應(yīng)用數(shù)學(xué)第四章-指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)課件

1、應(yīng)用數(shù)學(xué) 主編:河南機電學(xué)校基礎(chǔ)部第四章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)第一節(jié)指數(shù)冪在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪的概念：正整數(shù)指數(shù)冪零指數(shù)冪負整數(shù)指數(shù)冪整數(shù)指數(shù)冪有下面的運算性質(zhì)：一、根式我們知道，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根；如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根.一般地，如果一個數(shù)的n次方等于a(n1，且nN*)，那么這個數(shù)叫做a的n次方根.就是說，如果xn=a那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*.第一節(jié)指數(shù)冪c當(dāng)n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時，a的n次方根用符號 表示.當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)，這

2、時，正數(shù)a的正的n次方根用符號 表示，負的n次方根用符號- 表示，正的n次方根和負的n次方根可以合并寫成 (a0).第一節(jié)指數(shù)冪16的4次方根可以寫成 負數(shù)沒有偶次方根.0的任何次方根都是0，記作式子 叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).根據(jù)n次方根的意義，可 .注意當(dāng)n為奇數(shù)時, 當(dāng)n為偶數(shù)時，第一節(jié)指數(shù)冪第一節(jié)指數(shù)冪二、分數(shù)指數(shù)冪我們看下面的例子:這就是說，當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式也可以寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式.我們規(guī)定正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義與負整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我

3、們規(guī)定第一節(jié)指數(shù)冪0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到有理數(shù)指數(shù).上述整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于有理指數(shù)冪也同樣適用，即對于任意有理數(shù)m,n均有下面的運算性質(zhì)：第一節(jié)指數(shù)冪一般地，當(dāng)a0時，任意給定一個無理數(shù)，都有a是一個唯一確定的實數(shù).這樣我們就把有理數(shù)指數(shù)冪的概念推廣到了實數(shù)指數(shù)冪.第一節(jié)指數(shù)冪第一節(jié)指數(shù)冪第一節(jié)指數(shù)冪第一節(jié)指數(shù)冪第一節(jié)指數(shù)冪第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)一、指數(shù)函數(shù)的定義引例1某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個,一個這樣的細胞分裂x次后，得到的細胞個數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=2x .引例2某企業(yè)原來

4、的年產(chǎn)值為1億元，計劃從今年開始年產(chǎn)值平均每年增加8%，求x年后的產(chǎn)值y(單位：億元).分析1年后的年產(chǎn)值是1+0.08=1.08，2年后的年產(chǎn)值是(1+0.08)(1+0.08)=1.082，3年后的年產(chǎn)值是(1+0.08)2(1+0.08)=1.083，x年后的年產(chǎn)值是(1+0.08)x-1(1+0.08)=1.08x，所以x年后的年產(chǎn)值y是y=1.08x.第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)以上兩個例子中的函數(shù)，它們的指數(shù)都是變量，底數(shù)都是常量，對于這樣的函數(shù)，給出下面的定義.定義形如y=ax(a0，a1)的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù).其中x是自變量.函數(shù)的定義域是R.第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)第二

5、節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)表4-1二、指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)現(xiàn)在我們分兩種情況來描繪指數(shù)函數(shù)的圖像，從而進一步研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).(1)a1的情況.例如，畫出y=2x的圖像.列出x,y的對應(yīng)值表4-1，用描點法畫出圖像：(2)0a1的情況.例如,我們來畫 的圖像,即y=2-x的圖像.列出x,y的對應(yīng)值表4-2，用描點法畫出圖像：表4-2第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)因為 ，所以只要在函數(shù)y=2x中，把x換成-x，并且根據(jù)y=2-x的圖像與y=2x的圖像關(guān)于y軸對稱，就可以畫出函數(shù)y=2-x，也就是 的圖像(圖4-1).圖4-1第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)表4-3一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax在底數(shù)a1及0a1

6、這兩種情況下的圖像和性質(zhì)如表4-3所示.第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)第二節(jié)指 數(shù) 函 數(shù)三、指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用第三節(jié)對數(shù)一、對數(shù)1.對數(shù)的概念我們知道，2的4次冪等于16，即24=16,這里2是底數(shù)，4是指數(shù)，16是2的4次冪.如果提出另一個問題：2的多少次冪等于16？也就是說，如果2b=16,b=?這是已知冪和底數(shù)的值，求指數(shù)的問題.為了解決這類問題，引進一個新的概念對數(shù).對數(shù)的定義如果a(a0,a1)的b次冪等于N，就是ab=N，那么數(shù)b叫做以a為底的正數(shù)N的對數(shù)，記作logaN=b其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，簡稱底，N叫做對數(shù)的真數(shù)，簡稱真數(shù).第三節(jié)對數(shù)指數(shù)形式ab

7、=N簡稱指數(shù)式，對數(shù)形式logaN=b簡稱對數(shù)式，這兩類形式表示了a,b,N間的同一關(guān)系.設(shè)a0,a1,例如, 24=16log216=4102=100log10100=210-2=0.01log100.01=-2第三節(jié)對數(shù)從定義可知，(1)負數(shù)和零沒有對數(shù). (2)1的對數(shù)等于0.即 (3)底的對數(shù)等于1.即 (4)根據(jù)對數(shù)的定義，如果ab=N，那么b=logaN，把b=logaN代入ab=N中，得恒等式同樣，把N=ab代入b=logaN，得恒等式第三節(jié)對數(shù)第三節(jié)對數(shù)第三節(jié)對數(shù)2.常用對數(shù)和自然對數(shù)通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，為了簡便，N的常用對數(shù)log10N簡記作lgN例如:log

