【VIP專(zhuān)享】7_離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析課件

1、信號(hào)與系統(tǒng)第七章 離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析本章重點(diǎn)抽樣定理時(shí)域分析方法7.1 概述一、對(duì)信號(hào)的劃分按時(shí)間特性： 連續(xù)（時(shí)間t可用全體實(shí)數(shù)描述） 離散（時(shí)間t用特定的實(shí)數(shù)描述）按幅值特性： 連續(xù)（全體實(shí)數(shù)可以作為信號(hào)的取值） 量化（特定實(shí)數(shù)可以作為信號(hào)的取值） 因此信號(hào)一般分為以下四類(lèi)：量化信號(hào)：時(shí)間連續(xù)，幅度量化 模擬信號(hào)：時(shí)間連續(xù)，幅度連續(xù) 抽樣信號(hào)：時(shí)間離散，幅度連續(xù) 數(shù)字信號(hào)：時(shí)間離散，幅度離散 7.1 概述離散信號(hào)與數(shù)字信號(hào)離散信號(hào)是只在離散時(shí)間點(diǎn)上才有定義的信號(hào)。它可由連續(xù)信號(hào)抽取離散時(shí)間點(diǎn)的值而得到。理論上講，離散時(shí)間點(diǎn)可以是任意的 ；但在實(shí)際應(yīng)用上，這種抽取則是等間隔的。幅值為連續(xù)

2、的離散信號(hào)稱(chēng)為離散序列。而幅值為離散即幅值只能取若干有限值之一的離散時(shí)間信號(hào)叫數(shù)字信號(hào)。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展 ，數(shù)字信號(hào)占據(jù)的比重越來(lái)越大。第七章離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析7.1 概述離散時(shí)間系統(tǒng)與混合系統(tǒng)一個(gè)系統(tǒng)若其輸入信號(hào)與輸出信號(hào)都是離散時(shí)間信號(hào)則稱(chēng)之為離散時(shí)間系統(tǒng)。如數(shù)字計(jì)算機(jī)。在工程應(yīng)用中，常將離散時(shí)間系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)混合使用。即實(shí)用中一個(gè)系統(tǒng)的一部分可能是連續(xù)信號(hào)，另一部分可能是數(shù)字信號(hào)，則該系統(tǒng)稱(chēng)為混合系統(tǒng)。如工業(yè)控制系統(tǒng)。第七章離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析7.1 概述離散系統(tǒng)的描述 在時(shí)域中：連續(xù)系統(tǒng)可用微分方程描述，集中參數(shù)線(xiàn)性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)由常系數(shù)常微分方程描述。離散系統(tǒng)可用差分方程描述

3、，集中參數(shù)線(xiàn)性移不變離散系統(tǒng)用常系數(shù)差分方程描述。 第七章離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析7.1 概述頻域分析：連續(xù)：FT、LT到頻域 、復(fù)頻域求解；離散：ZT到Z域求解。 可見(jiàn)，離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)在分析方法上有許多的相似之處，但也有一些特殊之處。第七章離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析7.1 概述二、 離散時(shí)間信號(hào)1、定義: 只在一系列離散的時(shí)間點(diǎn)上才有確定值的信號(hào)。取樣間隔為均勻間隔T，得到抽樣信號(hào)：f(kT)或f(nT)而在其它的時(shí)間上無(wú)意義，因此它在時(shí)間上是不連續(xù)的序列, 是離散時(shí)間變量的tk函數(shù)。獲取方法：1）直接獲取2）連續(xù)信號(hào)取樣表示方法：1）圖形表示2）數(shù)據(jù)表格t 0.10.20.30.40.50.

4、60.7u(t)1.21.41.31.71.11.91.83）序列表示簡(jiǎn)化記為f(k)或f(n)1.512210.5例:試寫(xiě)出其序列形式并畫(huà)出圖形。解：序列形式波形：序列的幾種形式單邊序列： 雙邊序列：有限序列：右序列： k0，f(k)=0左序列： k0，f(k)=0-k, f(k)0k1km有的頻率分量；取樣頻率大于或至少等于最高信號(hào)頻率的兩倍，即： s 2m 。最高頻率 是最小的取樣頻率，稱(chēng)為奈奎斯特取樣頻率，或稱(chēng)香農(nóng)取樣頻率； 其倒數(shù) 稱(chēng)為奈奎斯特取樣間隔，或稱(chēng)香農(nóng)取樣間隔。7.2 抽樣信號(hào)與抽樣定理 3. 均勻取樣定理（香農(nóng)取樣定理） 一個(gè)在頻譜中不包含有大于頻率fm的分量的有限頻帶的

