1-球桿系統(tǒng)建模分析

1、-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company Onel線性系統(tǒng)理論課程設(shè)計(jì)報(bào)告書(shū)課題名稱(chēng)球桿系統(tǒng)孟禹漆鋮姓 名劉澤文孟凡強(qiáng)楊佐龍日 期2013年2月25日老 師陳 瑋1球桿系統(tǒng)建模分析本章將對(duì)球桿系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹，然后采用拉格朗日方程建立其 數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上分析其特性。1.1球桿系統(tǒng)介紹球桿系統(tǒng)（Ball & Beam）是由球桿執(zhí)行系統(tǒng)、控制器和直流電源等 部分組成。該系統(tǒng)對(duì)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)是一種理想的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。?是由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，因此比較容易理解該模型的控制過(guò) 程。球桿執(zhí)行系統(tǒng)（如圖1所示）由一根V型軌道和一個(gè)不銹鋼球 組成。V型槽軌道一側(cè)為不銹鋼桿，另一側(cè)為直

2、線位移電阻器。當(dāng) 球在軌道上滾動(dòng)時(shí)，通過(guò)測(cè)量不銹鋼桿上輸出電壓可測(cè)得球在軌道 上的位置。V型槽軌道的一端固定，而另一端則由直流電機(jī)（DC motor）的經(jīng)過(guò)兩級(jí)齒輪減速，再通過(guò)固定在大齒輪上的連桿帶動(dòng)進(jìn) 行上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)。V型槽軌道與水平線的夾角可通過(guò)測(cè)量大齒輪轉(zhuǎn) 動(dòng)角度和簡(jiǎn)單的幾何計(jì)算獲得。這樣，通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)反饋控制系統(tǒng) 調(diào)節(jié)直流電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)，就可以控制小球在軌道上的位置。圖1球桿系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)原理圖1.2拉格朗日方程介紹建立一個(gè)力學(xué)體系的動(dòng)力學(xué)方程所需要的獨(dú)立坐標(biāo)稱(chēng)為廣義坐 標(biāo)，廣義坐標(biāo)一旦確定，體系在空間的位置狀態(tài)也就可以唯一確 定。廣義坐標(biāo)可以是坐標(biāo)變量，也可能是是角動(dòng)量或其他獨(dú)立變 量，凡

3、能用來(lái)表述體系的位形、運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力學(xué)狀態(tài)的獨(dú)立參量都可 作為廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)的條件是：互相獨(dú)立、滿足約束方程、唯 一確定體系的位形式動(dòng)力學(xué)狀態(tài)。拉格朗日方程方法建?？梢员硎鰹椋涸O(shè)一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的自由度 為n，對(duì)于系統(tǒng)可以采用廣義坐標(biāo)q = (q ,q ,., q )，q = (q ,q，q )來(lái)描 TOC o 1-5 h z 12 n12 n述，記該系統(tǒng)的總體動(dòng)能為T(mén)(q,q)，總體勢(shì)能為V(q)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特 性可以用以下的拉格朗日方程描述：i = 1,2,., n(1.1)d ( SL _dL_ 氣dt Sq ) Sq ii其中，方程組中方程式的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)，匚為作用在第i個(gè)廣義

4、坐標(biāo)q方向的外部力或力矩之和。i若函數(shù)L表示系統(tǒng)動(dòng)能T與勢(shì)能V的差值即L=T V，L稱(chēng)為拉格朗日函數(shù)。即：L ( q , q)=T ( q , q.)-V ( q )。因勢(shì)能不是廣義速度q，的函數(shù)，所以告=。這樣，系統(tǒng)的拉格朗I日方程用L表示為：(1.2) TOC o 1-5 h z d (dT，燈QV 一=-+t I = 1,2,., n dt dq ) QqQq，iii顯然，拉格朗日函數(shù)具有能量的量綱。這不但在機(jī)械系統(tǒng)中成 立，在電動(dòng)力學(xué)中，有些問(wèn)題也可求出拉格朗日函數(shù)，從而通過(guò)拉 格朗日方程，來(lái)建立電動(dòng)力學(xué)的運(yùn)動(dòng)微分方程，因此拉格朗日函數(shù) 及拉格朗日方程，具有更為普遍的意義。1.3球桿系

