工程流體力學(xué)：第02章 運(yùn)動(dòng)學(xué)基本概念

1、第二章 流體流動(dòng)的基本概念2.1 流場、流動(dòng)的分類2.2 描述流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法2.3 跡線和流線2.4 流體的運(yùn)動(dòng)與變形 (結(jié)合第七章的部分內(nèi)容)2.5 層流與湍流等名詞的簡介教材中2.5 流動(dòng)阻力 將在第9章詳細(xì)介紹本章任務(wù)：研究流體運(yùn)動(dòng)的描述方法和流體運(yùn)動(dòng)的基本特征。 2.1.1 流場的概念 2.1 流場、流動(dòng)的分類1. 流體無確切形狀，且流動(dòng)過程中連續(xù)變形，須考慮變形速率（變形率）； （固體常只考慮應(yīng)變）2. 流體運(yùn)動(dòng)過程中邊界也在隨時(shí)間變形，難于直接采用牛頓第二定律分析。流體占據(jù)的空間稱為“流場”；壓力場、速度場、溫度場等，就是這些狀態(tài)參數(shù)在空間的分布。引入“場”的概念來分析流體在所

2、占據(jù)的所有空間點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化。流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)可表示為空間和時(shí)間的函數(shù) 2.1.2 流動(dòng)的分類是否考慮流體的黏性：粘性流動(dòng)、無粘(理想)流動(dòng)流動(dòng)過程中密度是否變化：可壓縮流動(dòng)、不可壓流動(dòng)按運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分類： 定常流動(dòng)、非定常流動(dòng) 有旋流動(dòng)、無旋流動(dòng) （稍后） 層流、湍流流動(dòng) （稍后） 亞音速、超音速流動(dòng)定常流動(dòng)（穩(wěn)定流）與非定常流動(dòng)（非穩(wěn)定流）：穩(wěn)定流場：流場中的任何物理量都不隨時(shí)間變化。反之稱為非穩(wěn)定流場。穩(wěn)定流的條件：穩(wěn)定流與非穩(wěn)定流穩(wěn)定流非穩(wěn)定流按流動(dòng)空間的自變量數(shù)目分： 流動(dòng)參數(shù)是一個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)：一維流動(dòng) 流動(dòng)參量是二個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)：二維流動(dòng) 流動(dòng)參量是三個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)：三維流動(dòng) 對有固定質(zhì)

3、量的一團(tuán)流體的運(yùn)動(dòng)歷程感興趣(系統(tǒng)法) 即：拉格朗日（Lagrange）法對固定一空間域內(nèi)的流體行為感興趣(控制體法) 即：歐拉法 2.2描述流體流動(dòng)的兩種方法拉格朗日（Lagrange）：研究流體各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律，綜合所有流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化，得到整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)；出發(fā)點(diǎn)是跟隨流體質(zhì)點(diǎn)歐拉法：研究流體質(zhì)點(diǎn)通過空間固定點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律，綜合流場中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)變化情況，得到整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)；出發(fā)點(diǎn)是流場中的空間點(diǎn)2.2.1 拉格朗日（Lagrange）法基本思想：將流體質(zhì)點(diǎn)表示為空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)， 沿流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行跟蹤研究。一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻所在位

4、置描述：矢量表示其中：跡線方程(a,b,c)：拉格朗日變量，它們可理解為在某一t0時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)的空間坐標(biāo)(x0,y0,z0)。不同的流體質(zhì)點(diǎn)有不同的一組(a,b,c)值；對于同一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)， (a,b,c)值一定。 流體的運(yùn)動(dòng)參數(shù)和物理量都可表示為(a,b,c)的函數(shù) =(a,b,c,t)形式。以“速度”為例：2.2.2 歐拉法基本思想：將流體的運(yùn)動(dòng)和物理參數(shù)表示為空間坐標(biāo)和 時(shí)間的函數(shù)，而不是沿運(yùn)動(dòng)軌跡去追蹤流體 質(zhì)點(diǎn)。與流動(dòng)問題相關(guān)的任何物理量均可表示為：其中(x,y,z)為歐拉變量。2.2.3 拉格朗日法與歐拉法之間的變換拉格朗日變數(shù)(a,b,c)與歐拉變數(shù)(x,y,z)之間的互換 從拉

