《機(jī)械工程控制基礎(chǔ)》第三章系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)分析課件

1、第三章 系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析 時(shí)間響應(yīng)及其組成 典型輸入信號(hào) 一階系統(tǒng) 二階系統(tǒng) 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算 利用MATLAB分析時(shí)間響應(yīng)習(xí)題：3.2 3.7 3.10 3.12 3.15 3.18*1引言 在建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（微分方程與傳遞函數(shù)）之后，就可以采用不同的方法，通過系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來分析系統(tǒng)的特性，時(shí)間響應(yīng)分析（也稱之為：時(shí)域分析）是重要的方法之一。 時(shí)域分析給系統(tǒng)施加一輸入信號(hào)，通過研究系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）來評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能。 如何評(píng)價(jià)一個(gè)系統(tǒng)性能的好壞，有一些動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)的性能指標(biāo)可以參考。*23.1 時(shí)間響應(yīng)及其組成例1按照微分方程解的結(jié)構(gòu)理論，這一非齊次常微分方程的解由兩部分組成，即：是

2、與其對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解是其一個(gè)特解123*33.1 時(shí)間響應(yīng)及其組成式代入 式得：3把1化簡(jiǎn)得：于是 式得完全解為：14為了求得系數(shù)A,B現(xiàn)將上式對(duì)t求導(dǎo)。代入 式即可得到系數(shù)A、B。如下：455*43.1 時(shí)間響應(yīng)及其組成由輸入引起的自由響應(yīng)由輸入引起的強(qiáng)迫響應(yīng)系統(tǒng)的初態(tài)為0，僅有輸入引起的響應(yīng)。由初始條件引起的自由響應(yīng)*5此方程的解為通解 （即自由響應(yīng)）與特解 （即強(qiáng)迫響應(yīng)）所組成，即：3.1 時(shí)間響應(yīng)及其組成*63.1時(shí)間響應(yīng)及其組成這是因?yàn)椋涸诙x系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，由于已指明了系統(tǒng)的初態(tài)為零，故取決于系統(tǒng)的初態(tài)的零輸入響應(yīng)為零。*73.1時(shí)間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）*8

3、3.1時(shí)間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）3.1時(shí)間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）*93.1時(shí)間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）*103.1時(shí)間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）*113.1時(shí)間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）*123.1時(shí)間響應(yīng)及其組成（瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)）*133.2 典型輸入信號(hào) 控制系統(tǒng)性能的評(píng)價(jià)分為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)兩大類，為了求解系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)必須了解系統(tǒng)輸入信號(hào)（即外作用）的解析表達(dá)式（也就是確定性信號(hào)），然而，在一般情況下，控制系統(tǒng)的外加輸入信號(hào)具有隨機(jī)性而無法預(yù)先確定，因此需要選擇若干確定性信號(hào)作為典型輸入信號(hào)。 何謂確定性信號(hào)呢？就是其變量

4、和自變量之間的關(guān)系能夠用某一確定性函數(shù)描述的信號(hào)。*14典型輸入信號(hào) 1. 階躍函數(shù) 式中,R為常數(shù),當(dāng)R 1時(shí),xi(t)=1(t)為單位階躍函數(shù)，其拉氏變換的表達(dá)式為：3.2 典型輸入信號(hào)階躍函數(shù)的時(shí)域表達(dá)式為: *153.2 典型輸入信號(hào)2. 斜坡函數(shù)(等速度函數(shù))斜坡函數(shù),也稱等速度函數(shù)(見圖)，其時(shí)域表達(dá)式為 式中, R為常數(shù)。當(dāng)R1, xi(t)=t為單位斜坡函數(shù)。其拉氏變換的表達(dá)式為： 通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn) 因?yàn)閐x(t)/dt=R, 所以階躍函數(shù)為斜坡函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。*163.2 典型輸入信號(hào)3. 拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）拋物線函數(shù)(見圖)的時(shí)域表達(dá)式為 式中，R為常數(shù)。