5、統(tǒng)建模過(guò)程為了簡(jiǎn)化和清晰建模過(guò)程，可將球桿系統(tǒng)分解為三個(gè)部分一 球桿機(jī)械部分模型，球桿角度轉(zhuǎn)換部分模型和直流電機(jī)部分模型1.3. 1球桿系統(tǒng)機(jī)械部分建模對(duì)于球桿系統(tǒng)中球和橫桿的運(yùn)動(dòng)方程可以采用拉格朗日方法建 模。定義廣義坐標(biāo)（X, a），X、a分別表示小球相對(duì)固定軸端的位移 和導(dǎo)軌相對(duì)水平位置繞固定軸逆時(shí)針?lè)较虻霓D(zhuǎn)角，、a分別表示相 應(yīng)的位移速度和角速度。表2.1球桿系統(tǒng)參數(shù)小球質(zhì)量（Kg）m0.1齒輪半徑（m ）r0.04小球半徑（m）R0.015齒輪轉(zhuǎn)角0小球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（Kg - m 2）Jm10 -5連桿長(zhǎng)度（m ）l橫桿質(zhì)量（Kg）M0.4橫桿轉(zhuǎn)角a橫桿長(zhǎng)度（m ）L作用在橫桿上的扭矩

6、（N - m）T橫桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（Kg - m 2）J M當(dāng)然，建立拉氏方程一般分以下四個(gè)步驟：1）用廣義坐標(biāo)表示笛卡爾坐標(biāo)：X = X （q ,q ,., q ） k k 12 n2）用廣義速度表示笛卡爾坐標(biāo)下的速度：七=衰-亨=齊L = T - V = T(q, q) - V(q)求出竺及竺，按自由度數(shù)建立拉格朗日方程組。8qdq求系統(tǒng)動(dòng)能選取球桿系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)為q(x,a )，系統(tǒng)的自由度為2，用廣義 坐標(biāo)表示笛卡爾坐標(biāo)為 :x = x - cos a，)= x - sin a， 廣義速度之間的 關(guān)系為：11x = x - cos a - x a sin a，y = x sin a + x

7、a cos a 小球沿廣義坐標(biāo)氣方向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能：T = m(x2 + y2) = m(x2 + x2 a 2) 12112小球繞徑向轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能為： 丁 _1, TJ 2(1.6)(1.3)(1.4)(1.5)式中表示小球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，由小球在橫桿上的滾動(dòng)速度和橫桿 的轉(zhuǎn)動(dòng)速度兩部分組成，即：(1.7)x .(1.8)=+ a R因a數(shù)值很小，故可做一下近似2 =故有:(x (x j其中J為小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J = ImR2橫桿繞固定端轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能為：t= 2 j m a 2其中Jm為橫桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，J廣3ML 故系統(tǒng)總動(dòng)能：(1.9)(1.10)T = T1 + T+ T= 2 m( x 2 +

8、 % 2 .a 2) + 2 J(1.11)/ 0 x .23 2 =+ a=-1R jIR )2充 .+ 2a +a2R求系統(tǒng)勢(shì)能小球的勢(shì)能：V = mgx sin a1橫桿本身引起的勢(shì)能為：V2 = 2 MgL sin a故系統(tǒng)總勢(shì)能：V = V + V = mgx sin a+1 MgL sin a122對(duì)式1.11做以下處理，得到：(1.14)6T _ d dx dx(x 1+ J a2V R )2 M J=mxd 22 1+j a 22 ME1 m(x2 + x2 .a2)+ 1J dx 22 m(1.15)生_ ddx dx1 m(x2 + x2 .a2)+1 J dx 2 *2

9、mV d dx dxd (.1 .= mgx sin a + MgL sin adx V2)=mg sin a對(duì)式1.15做以下處理，得到：d dt(1.16)(1.17)(1.18)根據(jù)式1.2，得到廣義坐標(biāo)下x的拉格朗日方程，即有：爭(zhēng)(普dt V dx )dT _ dV=dxdx(1.19)(1.20)綜合以上式1.14、1.15、1.16、1.17，得出關(guān)于廣義坐標(biāo)下x的方 程為：X - mxa 2 = -mg sin a當(dāng)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，a等于零，在零點(diǎn)附近對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線 性化處理，可取sin a.a，cosa 5，x a 2表示離心加速度，實(shí)際中其 數(shù)值很小，可忽略，于是可得到近似