5、格朗日表達(dá)式(a,b,c,t)變換為歐拉表達(dá)式(x,y,z,t) 從歐拉表達(dá)式(x,y,z,t)變換為拉格朗日表達(dá)式(a,b,c,t)通過求解微分方程得出代入方程 =(a,b,c,t)中,得 =(x,y,z,t)通過求解跡線方程得出其中(a, b , c)就是t=t0時(shí)刻的空間坐標(biāo) ；求出（a,b,c)代入方程 =(x,y,z,t) 中，得出 =(a,b,c,t)。例2-1，P17,(為什么？)已知:2.2.4 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義：流體質(zhì)點(diǎn)的某物理量對于時(shí)間的變化率稱之為該物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù).用拉格朗日變量表示物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù) 拉格朗日法中，給出的函數(shù) 直接 就是流體質(zhì)點(diǎn)的物理量，所以它對時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)

6、就是 物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。即：物理量 的 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)就是：速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)（加速度）用拉格朗日法表示：還可進(jìn)一步展開成矢量的各個(gè)分量形式。（2）用歐拉變量表示物理量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù):空間位置的函數(shù)，表示物理量此時(shí)在此地的取值。:空間位置的函數(shù)，表示物理量此時(shí)在此地隨時(shí)間的變化特性。穩(wěn)定流場:如果不同時(shí)刻經(jīng)過該空間位置的流體質(zhì)點(diǎn)具有不同的值:但問題是，不同時(shí)刻在某空間點(diǎn)位置P處的，不是同一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)，因此 不代表流體質(zhì)點(diǎn)物理量隨時(shí)間的變化率，因此它不是的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。t時(shí)刻: 質(zhì)點(diǎn)在 P 位置空間P點(diǎn)的坐標(biāo):因此，該流體質(zhì)點(diǎn)的函數(shù)在t時(shí)間內(nèi)的增量是：在（x,y,z,t）處Taylor展開,t+t時(shí)刻: 質(zhì)點(diǎn)流到

7、了 PP點(diǎn)的坐標(biāo): 質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)可得：質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)(也稱隨體導(dǎo)數(shù))算子:歐拉法中，流體速度的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)可表示為：流體質(zhì)點(diǎn)速度對時(shí)間的變化率 or(加速度)空間某點(diǎn)處流體速度隨時(shí)間的變化率，表示流場的非穩(wěn)態(tài)部分(稱作局部加速度 or當(dāng)?shù)丶铀俣?流體速度隨空間的變化率, 顯示流場在空間的不均勻性（稱作:傳輸加速度 or 對流加速度）記質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù) 為 ，則有：非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)對流項(xiàng)例2-2，P19,理解三個(gè)不同的概念和層次例2-3，P20.理解對同一物理量，如何分別采用歐拉法與拉格朗日法兩種表達(dá)方式來表達(dá)。2.3 跡線和流線跡線定義：流體質(zhì)點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線稱為跡線。跡線方程：拉格朗日法表達(dá)式求解跡線方程歐拉法表達(dá)式求

8、解跡線方程即為跡線方程，給定(a,b,c)的值，可得單參數(shù)方程t表示的空間曲線，就是流體質(zhì)點(diǎn)(a,b,c)的跡線。即是跡線方程的微分形式，積分可得到流體質(zhì)點(diǎn)的跡線方程。2.3.1跡線跡線隨質(zhì)點(diǎn)不同而異，是運(yùn)動(dòng)的“足跡”和“歷史記錄”例2-4，P21,，求解：xy = ab其實(shí)是一道純粹的高數(shù)題目流線定義：同一時(shí)刻，該曲線上各點(diǎn)的速度方向與所在點(diǎn)處曲線的切線方向一致。2.3.2 流線 除去速度為0或等特殊點(diǎn)（奇點(diǎn)），某一時(shí)刻經(jīng)過空間一點(diǎn)的流線只有一條，即流線不能相交； 流場中任意一點(diǎn)都有流線通過； 非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的流線，其形狀和位置隨時(shí)間發(fā)生變化；但穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)流線的形狀和位置不隨時(shí)間變化。流線的特點(diǎn)

9、：流線與跡線的區(qū)別： 兩個(gè)不同的概念： 同一時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)同一質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻 穩(wěn)態(tài)流動(dòng)：跡線與流線重合，且流線疏密可用于反映速度的相對大?。僭O(shè)每相鄰兩條流線之間流量相同）。在流線上取一微元段 ，(切線) 流線方程流線方程：例2-5，P22.已知速度分布（與t和x,y都相關(guān)），求跡線和流線。2.3.3 流管與流束根據(jù)流線不能相交的性質(zhì)，流管表面不可能有流體穿過。非穩(wěn)定流，流管隨時(shí)間改變；穩(wěn)定流時(shí)流管不隨時(shí)間變化。流管定義：在流場內(nèi)取任意封閉曲線 l ，通過曲線上所有點(diǎn)的流線構(gòu)成一管狀曲面，這個(gè)管狀曲面稱為流管。流管內(nèi)的質(zhì)量流量：21v1V2n1n2dA穩(wěn)態(tài)管流的連續(xù)性方程： 流管斷面不能收縮到0,

