高考數學一輪專題精講24：三角恒等變形和應用

1、第24講 三角恒等變形及應用一【課標要求】1經歷用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用；2能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系；3能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括引導導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。二【命題走向】從近幾年的高考考察的方向來看，這部分的高考題以選擇、解答題出現的機會較多，有時候也以填空題的形式出現，它們經常與三角函數的性質、解三角形及向量聯合考察，主要題型有三角函數求值，通過三角式的變換研究三角函數的性質本講內容是高考復習的重點之一，三角函數的化簡、求值及三

2、角恒等式的證明是三角變換的基本問題。歷年高考中，在考察三角公式的掌握和運用的同時，還注重考察思維的靈活性和發(fā)散性，以及觀察能力、運算及觀察能力、運算推理能力和綜合分析能力三【要點精講】1兩角和與差的三角函數；。2二倍角公式；。3三角函數式的化簡常用方法：直接應用公式進行降次、消項；切割化弦，異名化同名，異角化同角； 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：能求出值的應求出值；使三角函數種數盡量少；使項數盡量少；盡量使分母不含三角函數；盡量使被開方數不含三角函數（1）降冪公式；。（2）輔助角公式，。4三角函數的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關系，利用

3、三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函數值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題的關鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實質上轉化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數值結合所求角的范圍及函數的單調性求得角5三角等式的證明（1）三角恒等式的證題思路是根據等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現已知條件和待證等式間的關系，采用代入法、消參法或分析法進行證明。四【典例解析】題型1：兩角和與差的三

4、角函數例1已知，求cos。分析：因為既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的兩種解法。解法一：由已知sin+sin=1，cos+cos=0，22得 2+2cos； cos。22得 cos2+cos2+2cos（）=1，即2cos（）=1。解法二：由得由得得點評：此題是給出單角的三角函數方程，求復角的余弦值，易犯錯誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知數有四個，顯然前景并不樂觀，其錯誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關系本題關鍵在于化和為積促轉化，“整體對應”巧應用。例2已知求分析：由韋達定理可得到進而可以求出的值，再將所求值的三角函數式用tan表示便可知其值解法一：

5、由韋達定理得tan，所以tan解法二：由韋達定理得tan，所以tan，。點評：（1）本例解法二比解法一要簡捷，好的解法來源于熟練地掌握知識的系統(tǒng)結構，從而尋找解答本題的知識“最近發(fā)展區(qū)”。（2）運用兩角和與差角三角函數公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關系，次數關系，三角函數名等抓住公式的結構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用，而且抓住了公式的結構特征，有利于在解題時觀察分析題設和結論等三角函數式中所具有的相似性的結構特征，聯想到相應的公式，從而找到解題的切入點。（3）對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如題型2：二倍角公式例3化簡下列各式：（1）

6、，（2）。 分析：（1）若注意到化簡式是開平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口；（2）由于分子是一個平方差，分母中的角，若注意到這兩大特征，不難得到解題的切入點解析：（1）因為，又因，所以，原式=。（2）原式= =。點評：（1）在二倍角公式中，兩個角的倍數關系，不僅限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數關系，同時還要注意三個角的內在聯系的作用，是常用的三角變換。（2）化簡題一定要找準解題的突破口或切入點，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡技巧。（3）公式變形，。例4若。分析：注意的兩變換，就有以下的兩種解法。解法一：由， 解法二：，點評：此題若將的左邊展開

7、成再求cosx，sinx的值，就很繁瑣，把，并注意角的變換2運用二倍角公式，問題就公難為易，化繁為簡所以在解答有條件限制的求值問題時，要善于發(fā)現所求的三角函數的角與已知條件的角的聯系，一般方法是拼角與拆角，如，等。題型3：輔助角公式例5已知正實數a,b滿足。分析：從方程 的觀點考慮，如果給等式左邊的分子、分母同時除以a，則已知等式可化為關于程，從而可求出由，若注意到等式左邊的分子、分母都具有的結構，可考慮引入輔助角求解解法一：由題設得 解法二：解法三：點評：以上解法中，方法一用了集中變量的思想，是一種基本解法；解法二通過模式聯想，引入輔助角，技巧性較強，但輔助角公式，或在歷年高考中使用頻率是相

8、當高的，應加以關注；解法三利用了換元法，但實質上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點，所以解法三最佳。例6（2009江蘇卷）函數（為常數，）在閉區(qū)間上的圖象如圖所示，則= . 答案 3解析 考查三角函數的周期知識 ，所以， 點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，考查利用三角公式進行恒等變形的技能以及運算能力。（2009北京文）（本小題共12分）已知函數.（）求的最小正周期；（）求在區(qū)間上的最大值和最小值.解析 本題主要考查特殊角三角函數值、誘導公式、二倍角的正弦、三角函數在閉區(qū)間上的最值等基礎知識，主要考查基本運算能力解（），函數的最小正周期為.（）由，在區(qū)間上的最大值為1，最小值為.點評：本題