10、方程：m + JmV R 2)x = -mga(1.21)對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換即可得球桿系統(tǒng)機(jī)械部分模型為：(1.22)X(s) _ mg 1 =* a (s), J s2 m + -m1.3.2球桿系統(tǒng)角度轉(zhuǎn)換部分模型在球桿的執(zhí)行機(jī)構(gòu)中，橫桿一端固定，大齒輪、連桿與橫桿- 起組成了一個(gè)四連桿結(jié)構(gòu)，齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)就通過(guò)連桿作用到橫桿上, 從而使橫桿繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。齒輪轉(zhuǎn)角。和橫桿的轉(zhuǎn)角a之間的關(guān)系可以用下式表示：L (1 cos a )一 r (1 cos0)2 + (L sin a +1 r sin0 )2 = 12(1.23)在橫桿水平位置附近，齒輪轉(zhuǎn)角在50。之間，故可以將其近似為一 個(gè)比例關(guān)系

11、：a = r 0(1.24)L1.3.3球桿系統(tǒng)直流電機(jī)部分模型球桿系統(tǒng)中的電機(jī)由智能驅(qū)動(dòng)器控制，其響應(yīng)速度相當(dāng)快且電 機(jī)轉(zhuǎn)角0 (t)對(duì)電壓u(t)的響應(yīng)時(shí)間常數(shù)也很小。因此可將直流伺服電 機(jī)數(shù)學(xué)模型近似為一個(gè)純?cè)鲆鍷。1.4球桿系統(tǒng)狀態(tài)空間描述根據(jù)以上模型的推導(dǎo)過(guò)程，整個(gè)球桿系統(tǒng)的模型可以近似為如圖2所示。圖2球桿系統(tǒng)的近似模型 故整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)近似為：mgrK 1 m + J I R2)線性化的系統(tǒng)方程還可以用狀態(tài)空間方程來(lái)表示。我們將小球的位置(r)和速度(r的一階導(dǎo)數(shù))作為變量,將齒輪角度0作為輸入，狀態(tài)方程如下所示：rn r0 1rr=0 0E+0mgdL（備 + rn）R2不

12、過(guò)，在本實(shí)驗(yàn)中，我們不用角度0，而是用a的二階導(dǎo)數(shù)來(lái)控制小球位置，這本質(zhì)上就是控制橫梁的轉(zhuǎn)矩。狀態(tài)方程變?yōu)椋? 100r0 0 -mg-0r0rr j ir0=+ m+aVR2）a00001aa1一 一0 000一 一 u0一r r a a注意：對(duì)于本系統(tǒng)是采用電機(jī)在橫桿上施加轉(zhuǎn)矩來(lái)控制小球的位置的。2.球桿系統(tǒng)性能分析根據(jù)第一部分球桿系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述在這章中對(duì)球桿系統(tǒng)的能控 性，能觀性進(jìn)行等方面進(jìn)行分析。2.1球桿系統(tǒng)的能控能觀性利用matlab工具箱對(duì)球桿系統(tǒng)進(jìn)行的能控能觀性分析如下：A = 0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;0 0 0 0;B = 0 ;0; 0; 1;C

13、 = 1 0 0 0;D = 0;N = size(A);n = N(1);CAM=ctrb(A,B);rcam=rank(CAM);if rcam = n disp(System is controlled);elseif rcam n disp(System is not controlled);endob = obsv(A,C);roam=rank(ob);if roamdisp(System is observable);elseif rcamndisp(System is not observable);end結(jié)果為：眼w t心 MATULB? Watch +hi s jeOj 旺&