5、當(dāng)R1時(shí), xi(t)=t2/2為單位加速度函數(shù)。其拉氏變換的表達(dá)式為：通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)因?yàn)閐xi(t)/dt=Rt, 所以斜坡函數(shù)為拋物線函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。*173.2 典型輸入信號(hào)4. 脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)(見圖)的時(shí)域表達(dá)式為 式中，h稱為脈沖寬度, 脈沖的面積為1。若對(duì)脈沖的寬度取趨于零的極限, 則有 稱此函數(shù)為單位脈沖函數(shù)(見圖) 。其拉氏變換的表達(dá)式為： *183.2 典型輸入信號(hào)5. 正弦函數(shù)正弦函數(shù)(如圖所示）的時(shí)域表達(dá)式為 式中, A為振幅, 為角頻率。當(dāng)A1時(shí)，其拉氏變換的表達(dá)式為： 6.隨機(jī)信號(hào)*193.3 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)：能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。（也

6、稱為一階系統(tǒng)的特征參數(shù)），表達(dá)了一階系統(tǒng)本身的與外界作用無關(guān)的固有特性。*20 如果將該指數(shù)曲線衰減到初值的2（或5）之前的過程定義為過渡過程，則可算得相應(yīng)的時(shí)間為4T（或3T）。稱此時(shí)間（4T/3T）為過渡過程時(shí)間或調(diào)整時(shí)間，記為ts 。 由此可見，系統(tǒng)得時(shí)間常數(shù)T愈小，則過渡過程的持續(xù)時(shí)間愈短。這表明系統(tǒng)的慣性愈小，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)反應(yīng)的快速性能愈好。（注意，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，理想的脈沖信號(hào)是不可能得到的。）3.3 一階系統(tǒng)*213.3 一階系統(tǒng)幾點(diǎn)重要說明： 1. 在這里有兩個(gè)重要的點(diǎn)：A點(diǎn)與0點(diǎn)（都與時(shí)間常數(shù)T有密切的關(guān)系）。 2. 系統(tǒng)的過渡過程時(shí)間ts 。 *223.3 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)

7、 G（s）的實(shí)驗(yàn)求法： 通過以上分析可知，若要求用實(shí)驗(yàn)方法求一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)， （1）我們就可以先對(duì)系統(tǒng)輸入一單位階躍信號(hào)，并測(cè)出它的響應(yīng)曲線。 （2）然后從響應(yīng)曲線上找出0.632xou（）處所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的時(shí)間t。這個(gè)t就是系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T。 或通過找到t0時(shí)xou（t）的切線斜率，這個(gè)斜率的倒數(shù)也是系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T。 （3） 再參考 （一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)） ，求出w（t）。 （4）最后再結(jié)合G（s）Lw(t)，求得G（s），即得到一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。*233.3 一階系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分量tT也是一個(gè)斜坡函數(shù)，與輸入信號(hào)斜率相同，但在時(shí)間上滯后一個(gè)時(shí)間常數(shù)T。對(duì)于一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)， ，說明

8、一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)在過渡過程結(jié)束后存在常值誤差，其值等于時(shí)間常數(shù)T。（跟蹤單位斜坡輸入信號(hào)時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差為T。）*24 對(duì)比一階系統(tǒng)的單位響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)和單位斜坡響應(yīng)，可知道他們之間的關(guān)系為：通過觀察其輸入信號(hào)也有同樣的關(guān)系。 因此，在此一并指出：一個(gè)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的時(shí)域響應(yīng)等于該輸入信號(hào)時(shí)域響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；一個(gè)輸入信號(hào)積分的時(shí)域響應(yīng)等于該輸入信號(hào)時(shí)域響應(yīng)的積分。 基于上述性質(zhì)，對(duì)于線性定常系統(tǒng)，只需討論一種典型信號(hào)的響應(yīng)，就可以推知另一種信號(hào)。3.3 一階系統(tǒng)*253.3 一階系統(tǒng)例1：已知某線性定常系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為：試求其單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。解：因?yàn)閱挝浑A躍函數(shù)、單位脈沖函數(shù)