8、105簡記作lg5,log1035簡記作lg35在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無理數(shù)e=2.71828為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，為了簡便，N的自然對數(shù)logeN簡記作ln N.例如:自然對數(shù)loge3簡記作ln 3，自然對數(shù)loge10簡記作ln 10.第三節(jié)對數(shù)第三節(jié)對數(shù)第三節(jié)對數(shù)二、對數(shù)的運算法則已知logaM,logaN(M,N0)，求loga(MN),logaM/N,logaMa.設(shè)logaM=p,logaN=q,根據(jù)對數(shù)的定義，可得M=ap,N=aqMN=apaq=ap+q,loga(MN)=p+q=logaM+logaN.MN=ap/aq=ap-q,logaM/N=p-q=l

9、ogaM-logaN.Ma=(ap)a=apa,logaMa=ap=alogaM.第三節(jié)對數(shù)總結(jié)以上論證，我們得到下面的對數(shù)運算法則：(1)loga(MN)=logaM+logaN. 即兩個正數(shù)乘積的對數(shù)等于各個因數(shù)對數(shù)的和.這個法則可推廣到多個正數(shù)積的情況，即loga(M1M2Mk)=logaM1+logaM2+logaMk(kN*)(2)logaM/N=logaM-logaN. 即兩個正數(shù)商的對數(shù)等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù).第三節(jié)對數(shù)(3)logaMn=nlogaM. 即正數(shù)冪的對數(shù)等于冪的指數(shù)乘以冪的底數(shù)的對數(shù).即正數(shù)的算術(shù)根的對數(shù)等于被開方數(shù)的對數(shù)除以根指數(shù).第三節(jié)對數(shù)第三節(jié)對數(shù)第

10、三節(jié)對數(shù)三、對數(shù)的換底公式設(shè)logaN=x,則有ax=N,兩邊取以b(b0且b1)為底的對數(shù)，得logbax=logbNxlogba=logbNx=logbN/logba即logaN=logbN/logba此公式叫做對數(shù)的換底公式，其中a,b均為不等于1的正數(shù).第三節(jié)對數(shù)如果取a=e,b=10,那么公式變成此式是自然對數(shù)和常用對數(shù)的互換公式.第三節(jié)對數(shù)第三節(jié)對數(shù)第三節(jié)對數(shù)第三節(jié)對數(shù)第四節(jié)對 數(shù) 函 數(shù)一、對數(shù)函數(shù)的定義我們研究指數(shù)函數(shù)時，曾經(jīng)討論過細胞分裂的問題.某種細胞分裂時，得到的細胞的個數(shù)y是分裂次數(shù)x的函數(shù)，這個函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)y=2x表示.現(xiàn)在我們來研究相反的問題.如果要求這種細胞

11、經(jīng)過多少次分裂，大約可以得到1萬個，10萬個細胞，那么，分裂次數(shù)x就是要得到的細胞個數(shù)y的函數(shù).根據(jù)對數(shù)的定義，這個函數(shù)可以寫成對數(shù)的形式就是x=log2y.如果用x表示自變量，y表示函數(shù)，這個函數(shù)就是y=log2x.下面我們具體分析當(dāng)a0且a1時，指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)的解析表達式.由于當(dāng)a0且a1時，有l(wèi)ogaN=bab=N.因此,指數(shù)函數(shù)y=ax把b對應(yīng)到NN=ab b=logaN 函數(shù)y=logax把N對應(yīng)到b從而指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)是y=logax.我們把函數(shù)y=logax叫做對數(shù)函數(shù)，其中a0且a1.第四節(jié)對 數(shù) 函 數(shù)表4-4由于對數(shù)函數(shù)y=logax是指數(shù)函數(shù)y=ax的反

12、函數(shù)，因此有下列結(jié)論(表4-4)：例如，y=log2x,y=log1/3x,y=lgx,y=ln x等都是對數(shù)函數(shù).它們分別是指數(shù)函數(shù)y=2x,y=(1/3)x,y=10 x,y=ex的反函數(shù).其中y=lgx稱為常用對數(shù)函數(shù)。y=ln x稱為自然對數(shù)函數(shù).第四節(jié)對 數(shù) 函 數(shù)二、對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)現(xiàn)在研究對數(shù)函數(shù)y=logax(a0且a1)的圖像和性質(zhì).因為對數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)，所以y=logax的圖像與y=ax的圖像關(guān)于直線y=x對稱.因此，我們只要畫出和y=ax的圖像關(guān)于直線y=x對稱的曲線，就可以得到y(tǒng)=logax的圖像.第四節(jié)對 數(shù) 函 數(shù)例如，畫出y=2x的圖像關(guān)于直線y=x對稱的曲線，就可以得到y(tǒng)=log2x的圖像.同樣，畫出與 的圖像關(guān)于直線y=x對稱的曲線，就可以得到y(tǒng)=log1/2x的圖像.圖4-2第四節(jié)對 數(shù) 函 數(shù)由圖4-2可以看出，對數(shù)函數(shù)y=logax(a0且a1)有如下性質(zhì)：(1)圖像都在y軸的右方；(2)圖像都經(jīng)過點(1,0).當(dāng)a1時是增函數(shù)，當(dāng)x1時