5、信號(hào)，由對(duì)該信號(hào)以不大于 的時(shí)間間隔進(jìn)行取樣的取樣值唯一地確定。當(dāng)這樣的取樣信號(hào)通過(guò)其截止頻率c滿(mǎn)足條件m c s -m的理想低通濾波器后，可以將原信號(hào)完全重建。 香農(nóng)取樣定理在通迅理論，信號(hào)處理理論以及工業(yè)控制中應(yīng)用非常廣泛。抽樣定理講的是理想情況 ：理想低通不可物理實(shí)現(xiàn)，而且絕大多數(shù)信號(hào)的頻譜帶寬是無(wú)限大的。 實(shí)際應(yīng)用中：、可以找到理想低通的近似逼近 （如Battworth chebyshev逼近、Caure逼近等），特性近似理想；、一般信號(hào)之頻譜具有收斂性 。 這兩點(diǎn)決定了抽樣定理的可應(yīng)用性。 7.2 抽樣信號(hào)與抽樣定理 離散信號(hào)與離散系統(tǒng)有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，尤其 是在數(shù)字技術(shù)飛速發(fā)展的今

6、天。這些應(yīng)用將在有關(guān)課程（如信號(hào)處理，編碼理論，計(jì)算機(jī)控制原理等等）中介紹，本課程只研究離散系統(tǒng)的分析方法這一基礎(chǔ)理論。 下一節(jié)7.2 抽樣信號(hào)與抽樣定理 7.3 離散時(shí)間系統(tǒng)的描述和模擬 系統(tǒng)表示法 連續(xù) 離散（1）系統(tǒng)IO方程 微分方程 差分方程（2）框圖模擬 三個(gè)基本單元 三個(gè)基本單元（3）系統(tǒng)函數(shù) H(s) H(z) 線(xiàn)性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng) 線(xiàn)性常系數(shù)微分方程線(xiàn)性時(shí)/移不變離散系統(tǒng) 線(xiàn)性常系數(shù)差分方程一、離散時(shí)間系統(tǒng)的描述一階線(xiàn)性差分方程：二階線(xiàn)性差分方程：差分方程：由激勵(lì)序列、響應(yīng)序列以及其移序序列組成的方程。差分方程階數(shù)：響應(yīng)最高序號(hào)與最低序號(hào)的差值。離散自變量k不一定限于時(shí)間。含y(

7、k)，y(k-1)，的差分方程: 后向差分方程含y(k)，y(k+1)，的差分方程: 前向差分方程例題7-3 一RC電路如圖7-10(a)所示，若于輸入端加一離散的取樣信號(hào)e(t)，如圖 7-10(b)所示，現(xiàn)在要求寫(xiě)出描寫(xiě)此系統(tǒng)工作時(shí)每個(gè)時(shí)間T輸出電壓u(k)與輸入信號(hào)間的關(guān)系的差分方程。e(t)可表示為沖激序列之和：計(jì)算tkT時(shí)的響應(yīng)：設(shè)t=kT-0時(shí)的輸出為u(kT)，則tkT時(shí)u(kT)為其初始狀態(tài)。由第二章P50知該電路的沖激響應(yīng)為： 7.3 離散時(shí)間系統(tǒng)的描述和模擬7.3 離散時(shí)間系統(tǒng)的描述和模擬例題7-4 圖7-11所示為一電阻的梯形網(wǎng)絡(luò)，其中每一串電阻值同為R，每一并臂電阻值同

8、為另一值aR， a為某一正實(shí)數(shù)。所以這網(wǎng)絡(luò)是一重復(fù)的梯形結(jié)構(gòu)。該網(wǎng)絡(luò)各個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)公共節(jié)點(diǎn)的電壓為u(k)，k分別為0、1、2、n。試寫(xiě)出這個(gè)系統(tǒng)的差分方程。再經(jīng)整理，即得該系統(tǒng)的差分方程解 把系統(tǒng)中第(k+1)個(gè)節(jié)點(diǎn)的電流關(guān)系特別畫(huà)出如圖 7-12所示。由圖顯然可見(jiàn)，ia=ib+ic；同時(shí)，根據(jù)圖中電壓電流的簡(jiǎn)單關(guān)系，此式即可寫(xiě)成離散系統(tǒng)的模擬與連續(xù)系統(tǒng)的模擬具有一定的相似之處。7.3 離散時(shí)間系統(tǒng)的描述和模擬二、離散系統(tǒng)的模擬連續(xù)系統(tǒng)模擬采用三種基本元件：加法器、標(biāo)量乘法器、積分器。離散系統(tǒng)模擬采用三種基本元件：加法器、標(biāo)量乘法器、延時(shí)器。二、離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬1. 基本運(yùn)算器 f1(k)y(