14、 恥布皿，or read 檢土七Syst&HL is cont rolled System. is observable 所以系統(tǒng)是能控能觀的。2.2球桿系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程容易得知系統(tǒng)有四個(gè)特征根且四個(gè)特征 跟均為零，對(duì)于高階非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe的穩(wěn)定性要由高階導(dǎo) 數(shù)項(xiàng)G（y）來(lái)決定的；通過(guò)查取資料分析該球桿系統(tǒng)是非穩(wěn)定的。（查取資料前用分別用李亞普諾夫第一方法和第二法進(jìn)行了分析，在采取第二法分析中由于求取的矩陣P不唯一，得不到相關(guān)的結(jié) 果，最后查取資料進(jìn)行了分析，并將資料付在論文最后）。2.3球桿系統(tǒng) 極點(diǎn)配置與控制器設(shè)計(jì)極點(diǎn)配置的方法就是通過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩

15、陣的狀態(tài)反 饋方法，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到任意期望的位置。X(t) = A:(t)+ Bu(t)，其中x是狀態(tài)變量(n維)，u是控制信號(hào)，這里選取控制信號(hào)為u = Kx ,x(t) = (A - BK) * x(t)，該方程的解為 x(t) = e(ABK)心(0),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)特性由矩陣A-B K的特征決定。K= K1 K2 K3 K4 .x，閉環(huán)系統(tǒng)的方程為ABf = ( a bk ) x，選取所希望的極點(diǎn)值為，p1 p2 p3 p4設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣時(shí)，要使系統(tǒng)的極點(diǎn)設(shè)計(jì)成具有兩個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)，兩個(gè)非主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣就可以用二階系統(tǒng)的分析方法進(jìn)行參數(shù) 的確定。最大超調(diào)量小于等于10%，

16、調(diào)節(jié)時(shí)間為5S，運(yùn)用超調(diào)量的計(jì)算公式，S%= e2x100%，其中i為阻尼系數(shù)，有該公式可求得，阻尼系數(shù)i =0.59，小于1，是欠阻尼。33t =(-a為極點(diǎn)頭部)，可以求得n =1.27n則極點(diǎn)公式為 P 1,2 = -zWn A1-Wn，得到兩個(gè)共軛極點(diǎn)為P1=-0.75+j*0125,P2=-075-j*0125。配置非主導(dǎo)極點(diǎn)P=P =-10。34在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中提供了單變量系統(tǒng)極點(diǎn)配置acker(), 其格式為：K=acker(A,B,p)程序如下及其運(yùn)行結(jié)果如下：CoiOTind Vindov盹置 to MATXAB? Watck this Video, see

17、i紈皿由 or read Gptti站 Stai-ted. A = 0 1 0 01 0 0 1 0 ; 0 0 0 1 ,0 0 0 0.B = 0 ;0; 0; 1】；rc=rsu：-Lk （ctrb （瓦 B） J ;p= -0, 75+1. 025jJ-D.75-l_ 025jJ-10J-10;K= acker （立淳 p）ac=A-E*Keig Cac）CcMi-Mnd Window。恥w to flAILAE：? Watch this Vide&J see Denosj or read Getting Staited-161. 312E182. 262E131- 61312L 60

18、00ac =01. 00000000L 00000000L.0000-161. 3125-182. 2625-131. 6131-21. 5000ans =-10.0000 + C. 00001-10. 3000 - 0. OOOOi-0.7500 + 1. 0250i-0. 7E00 - 1. 02 60i仿真如下Si叩A(chǔ)dd仿真結(jié)果如下432X】二Y從仿真效果來(lái)看，穩(wěn)定時(shí)間約為4到5秒，超調(diào)也小于10%,基本上達(dá)到了系統(tǒng)的要求。3分析小結(jié)狀態(tài)反饋增益矩陣按上述的方法確定，即可使誤差（由擾動(dòng)所引起的）以 足夠快的速度降到零。對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，矩陣Kp并不是唯一的，而是取決 于所期望的閉環(huán)極點(diǎn)位置（它決定響應(yīng)速度）的選擇。選擇期望的閉環(huán)極點(diǎn)或 期望的特征方程是在誤差矢量響應(yīng)的快速性與對(duì)擾動(dòng)和測(cè)量噪聲敏感型之間的 一個(gè)折衷方案。也就是說(shuō)，如果我們使誤差響應(yīng)的速度提高，那么擾動(dòng)和測(cè)量 噪聲的有害影響往往也會(huì)增強(qiáng)。在確定給定系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益矩陣，時(shí)，通 常是通過(guò)比較按不同的期望閉環(huán)極點(diǎn)或期望特征方程得到的矩陣K