10、 否則V=. 流管不能中斷于流場中而只能始 于/止于邊界、或首尾相接成環(huán)形、 或延伸至無窮遠(yuǎn)處。 不可壓縮時(shí)進(jìn)一步簡化。 還可進(jìn)一步定義平均速度等。（流管形狀不隨時(shí)間變化）2.4 流體的運(yùn)動(dòng)與變形2.4.1 微元流體的變形 剛體運(yùn)動(dòng)有平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)；流體運(yùn)動(dòng)除了平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)外，同時(shí)還有連續(xù)不斷的變形（包括拉伸和剪切變形）； 固體變形由單位長度的變形量（應(yīng)變）來度量；流體變形須由單位時(shí)間內(nèi)單位長度的變形量（單位時(shí)間內(nèi)的應(yīng)變，或稱“應(yīng)變速率”、“變形速率”，strain-rate）度量。 固體內(nèi)應(yīng)力采用應(yīng)變來計(jì)算；流體內(nèi)應(yīng)力須采用應(yīng)變速率計(jì)算。流體運(yùn)動(dòng)區(qū)別于剛體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：剛體運(yùn)動(dòng)的速度分解定理: (理

11、論力學(xué))在包含點(diǎn)M0的微元內(nèi)任一點(diǎn)M：:剛體微元旋轉(zhuǎn)的角速度可是流體的情況是怎樣的呢？(平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)) :應(yīng)變速率(strain rate) 張量(tensor)。流體運(yùn)動(dòng)的速度分解定理【亥姆霍茲(Helmholtz)速度分解定理】包含點(diǎn)O的微元內(nèi)任一點(diǎn)A的速度可以分解為三部分之和:流體微團(tuán)的平動(dòng)速度:流體微團(tuán)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度:流體微團(tuán)變形引起的的速度，稱做變形速度 :流體微團(tuán)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度/轉(zhuǎn)動(dòng)速率 Sij的3個(gè)對角分量被稱作線變形速率，表示沿空間三個(gè)方向的伸 縮率，其和就是速度的散度，對應(yīng)流體為團(tuán)的體積膨脹率。 Sij具有對稱性； Sij的6個(gè)非對角分量稱為剪切變形速率, 代表流體微元的剪切變形. 特

12、別地，對于不可壓縮流體，流體微團(tuán)可以變形，但體積不變，所以必有：稱為不可壓縮流體的連續(xù)性方程(質(zhì)量守恒方程)，是流體力學(xué)最常用的基本方程之一。P36習(xí)題2-8: 判斷是否為不可壓縮流動(dòng),或問這種流動(dòng)是否存在。因此，流體微團(tuán)與剛體微團(tuán)的速度分解主要區(qū)別在于流體微元可變形，由此帶來附加的速度變化。平移和轉(zhuǎn)動(dòng)都不屬于變形，因此Sij中沒有平移和轉(zhuǎn)動(dòng)的信息。Helmolhotz速度分解定理中，平移和轉(zhuǎn)動(dòng)對A點(diǎn)速度的貢獻(xiàn)已分開。平移相對簡單，但對于流體的轉(zhuǎn)動(dòng)（旋轉(zhuǎn)）須進(jìn)一步說明教材中還有將流體微元的運(yùn)動(dòng)分解為平移、轉(zhuǎn)動(dòng)、剪切變形、體積膨脹四個(gè)部份：有旋流動(dòng)： ，意味著 的三個(gè)分量中至少一個(gè)不為0。流動(dòng)是

13、否有旋，應(yīng)根據(jù)流體微團(tuán)速度的旋度矢量是否為零來判斷，而不是根據(jù)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡來判斷(？后面例題將說明)。渦量定義：在流場空間中的分布稱為渦量場或旋度場。2.4.3 渦量、有旋流動(dòng)流體微團(tuán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度渦量的散度為零，有人稱此為渦量的連續(xù)性方程。其實(shí)對于任意矢量 ，都有： 渦量的連續(xù)性方程：渦線、渦管、渦通量： (定義方式類似于流線流管流通量）渦線：同一時(shí)刻，該曲線上各點(diǎn)的渦量方向與所在點(diǎn)處曲線的切線方向一致。渦線方程渦管：在流場內(nèi)取任意封閉曲線 l ，通過曲線上所有點(diǎn)的渦線構(gòu)成一管狀曲面，這個(gè)管狀曲面稱為渦管。渦通量：2.4.4 無旋流動(dòng) - 勢流流場中的速度旋度處處為零，為無旋流動(dòng)。無旋流