9、k)f2(k)加法器f(k)y(k)=Af(k)標(biāo)量乘法器延時(shí)器2. 一階離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬 設(shè)描寫(xiě)系統(tǒng)的一階差分方程為 改寫(xiě)成：例1：圖示框圖，寫(xiě)出差分方程。系統(tǒng)的差分方程為3. n階離散時(shí)間系統(tǒng)的模擬 設(shè)描寫(xiě)n階離散系統(tǒng)的差分方程為簡(jiǎn)寫(xiě)成：在描寫(xiě)因果離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程中，激勵(lì)函數(shù)的最高序號(hào)不能大于響應(yīng)函數(shù)的最高序號(hào)，即mn 。例題7-5 一離散時(shí)間系統(tǒng)由以下差分方程描寫(xiě) 試作出此系統(tǒng)的模擬框圖解：與n階離散系統(tǒng)的差分方程比較，可作圖。利用該圖中所示的輔助函數(shù)q(k),就可以看出：令 k=m-1，于是原方程成為：7.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 和線(xiàn)性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)求解微分方程時(shí)使用的方法

10、一樣，對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，在求解差分方程時(shí)，也可以分別求其零輸入分量和零狀態(tài)分量，然后疊加得到方程的完全解。而解這兩個(gè)分量的方法，也同解微分方程有相似之處。2、零輸入響應(yīng)的解法一階系統(tǒng)7.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 假設(shè)y(0)=1，k=0,1,2,3, ，取a0的絕對(duì)值為0.9，1，1.1一階零輸入響應(yīng)圖如下： 由圖中（a）（b）（c）：當(dāng)- a0 為正時(shí)：| a0 |1時(shí)，y(k) 隨k值的增加而單調(diào)增加；由（d）（e）（f）： 當(dāng)- a0 為負(fù)時(shí)，y(k) 隨k值的增加正負(fù)交替其值；而y(k) 的絕對(duì)值大小，仍按| a0 |1三種情況分別作遞減、不變和遞增的變化。 齊次差分方程的上述形式

11、的解具有典型意義，并可以此為基礎(chǔ)推廣求解一般的齊次方程。1、移序算子及其特性 為了表述方便，與連續(xù)系統(tǒng)中的微分算子類(lèi)似，我們定義一個(gè)移序算子s(shift)：7.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)7.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 推廣到N階系統(tǒng)： 系統(tǒng)特征方程為：當(dāng)特征根均為單根v1，v2，vn時(shí)，則：7.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)設(shè)有一r重根v1=v2= =vr，vr+1，vn時(shí)，則： 式中c1，c2，cn為待定系數(shù)，可由初始條件y(0)，y(1)， ，y(n-1)確定。7.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)例1：已知某系統(tǒng)激勵(lì)為零，初始值y(0) =1 ， y(1)=4，描述系統(tǒng)的差分方程為求系統(tǒng)的

12、響應(yīng) y(k)。解：移序算子式為：系統(tǒng)自然頻率為：例2：已知某離散系統(tǒng)初始值為y(0)=2，y(1)=0，傳輸算子求激勵(lì)為零時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)y(k)。解：3、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義與連續(xù)系統(tǒng)一樣，即有限輸入只能引起有限輸出。7.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)7.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)3、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性例4：有一離散時(shí)間系統(tǒng)，用下列差分方程描寫(xiě)y(k+2)-3y(k+1)+2y(k)=e(k+1)-2e(k),系統(tǒng)的初始條件為yzi(0)=0,yzi(1)=1.求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。解：差分方程齊次式為： y(k+2)-3y(k+1)+2y(k)=0 應(yīng)用移序算子 s2y(k)