9、分別為單位斜坡函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù)，故系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)函數(shù)分別為單位斜坡響應(yīng)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。即：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)為：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)為：*263.3 一階系統(tǒng)例2:一階系統(tǒng)如圖所示，試求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts，如果要求ts=0.1秒，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)如何調(diào)整？解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：這是一個(gè)典型一階系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時(shí)間ts=3T=0.3秒。若要求調(diào)節(jié)時(shí)間ts=0.1秒，可設(shè)反饋系數(shù)為，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：0.1Xo(s)Xi(s)*27例3：已知某元部件的傳遞函數(shù)為： ，KH-Xo(s)Xi(s)K0解：原系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間為引入負(fù)反饋后，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：若將調(diào)節(jié)時(shí)間減至原

10、來的0.1倍，但總放大系數(shù)保持不變，則：采用圖示方法引入負(fù)反饋，將調(diào)節(jié)時(shí)間減至原來的0.1倍，但總放大系數(shù)保持不變，試選擇KH、K0的值。3.3 一階系統(tǒng)*283.4 二階系統(tǒng)（的時(shí)域分析） 凡是以二階微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)：稱之為二階系統(tǒng)。 一般控制系統(tǒng)均為高階系統(tǒng)，但在一定準(zhǔn)確度條件下，可以忽略某些次要因素近似的用一個(gè)二階系統(tǒng)來表示。 也就是說，在一定條件下，高階系統(tǒng)一般也可以近似用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來表征。*293.4 二階系統(tǒng)（的時(shí)域分析） 一、二階系統(tǒng)的各種狀態(tài) 典型的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，它是一個(gè)由慣性環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成前向通道的單位負(fù)反饋系統(tǒng)。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

11、令則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式：式中， 稱為阻尼比, n稱為無阻尼自然振蕩角頻率。二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖*30因此，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可化簡(jiǎn)為如下圖所示： 所以, 系統(tǒng)的兩個(gè)特征根(極點(diǎn))為 二階系統(tǒng)的特征方程為：二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖隨著阻尼比 取值不同, 二階系統(tǒng)特征根(極點(diǎn))也不相同。 3.4 二階系統(tǒng)（的時(shí)域分析） *31是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根, 如圖所示。 1. 欠阻尼狀態(tài)(0 1)當(dāng)0 1時(shí), 兩特征根為 3.4 二階系統(tǒng)（的時(shí)域分析） 二階系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布 *323.4 二階系統(tǒng)（的時(shí)域分析） 2. 臨界阻尼狀態(tài)( =1) 當(dāng) =1時(shí), 特征方程有兩個(gè)相同的負(fù)實(shí)根, 即 s1,2= -n如圖所示。 二

12、階系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布 *333.4 二階系統(tǒng)（的時(shí)域分析） 為兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)根, 如圖所示： 3. 過阻尼狀態(tài)( 1)當(dāng) 1時(shí), 兩特征根為： 二階系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布 *34二階系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布 3.4 二階系統(tǒng)（的時(shí)域分析） 如圖所示: 4. 無阻尼狀態(tài)( =0)當(dāng) =0時(shí), 特征方程有一對(duì)共軛純虛數(shù)根, 即: *353.4 二階系統(tǒng)（的時(shí)域分析） 記：稱 為二階系統(tǒng)的有阻尼固有頻率*363.4 二階系統(tǒng)（的時(shí)域分析） *373.4 二階系統(tǒng)（的時(shí)域分析） 當(dāng) 取不同值，二階欠阻尼系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如圖所示。 欠阻尼系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線是減幅的正玹振蕩曲線，且 愈小，衰減愈慢，振蕩頻率 愈大。