14、動(dòng)的特點(diǎn)：速度有勢:加速度有勢場論：若一矢量無旋，則該矢量一定是某個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度。流場無旋是速度場有勢的充分必要條件。書上有狀語“任意時(shí)刻”，目的可能在于強(qiáng)調(diào)狀態(tài)的延續(xù)；其實(shí)旋度只是對空間坐標(biāo)求導(dǎo)，也可以僅某一時(shí)刻“瞬時(shí)無旋”。(展開三分量？)加速度的勢函數(shù)勢函數(shù)的引入，將速度矢量（3個(gè)獨(dú)立的分量）變成了一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，使無旋流的數(shù)學(xué)分析變得簡單一些。速度的勢函數(shù)例2-6，P28. 強(qiáng)制渦 自由渦:系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)的角速度這兩種流動(dòng)的流線和跡線都相同，都是繞圓心流動(dòng)，但前者有旋、后者無旋。強(qiáng)制渦和自由渦切向速度分布的比較這個(gè)例子，流速和質(zhì)點(diǎn)軌跡雖然平直但卻是有旋流動(dòng)，因?yàn)檫@里:2.4.5 線流量與速度

15、環(huán)量（7.1.3，P151）線流量：線段與通過線段的法向速度的乘積。是平面流動(dòng)的一個(gè)概念。n是單位AB曲線的外法線速度環(huán)量：封閉曲線上切向速度沿封閉曲線的積分。是平面流動(dòng)的一個(gè)重要概念。是封閉曲線C的單位切向量通常規(guī)定切向速度沿封閉曲線逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)0，反之0。顯然對于自由渦：對于強(qiáng)制渦：2.4.6 流函數(shù)及其與勢函數(shù)的關(guān)系（7.2.2，P152）流函數(shù)：對于x-y平面內(nèi)的不可壓縮流動(dòng)，其前面提到的連續(xù)性方程(質(zhì)量守恒條件)變?yōu)椋喝绻幸缓瘮?shù)(x,y)，滿足 , 并滿足全微分條件 , 這個(gè)函數(shù)稱為流函數(shù)，它自動(dòng)滿足連續(xù)性方程。流函數(shù)存在的條件: 平面內(nèi)的不可壓縮流動(dòng)(無論是否有旋)如果采用極坐標(biāo)

16、描述平面不可壓縮流動(dòng)，則：流函數(shù)的性質(zhì)（特性、特點(diǎn)）：流函數(shù)的等值線是流線 由定義，流函數(shù)的全微分可寫為：對于流函數(shù)的等值線，有d=0, 所以有：即前面提到的流線方程(2) 流函數(shù)的兩條等值線數(shù)值之差就是兩條流線之間的體積流量 因流體不能穿過流線，所以：流線（流函數(shù)等值線）越密的地方，速度越大。反之亦然。流函數(shù)與速度勢函數(shù)的關(guān)系平面不可壓縮的無旋流動(dòng)，速度勢函數(shù)與流函數(shù)滿足柯西黎曼(Cauchy- Riemann)條件：x-y 坐標(biāo)系：極坐標(biāo)系：柯西黎曼條件的作用：使得在平面不可壓縮的無旋流動(dòng)中可以對流函數(shù)和勢函數(shù)知其一而求其余。顯然，只能對于平面不可壓縮的無旋（有勢）流動(dòng)才能談?wù)撨@個(gè)問題。速

17、度勢函數(shù)存在條件：無旋（無論2維/3維/定常/非定常）；流函數(shù)存在條件：平面不可壓縮流動(dòng)（無論有旋/無旋）。無旋且不可壓縮流動(dòng)勢函數(shù)的拉普拉斯(Laplace)方程不可壓流,則速度的散度為0：流動(dòng)無旋，則速度有勢：在直角坐標(biāo)系下的展開形式：拉普拉斯(Laplace)方程順便提一個(gè)名詞，如果方程右邊不為0，這種方程稱為泊松(Poison)方程2.5 層流與湍流等名詞的簡介2.5.1 流體流動(dòng)的推動(dòng)力真實(shí)流體，總是需要推動(dòng)力才能流動(dòng)，流動(dòng)過程就是推動(dòng)力對流體做功的過程。按照推動(dòng)力的類型，可以將流動(dòng)分為重力流動(dòng)、壓差流動(dòng)、外加機(jī)械力等導(dǎo)致的流動(dòng)，等等。2.5.2 層流、湍流（紊流）、雷諾數(shù)真實(shí)流體流動(dòng)的兩種狀態(tài)。1883年由雷諾實(shí)驗(yàn)詳細(xì)觀察。圓管中層流的速度分布圓管中湍流的速度分布雷諾數(shù)： 是一個(gè)無量綱參數(shù) 圓管中R