9、主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角公式進行恒等變形的技能及運算能力。題型4：三角函數式化簡例7求sin220cos250sin20cos50的值解析：原式（1cos40）（1cos100）（sin70sin30）1（cos100cos40）sin70sin70sin30sin70sin70sin70。點評：本題考查三角恒等式和運算能力。例8已知函數. （）求的定義域； （）設的第四象限的角，且，求的值解析：（）由 得， 故在定義域為（）因為，且是第四象限的角, 所以 故 。題型5：三角函數求值例9設函數f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中0,aR),且f(x)的圖象在y軸右

10、側的第一個高點的橫坐標為。（）求的值；（）如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值。解析：（I）依題意得 （II）由（I）知，。又當時，故，從而在區(qū)間上的最小值為，故例10求函數2的值域和最小正周期解析：y=cos(x+) cos(x)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)，函數y=cos(x+) cos(x)+sin2x的值域是2,2,最小正周期是。題型6：三角函數綜合問題例11（2009江蘇卷） 設向量 （1）若與垂直，求的值； （2）求的最大值; （3）若，求證：. 【解析】 本小題主要考查向量的基本概念，同時考查同角三角函數的基本關系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余

11、弦公式，考查運算和證明得基本能力。滿分14分。點評：本題主要考察以下知識點：1、向量垂直轉化為數量積為0；2，特殊角的三角函數值；3、三角函數的基本關系以及三角函數的有界性；4.已知向量的坐標表示求模，難度中等，計算量不大。例12設0，曲線x2sin+y2cos=1和x2cosy2sin=1有4個不同的交點。（1）求的取值范圍；（2）證明這4個交點共圓，并求圓半徑的取值范圍解析：（1）解方程組，得；故兩條已知曲線有四個不同的交點的充要條件為，（0）0。（2）設四個交點的坐標為（xi，yi）（i=1，2，3，4），則：xi2+yi2=2cos（，2）（i=1，2，3，4）。故四個交點共圓，并且這

12、個圓的半徑r=cos（）.（2009上海卷文）（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 . 已知ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設向量， .若/，求證：ABC為等腰三角形； 若，邊長c = 2，角C = ，求ABC的面積 .證明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圓半徑， 為等腰三角形解（2）由題意可知由余弦定理可知， 點評：本題注重考查應用解方程組法處理曲線交點問題，這也是曲線與方程的基本方法，同時本題也突出了對三角不等關系的考查。題型7：三角函數的應用例13有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60，從這個扇形中切割下一個內接矩形，即矩形的各個頂點都

13、在扇形的半徑或弧上，求這個內接矩形的最大面積分析：本題入手要解決好兩個問題，（1）內接矩形的放置有兩種情況，如圖2-19所示，應該分別予以處理；（2）求最大值問題這里應構造函數，怎么選擇便于以此表達矩形面積的自變量解析：如圖2-19(1)設FOA=，則FGRsin，。又設矩形EFGH的面積為S，那么又060，故當cos(260)1，即=30時，如圖2-19 (2)，設FOA，則EF2Rsin(30)，在OFG中，OGF150設矩形的面積為S那么SEFFG4R2sinsin(30-)2R2cos(230)cos30又030，故當cos(230)1。五【思維總結】從近年高考的考查方向來看，這部分常

14、常以選擇題和填空題的形式出現，有時也以大題的形式出現，分值約占5%因此能否掌握好本重點內容，在一定的程度上制約著在高考中成功與否。1兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在學習時應注意以下幾點：（1）不僅對公式的正用逆用要熟悉，而且對公式的變形應用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如，等；（3）注意倍角的相對性（4）要時時注意角的范圍（5）化簡要求熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。2證明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形式。（2）證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利

15、用函數的單調性，利用正、余弦函數的有界性，利用單位圓三角函數線及判別法等。3解答三角高考題的策略。（1）發(fā)現差異：觀察角、函數運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯系。（3）合理轉化：選擇恰當的公式，促使差異的轉化4加強三角函數應用意識的訓練1999年高考理科第20題實質是一個三角問題，由于考生對三角函數的概念認識膚淺，不能將以角為自變量的函數迅速與三角函數之間建立聯系，造成思維障礙，思路受阻.實際上，三角函數是以角為自變量的函數，也是以實數為自變量的函數，它產生于生產實踐，是客觀實際的抽象，同時又廣泛地應用于客觀實際，故應培養(yǎng)實踐第一的觀點.總之，三角部分的考查保持了內容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點是三角函數的概念、性質和圖象，三角函數的求值問題以及三角變換的方法。5變?yōu)橹骶€、抓好訓練變是本章