13、故欠阻尼系統(tǒng)又稱為二階振蕩系統(tǒng)，其幅值衰減的快慢取決于 ,因?yàn)槠涞箶?shù)稱為時(shí)間衰減常數(shù)，記為 。*383.4 二階系統(tǒng)（的時(shí)域分析） 1*393.4 二階系統(tǒng)（的時(shí)域分析） 由 式，有：1*403.4 二階系統(tǒng)（的時(shí)域分析） *413.4 二階系統(tǒng)（的時(shí)域分析） 由圖可知，當(dāng) 1時(shí)，二階系統(tǒng)的過渡過程具有單調(diào)上升的特性。 從過渡過程的持續(xù)時(shí)間來看，在無振蕩單調(diào)上升的曲線中，在 1時(shí)的過渡時(shí)間ts最短。在欠阻尼系統(tǒng)中，當(dāng) 0.40.8時(shí)，不僅其過渡過程時(shí)間比 1時(shí)的更短，而且振蕩不太嚴(yán)重。*42 因此，一般希望二階系統(tǒng)工作在 0.40.8的欠阻尼狀態(tài)，因?yàn)檫@個(gè)工作狀態(tài)有一個(gè)振蕩特性適度而且過渡過程

14、持續(xù)時(shí)間又較短。3.4 二階系統(tǒng)（的時(shí)域分析） 在根據(jù)給定的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，將一階系統(tǒng)與二階系統(tǒng)相比，通常選擇二階系統(tǒng)。這是因?yàn)槎A系統(tǒng)容易得到較短的過渡過程時(shí)間（ts)，并且也能同時(shí)滿足對(duì)振蕩性能的要求。 而且決定過渡過程特性的是瞬態(tài) 響應(yīng)這部分。選擇合適的過渡過程實(shí)際上是選擇合適的瞬態(tài)響應(yīng)，也就是選擇合適的特征參數(shù)：*433.4 二階系統(tǒng)（性能指標(biāo)） 三、二階系統(tǒng)響應(yīng)的性能指標(biāo) 穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運(yùn)行的首要條件，因此只有當(dāng)動(dòng)態(tài)過程收斂時(shí)，研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能才有意義。 在許多情況下，系統(tǒng)所需要的性能指標(biāo)一般以時(shí)域量值的形式給出。 通常，系統(tǒng)的性能指標(biāo)，根據(jù)系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的響應(yīng)給出？（

15、1）產(chǎn)生階躍輸入比較容易，而且從系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的響應(yīng)也比較容易求得對(duì)任何輸入的響應(yīng)。（2）一般認(rèn)為，階躍輸入對(duì)系統(tǒng)來說是最嚴(yán)峻的工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)在階躍函數(shù)的作用下的動(dòng)態(tài)性能滿足要求，那么系統(tǒng)在其他形式的函數(shù)作用下，其動(dòng)態(tài)性能也令人滿足。*443.4 二階系統(tǒng)（性能指標(biāo)） 注意：因?yàn)橥耆珶o振蕩的單調(diào)過程的過渡過程時(shí)間太長(zhǎng)，所以除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常都允許系統(tǒng)有適度的振蕩，其目的是為了獲得較短的過渡過程時(shí)間。 這就是在設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時(shí)，常使系統(tǒng)在欠阻尼 0.40.8狀態(tài)下工作的原因。 下面我們就以欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的過渡過程為例來討論二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)。*453.4 二階

16、系統(tǒng)（性能指標(biāo)） 為了說明欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的過渡過程的特性，通常是采用下列性能指標(biāo)來表示。穩(wěn)態(tài)值（期望值）*463.4 二階系統(tǒng)（性能指標(biāo)） 階躍響應(yīng)曲線從零第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間為上升時(shí)間。注：稱 為二階系統(tǒng)的有阻尼固有頻率*473.4 二階系統(tǒng)（性能指標(biāo)） 響應(yīng)曲線達(dá)到第一峰值所需的時(shí)間定義為峰值時(shí)間。注：稱 為二階系統(tǒng)的有阻尼固有頻率用求導(dǎo)數(shù)極值法求解。*483.4 二階系統(tǒng)（性能指標(biāo)） 階躍響應(yīng)曲線的最大值階躍響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)值阻尼比越大，系統(tǒng)的超調(diào)量越小，響應(yīng)平穩(wěn)；阻尼比越小，系統(tǒng)的超調(diào)量越大，響應(yīng)的平穩(wěn)性越差 證明？*493.4 二階系統(tǒng)（性能指標(biāo)） 就是系統(tǒng)曲線在

