(yīng)用題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維提供不廣闊的空間。2教學(xué)設(shè)計(jì)中體現(xiàn)了充分發(fā)揮例題的模式作用。例1是行程問題，其中距離是已知量，求速度(或時間)；例2 是工程問題，其中工作總量為已知量，求完成工作量的時間(

9、或工作效率)。這些都是運(yùn)用列分式方程求解的典型問題。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深入分析已知量與未知量和題目中的等量關(guān)系，以及列方程求解的思路，以促使學(xué)生加深對模式的主要特征的理解和識別，讓學(xué)生弄清哪些類型的問題可借助于分式方程解答，求解的思路是什么。學(xué)生完成課堂練習(xí)和作業(yè)，則是識別問題類型，能把面對的問題和已掌握的模式在頭腦中建立聯(lián)系，探求解題思路。3通過列分式方程解應(yīng)用題教學(xué)，滲透了方程的思想方法，從中使學(xué)生認(rèn)識到了方程的思想方法是數(shù)學(xué)中解決問題的一個銳利武器。方程的思想方法可以用“以假當(dāng)真”和“弄假成真”兩句話形容。如可通過設(shè)直接未知數(shù)或間接未知數(shù)的方法，假設(shè)所求的量為x,這時就把它作為一個實(shí)實(shí)在在的

10、量。通過找等量關(guān)系列方程，此時是把已知量與假設(shè)的未知量平等看待，這就是“以假當(dāng)真”。通過解方程求得問題的解，碑假設(shè)的未知量x就變成了確定的量，這就是“弄假成真”。本節(jié)課也暴露了很多不足之處：1.學(xué)生們對于檢驗(yàn)的過程總是容易丟失，說明還是對檢驗(yàn)這個必要的步驟理解的不是很深刻，所以會出現(xiàn)易遺忘的現(xiàn)象，也暴露了我在教學(xué)時強(qiáng)調(diào)的力度還是不夠，以后應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)。2.對于等量關(guān)系的尋找，還有很多學(xué)生有困難，尤其是對題中條件比較多，或是等量關(guān)系比較隱含的應(yīng)用題，在尋找等量關(guān)系的時候感到無從下手，或者出現(xiàn)了顧此失彼的現(xiàn)象。這也說明了教師在講授應(yīng)用題時應(yīng)將重點(diǎn)放在怎樣幫學(xué)生尋找等量關(guān)系，怎樣從繁瑣的條件中撥開云霧，理清思路，這是