江蘇省2016屆高三數(shù)學專題復習 專題三 數(shù)列真題體驗 文

1、專題三數(shù)列真題體驗引領卷一、填空題1(2014江蘇高考)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a21，a8a62a4，則a6的值是_22(2010江蘇高考)函數(shù)yx2(x0)的圖象在點(ak，ak)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak1，k為正整數(shù)，a116，則a1a3a5_3(2015全國卷改編)已知等比數(shù)列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7_4(2014天津高考改編)設an是首項為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1_5(2013新課標全國卷改編)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，則m_9(2015江蘇高考)設數(shù)

2、列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列a前10項6(2015全國卷)在數(shù)列an中，a12，an12an，Sn為an的前n項和若Sn126，則n_7(2015湖南高考)設Sn為等比數(shù)列an的前n項和，若a11，且3S1，2S2，S3成等差數(shù)列，則an_8(2015全國卷)設Sn是數(shù)列an的前n項和，且a11，an1SnSn1，則Sn_1n的和為_110(2013江蘇高考)在正項等比數(shù)列an中，a52，a6a73.則滿足a1a2ana1a2an的最大正整數(shù)n的值為_二、解答題11(2014江蘇高考)設數(shù)列an的前n項和為Sn.若對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Snam，則稱an

3、是“H數(shù)列”(1)若數(shù)列an的前n項和Sn2n(nN*)，證明：an是“H數(shù)列”；(2)設an是等差數(shù)列，其首項a11，公差d0.若an是“H數(shù)列”，求d的值；(3)證明：對任意的等差數(shù)列an，總存在兩個“H數(shù)列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立12(2013江蘇高考)設an是首項為a，公差為d的等差數(shù)列(d0)，Sn是其前n項的2和記bnnnSnc，nN*，其中c為實數(shù)(1)若c0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差數(shù)列，證明：c0.13(2015江蘇高考)設a1，a2，a3，a4是各項為正數(shù)且公差為d(d0)的等差數(shù)列(1)證明：

4、2a1，2a2，2a3，2a4依次構成等比數(shù)列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a2，a3，a4依次構成等比數(shù)列？并說明理由；1234(3)是否存在a1，d及正整數(shù)n，k，使得an，ank，an2k，an3k依次構成等比數(shù)列？并說明理由專題三數(shù)列真題體驗引領卷14因為a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到關于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41224.2am1am1.由Sm20，得m(a12)0，則a12.又ama1(m1)d126，解得n6.從而1Sn1Sn故數(shù)列S是以1為首項，1為公差的等

5、差數(shù)列，Snnana22221在點(ak，ak)處的切線方程為：yak2ak(xak)，當y0時，解得x2k，所以ak11n1ak12，故an是a116，q2的等比數(shù)列，即an162，a1a3a5164121.342設等比數(shù)列an的公比為q，由a13，a1a3a521.得3(1q2q4)21.解得q22或q23(舍)于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142.142S1，S2，S4成等比數(shù)列，S2S1S4，又Sn為公差為1的等差數(shù)列的前n項114a1243和從而(a1a11)2a1，解得a12.55由題設，amSmSm12，am1Sm1Sm3.因為數(shù)列an為等差數(shù)列所以公差dm（a1am）

6、2，解得m5.66a12，an12an，數(shù)列an是以公比q2，首項a12的等比數(shù)列則Sn2（12n）1273n1由于3S1，2S2，S3成等差數(shù)列所以4S23S1S3，即3(S2S1)S3S2.3a2a3，則等比數(shù)列an的公比q3.故數(shù)列an的通項公式ana1qn13n1.18n由題意，得S1a11.an1SnSn1，Sn1SnSnSn1，則Sn0，11，11nS111因此1(n1)n，所以Sn.20119.a11，an1ann1，a2a12，a3a23，anan1n，將以上n1（2n）（n1）n（n1），即an2個式子相加得ana123n2，1令bn，故S10b1b2b102nn1故bn21

7、1n（n1）3111112021.1012由已知條件得qq23，2231011111122即q2q60，解得q2，或q3(舍去)，11ana5qn522n52n6，a1a2an32(2n1)，a1a2an2524232n62n211n2由a1a2ana1a2an，可知2n5252，可求得n的最大，由2n5252當d1時，an2n，Sn是小于2的整數(shù)，nN*，于是對任意的正整數(shù)n，n（n11）n（n11）22值為12，而當n13時，2825213，所以n的最大值為12.11(1)證明由已知，當n1時，an1Sn1Sn2n12n2n.于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)mn1，使得Sn2nam.所以