17、振蕩衰減過程中，系統(tǒng)的振蕩范圍達(dá)到規(guī)定的振蕩范圍時(shí)（2， 5），第一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻。（過渡過程時(shí)間）*503.4 二階系統(tǒng)（性能指標(biāo)） 所以在具體設(shè)計(jì)時(shí)，通常都是根據(jù)對(duì)最大超調(diào)量Mp的要求來確定阻尼 。 故，二階系統(tǒng)的特征參數(shù)Wn和 決定了系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間ts，和最大超調(diào)量Mp;反過來，根據(jù)對(duì)ts和Mp的要求，也能確定二階系統(tǒng)的特征參數(shù)wn， 。所以調(diào)整時(shí)間ts主要是根據(jù)系統(tǒng)的Wn來確定的。*513.4 二階系統(tǒng)（性能指標(biāo)） 在過渡過程時(shí)間0t ts內(nèi)，階躍響應(yīng)曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值的次數(shù)的一半定義為振蕩次數(shù)。*523.4 二階系統(tǒng)（性能指標(biāo)） 在上述動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)中，tr和tp放映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，M

18、p和N放映了系統(tǒng)的運(yùn)行平穩(wěn)性和阻尼程度，一般認(rèn)為ts能同時(shí)放映響應(yīng)速度和阻尼程度。*53具體來說： 1）阻尼比越大，系統(tǒng)的超調(diào)量越小，響應(yīng)平穩(wěn)；阻尼比越小，系統(tǒng)的超調(diào)量越大，響應(yīng)的平穩(wěn)性越差；當(dāng)=0時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)為：為頻率為n的等幅振蕩，系統(tǒng)無法進(jìn)入平衡工作狀態(tài)，不能正常工作。另外，在一定時(shí)，n越大，系統(tǒng)的振蕩頻率d越大，響應(yīng)的平穩(wěn)性較差。故大，n小，系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性好。 3.4 二階系統(tǒng)（性能指標(biāo)） 2）調(diào)節(jié)時(shí)間ts的計(jì)算公式為近似表達(dá)式，事實(shí)上，小，系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)收斂速度慢，調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng)，若過大，系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，調(diào)節(jié)時(shí)間也較長(zhǎng)。因此應(yīng)取適當(dāng)?shù)臄?shù)值，=0.707時(shí)的典型二階系統(tǒng)稱為最佳二階系統(tǒng)，此時(shí)

19、超調(diào)量為4.3%,調(diào)節(jié)時(shí)間為3/n。*54例1：設(shè)典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：根據(jù)題意3.4 二階系統(tǒng)（性能指標(biāo)） *553.4 二階系統(tǒng)（性能指標(biāo)） 解 二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：因0 0)解：偏差傳遞函數(shù)為：閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的（1）（2）（3）3.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算(準(zhǔn)確性) *673.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算（與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差） 設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中：K稱為系統(tǒng)的開環(huán)增益， 為系統(tǒng)串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。=0，系統(tǒng)稱為0型系統(tǒng)，=1，系統(tǒng)稱為1型系統(tǒng)， =2，系統(tǒng)稱為2型系統(tǒng)，*68有系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為：（1）單位階躍信號(hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差：

20、對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，可用終值定理來求。3.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算（與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差） 令系統(tǒng)靜態(tài)位置偏差系數(shù)*69則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為：(2)單位斜坡信號(hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差：對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，可用終值定理來求。系統(tǒng)靜態(tài)速度偏差系數(shù)有令3.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算（與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差） *70系統(tǒng)靜態(tài)加速度偏差系數(shù)有則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為：（3）單位加速度信號(hào)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差：對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，可用終值定理來求。令3.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算（與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差） *713.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算（與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差） 2.從表中可看出：0型系統(tǒng) 對(duì)于單位階躍輸入是有差系統(tǒng), 并且無法跟蹤斜坡信號(hào)