13、-3sy(k)+2y(k)=0 特征方程為s23s2(s-1)(s-2)0 解得特征根v1=1,v2=2。所以零輸入響應(yīng)為 yzi=c1v1k+c2v2k 將初始條件代入上式求系數(shù)c1、c2,有： y(0)=c1+c2=0 y(1)=c1+2c2=1 解方程組，得c1=-1,c2=1.于是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為 yzi=-1+2k k0可以看到此解包含有一常數(shù)項(xiàng)和一底數(shù)大于1的乘冪，故此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)也可以用所謂的卷積法求得。單位（取樣）函數(shù)：亦稱(chēng)單位離散函數(shù)、單位函數(shù)或Kronecker 函數(shù)。 單位階躍序列： 7.4 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2、離散信號(hào)的分解 任意有始離

14、散信號(hào)可表示為： 3、單位函數(shù)響應(yīng)（序列）以單位（抽樣）函數(shù)為離散系統(tǒng)輸入所得到的系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)（序列），稱(chēng)為單位函數(shù)響應(yīng)（序列） ，記為h(k)，即： 對(duì)于因果系統(tǒng)，h(k)為有始序列。7.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解4、零狀態(tài)響應(yīng) 定義兩個(gè)序列的卷積和序列為:（卷積和又稱(chēng)離散卷積） 7.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解根據(jù)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的迭加性有：于是有：5、卷積和的計(jì)算 性質(zhì)（結(jié)合查表），Z變換法圖解法（有限長(zhǎng)序列的卷積和）7.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解例1：用圖解法求圖示信號(hào)的卷積和y(k)=f(k)*h(k)。進(jìn)行卷積和的兩個(gè)序列都是有限長(zhǎng)序列，卷積

15、和的計(jì)算過(guò)程可以用多項(xiàng)式乘法的方式完成0.120.090.060.0300.080.060.040.020.08 0.06 0.04 0.02 0.08 0.06 0.04 0.020.04 0.03 0.02 0.01例4：利用列表法求：y(k)的第一個(gè)非零值的序號(hào)為f(k)和h(k)第一個(gè)非零值序號(hào)之和。6、卷積和的性質(zhì)：變換律： f1(k)*f2(k)= f2(k)*f1(k)分配律： f1*(f2+f3)=f1*f2+f1*f3結(jié)合律： f1*f2*f3=（f1*f2）*f3= f1*（f2*f3）7.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解7、單位函數(shù)響應(yīng)h(k)的求法 7.5 離散

16、時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解設(shè)mn，且vi為單階，則 7.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解 而系統(tǒng)初始條件為零，且激勵(lì)信號(hào)k=0時(shí)才可施加于系統(tǒng)上，因此h(-1)=0。 所以，得到一般n階系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)為： 在這里，我們假定了mn且單階。7.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解 當(dāng)m=n時(shí)，y(k+1)-vy(k)=e(k+1) 轉(zhuǎn)移因子分解為部分分式后，可以有多種形式，可以參照書(shū)上P35頁(yè)的表7-2。7.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解例題7-9：差分方程 y(k+2)-5y(k+1)+6y(k)=e(k+2)-3e(k)試求此系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)。7.5 離散時(shí)間

17、系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解例1：解：例2：解:例3：求零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)。解:8、系統(tǒng)全響應(yīng)求解 y(k)=yzi(k)+yzs(k) 通常所給初始值，在沒(méi)有特別說(shuō)明的情況下，應(yīng)該是系統(tǒng)全響應(yīng)的初始條件。 7.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解是y(0)、y(1)，不是yzi(0)、yzi(1)7.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解解：此時(shí)應(yīng)先求解零狀態(tài)響應(yīng)，然后分離出零輸入響應(yīng)的初始條件。i/零狀態(tài)響應(yīng)：7.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解7.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解7.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解例4:解:8、離散時(shí)間系統(tǒng)的穩(wěn)定性 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義與連續(xù)系統(tǒng)一樣，即有限輸入只能引起有限輸出。 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為其單位函數(shù)響應(yīng)滿(mǎn)足絕對(duì)可和的條件，即存在M，使得下式成立：7.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解）從前面 之表達(dá)式可以看出，當(dāng)所有的 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。）當(dāng)有 時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 iii）當(dāng)有 , 系統(tǒng)邊界穩(wěn)定。7.5 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)求解 對(duì)于離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性也要綜合零輸入和零狀態(tài)兩部分考慮。前面已經(jīng)討論過(guò)零輸入響應(yīng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求，零狀態(tài)響應(yīng)必須綜合系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行考察。 穩(wěn)定系統(tǒng)的定義：對(duì)任意有界的輸入激勵(lì)都可以得到有界的輸出的系統(tǒng)。 四、離散