8、an是“H數(shù)列”(2)解由已知，得S22a1d2d.因為an是“H數(shù)列”，所以存在正整數(shù)m，使得S2am，即2d1(m1)d，于是(m2)d1.因為d0，所以m20，故m1.從而d1.n（3n）2總存在正整數(shù)m2Sn2n（3n）2，使得Sn2mam，所以an是“H數(shù)列”因此d總存在正整數(shù)mn（n1）的值為1.(3)證明設等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)dna1(n1)(da1)(nN*)令bnna1，cn(n1)(da1)，則anbncn(nN*)下證bn是“H”“數(shù)列”，設bn的前n項和為Tn，n（n1）則Tn2a1(nN*)，于是對任意的正整數(shù)n，2；使得Tnbm，所以bn是“H

9、數(shù)列”同理可證cn也是“H數(shù)列”所以，對任意的等差數(shù)列an，總存在兩個“H數(shù)列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立d.12解由題設，Snnan（n1）2Snn1ad22(1)由c0，得bnnad.又b1，b2，b4成等比數(shù)列，所以b2b1b4，即243aad，化簡得d22ad0.3*2代入Sn的表達式，整理得，對于所有的nN，有d1dn(b1d1ad)ncd1n364令t，則1(1t)(1t)，且(1t)(12t)t1，t0，則t.(2)證明設數(shù)列bn的公差為d1，則bnb1(n1)d1，即2ncb1(n1)d1，nN，*n1d13(1)證明因為2an1an2(n1，2，3)是同一個常

10、數(shù)，所以2a1，2a2，2a3，2因為d0，所以d2a.因此，對于所有的mN*，有Smm2a.從而對于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.nSn112211c(d1b1)令Ad12d，Bb1d1a2d，Dc(d1b1)，則對于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD.(*)在(*)式中分別取n1，2，3，4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，7A3Bcd10，從而有19A5Bcd10，21A5Bcd0，1由，得A0，cd15B，代入方程，得B0，從而cd10.11即d12d0，b1d1a2d0，cd10.1若d10，則由d12d0，得d0，

11、與題設矛盾，所以d10.又cd10，所以c0.2a2an2a4依次構成等比數(shù)列(2)解不存在，理由如下：令a1da，則a1，a2，a3，a4分別為ad，a，ad，a2d(ad，a2d，d0)假設存在a1，d，使得a1，a2，a3，a4依次構成等比數(shù)列，則a4(ad)(ad)3，且(ad)6a2(a2d)4.d1a2化簡得t32t220(*)，且t2t1.將t2t1代入(*)式，t(t1)2(t1)2t23tt13t4t10，145顯然t不是上面方程的解，矛盾，所以假設不成立d1并令tt，t0，知2(t)，1(t)，(t)，g(t)在，0和(0，)上均單調14因此不存在a1，d，使得a1，a2，

12、a3，a4依次構成等比數(shù)列(3)解不存在，理由如下：1231假設存在a1，d及正整數(shù)n，k，使得an，ank，an2k，an43k依次構成等比數(shù)列，則an(a12d)n2k(a1d)2(nk)，且(a1d)nk(a13d)n3k(a12d)2(n2k)11分別在兩個等式的兩邊同除以a2（nk）及a2（n2k），a31則(12t)n2k(1t)2(nk)，且(1t)nk(13t)n3k(12t)2(n2k)將上述兩個等式兩邊取對數(shù)，得(n2k)ln(12t)2(nk)ln(1t)，且(nk)ln(1t)(n3k)ln(13t)2(n2k)ln(12t)化簡得2kln(12t)ln(1t)n2ln(1t)ln(12t)，且3kln(13t)ln(1t)n3ln(1t)ln(13t)再將這兩式相除，化簡得ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t)4ln(13t)ln(1t)(*)令g(t)4ln(13t)ln(1t)ln(13t)ln(12t)3ln(12t)ln(1t)，則g(t)2（13t）2ln（13t）3（12t）2ln（12t）3（1t）2ln（1t）（1t）（12t）（13t）.令(t)(13t)2ln(13t)3(12t)2ln(12t)3(1t)2ln(1t)，則(t)6(13t)ln(13