21、、加速度信號(hào)； 1.系統(tǒng)型次越高，穩(wěn)態(tài)偏差越?。婚_環(huán)增益越大，穩(wěn)態(tài)偏差越小。型系統(tǒng)由于含有一個(gè)積分環(huán)節(jié), 所以對(duì)于單位階躍輸入是無差的, 但對(duì)單位斜坡輸入是有差的,并且無法跟蹤加速度信號(hào); 型系統(tǒng)由于含有兩個(gè)積分環(huán)節(jié), 所以對(duì)于單位階躍輸入和單位斜坡輸入都是無差的, 但對(duì)單位加速度信號(hào)是有差的。*723.根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，可知當(dāng)輸入控制信號(hào)師上述典型信號(hào)的線性組合時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為：輸出量的穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)是他們分別作用時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差之和，即：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差為：3.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算（與輸入有關(guān)的穩(wěn)態(tài)偏差） *73例 2： 已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求系統(tǒng)輸入分別為1(t),

22、10t, 3t2時(shí), 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。得開環(huán)放大倍數(shù)K=2.5，由于此系統(tǒng)為型系統(tǒng)。3.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算歸一化處理解 由勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析可知, 該系統(tǒng)是穩(wěn)定的(這里從略)。 首先將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)化為：*74根據(jù)表3-1得，當(dāng)r(t)=1(t)時(shí), 穩(wěn)態(tài)誤差ess=0；3.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算 當(dāng)r(t)=10t時(shí), 穩(wěn)態(tài)誤差：當(dāng)r(t)=3t2時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差ess=。*75例 3： 已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 求當(dāng)系統(tǒng)作用斜坡函數(shù)輸入時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess0.01時(shí)的K值。得開環(huán)放大倍數(shù)為：K/5，由于此系統(tǒng)為型系統(tǒng)。3.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算解 由勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析可知,

23、該系統(tǒng)是穩(wěn)定的(這里從略)。由于系統(tǒng)是單位反饋系統(tǒng)，所以： 首先將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)化為：在斜坡函數(shù)輸入時(shí)：*76例4 已知兩個(gè)系統(tǒng)分別如圖 (a)、(b)所示。輸入均為r(t)=4+6t+3t2，試分別計(jì)算兩個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。3.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算 解 要計(jì)算系統(tǒng)在輸入 下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可分別計(jì)算系統(tǒng)在輸入r1(t)=4、輸入r2(t)=6t、輸入r3(t)= 下的穩(wěn)態(tài)誤差ess1、 ess2、 ess3、然后讓其相加。*77需要指出的是, 標(biāo)準(zhǔn)的加速度信號(hào)為t2/2, 所以本題中的3t2是標(biāo)準(zhǔn)輸入的6倍, 因此, 用標(biāo)準(zhǔn)輸入下的公式計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)要乘上這個(gè)倍數(shù)。 3.6 系統(tǒng)誤差分析與

24、計(jì)算*78例5 已知單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：求斜坡函數(shù)輸入和拋物線函數(shù)輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：將系統(tǒng)化為單位反饋系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式：相同3.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算*79所以，該系為II型系統(tǒng)，其靜態(tài)偏差系數(shù)分別為：?jiǎn)挝恍逼滦盘?hào)輸入的穩(wěn)態(tài)偏差為：?jiǎn)挝粧佄锞€信號(hào)輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)偏差為：3.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算*803.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算 有干擾的系統(tǒng)誤差：*813.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算 有干擾的系統(tǒng)偏差：*82E1(s)E(s)3.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算 *83系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為例6：系統(tǒng)的負(fù)載變換往往主要是系統(tǒng)的干擾。對(duì)于圖示系統(tǒng)，若擾動(dòng)為單位階躍函數(shù)時(shí),試求該擾動(dòng)N(s)對(duì)系統(tǒng)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差的

25、影響。3.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算 xi(s)X0(s)-N(s)+解：當(dāng)Xi(s)=0,N(s)=0時(shí)，系統(tǒng)誤差為*84若擾動(dòng)為單位階躍函數(shù)時(shí),則：對(duì)于積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)大于和等于1的系統(tǒng)， G(0)H(0)，擾動(dòng)不影響穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，穩(wěn)態(tài)誤差為0。3.6 系統(tǒng)誤差分析與計(jì)算 可見，開環(huán)傳遞函數(shù)G(0)H(0)越大，由階躍擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差就越小。*85r(s)E(s)C(s)-N(s)n(t)=1(t)時(shí)，穩(wěn)態(tài)偏差為：系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)偏差為例7：對(duì)于圖示系統(tǒng)，試求r(t)=t，n(t)=1(t)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：在r(t)=t，穩(wěn)態(tài)偏差 在擾動(dòng)信號(hào)作用下的誤差表達(dá)式為：3.6 系

26、統(tǒng)誤差分析與計(jì)算 系統(tǒng)為1型二階系統(tǒng)，是穩(wěn)定的。*86一.用MATLAB求系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng) 例1 已知系統(tǒng)框圖如圖所示3.8 利用MATLAB分析時(shí)間響應(yīng) 系統(tǒng)方框圖其中， 試用MATLAB程序，求得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。 通過MATLAB提供的函數(shù)step( )和impulse( ), 可以方便地求出各階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)和單位脈沖函數(shù)作用下的輸出響應(yīng)。lsim()用于對(duì)生成對(duì)任意輸入的時(shí)間響應(yīng)。 *87clear allnum=7 7;den=conv(conv(1 0,1 3 ),1 4 5);g=tf(num,den);gg=feedback(g,1,-1);y,t,x=step(gg)

27、;plot(t,y);系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線3.8 利用MATLAB分析時(shí)間響應(yīng) MATLAB程序：P69conv：可以用來實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式之間的乘法運(yùn)算*88例2 系統(tǒng)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)在時(shí)間常數(shù) 不同取值時(shí)的單位脈沖響應(yīng)、單位階躍響應(yīng)和任意輸入響應(yīng)。接下來的主要工作：0， 0.0125、 0.025時(shí)，分別應(yīng)用impulse函數(shù)和step函數(shù)可得系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)和系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)。1其次對(duì)于任意輸入，例如在正弦輸入作用下，應(yīng)用lsim函數(shù)可求得 0.025時(shí)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。23.8 利用MATLAB分析時(shí)間響應(yīng) *89clear all;t=0:0.01:0.8; %仿真時(shí)間區(qū)域的劃分%三種tao值

28、下的系統(tǒng)模型nG=50;tao=0;dG=0.05 1+50*tao 50;G1=tf(nG,dG);tao=0.0125;dG=0.05 1+50*tao 50;G2=tf(nG,dG);tao=0.025;dG=0.05 1+50*tao 50;G3=tf(nG,dG)%系統(tǒng)脈沖，階躍時(shí)間響應(yīng)y1,T=impulse(G1,t);y1a,T=step(G1,t);y2,T=impulse(G2,t);y2a,T=step(G2,t);y3,T=impulse(G3,t);y3a,T=step(G3,t);1MATLAB程序：3.8 利用MATLAB分析時(shí)間響應(yīng) *90%生成圖形subplo

29、t(121),plot(T,y1,-,T,y2,-.,T,y3,-)legend(tao=0,tao=0.0125,tao=0.025)%標(biāo)注圖例xlabel(t(sec),ylabel(x(t);grid on;%標(biāo)簽，并增加網(wǎng)格subplot(122),plot(T,y1a,-,T,y2a,-.,T,y3a,-)legend(tao=0,tao=0.0125,tao=0.025)grid on;xlabel(t(sec),ylabel(x(t);3.8 利用MATLAB分析時(shí)間響應(yīng) *913.8 利用MATLAB分析時(shí)間響應(yīng) *92clear all;% 仿真時(shí)間區(qū)段劃分及其輸入。t=0:0.