高中數(shù)概率學第十章10．2

1、第田章概率DI SHI ZHANG10.2事件的相互獨立性回靦圜附因(教師獨具內(nèi)容)課程標準：1.結合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義2結合古典概 型，利用獨立性計算概率.教學重點：相互獨立事件的含義和相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式.教學難點：對事件獨立性的判定，以及能正確地將復雜的概率問題轉(zhuǎn)化為幾類基 本概率模型.核心概念掌握知識導學知識點相互獨立事件的定義和性質(zhì)(1)定義：對任意兩個事件A與2,如果aA2)=回尸(A)P(g)成立,那么稱事件A與事件5相互獨立，簡稱獨立.(2)性質(zhì)：如果A與3相互獨立，那么A與萬，彳與3, 1與不也都相互獨 立.新知拓展. 個事件相互獨立對于個事

2、件4, A2,，A”，如果其中任何一個事件發(fā)生的概率不受其他 事件是否發(fā)生的影響，那么稱個事件Ai, 42,，4相互獨立.獨立事件的概率公式(1)假設事件A, B相互獨立，那么P(AB)=P(A)P(2).(2)假設事件事,A2,，A相互獨立,那么P(A&AQ=P(Ai)P(A2)P(4).相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨立事件互斥事件條件事件A(或8)是否發(fā)生對事件伙或 A)發(fā)生的概率沒有影響不可能同時發(fā)生的兩個事件符號相互獨立事件A, 3同時發(fā)生，記 作A3互斥事件A, 8中有一個發(fā)生，記 作 AU8(或 A + 3)計算公式P(A3) = P(A)P P(AU8) = PG4) + P

3、(B)Q*評價自測.判一判（正確的打“ J”，錯誤的打“x”） 不可能事件與任何一個事件相互獨立.（）（2）必然事件與任何一個事件相互獨立.（）（3）假設事件A, 5相互獨立，那么P（彳耳）=尸（彳）P（豆）.（）答案（1）J （2）V （3） J.做一做（1）一個不透明的口袋中有黑、白兩種顏色的球，這些球除顏色外完全相同， 從中進行有放回地摸球，用4表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，那么 4與42是（）A.相互獨立事件.不相互獨立事件C.互斥事件D.對立事件（2）一個學生通過一種英語能力測試的概率是他連續(xù)測試兩次，那么其中恰有一次通過的概率是（）（3）在某道路4 -。三處設有交通燈

4、，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開放綠燈的時 間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條道路上勻速行駛，那么三處都不停車 的概率為35答案（1）A （2）C夜核心素養(yǎng)形成題型一事件獨立性的判斷例1判斷以下事件是否為相互獨立事件.（1）甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中 各選1名同學參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名 女生”；（2）容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”.解(1) “從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對“從乙組中選出 1名女生”這一事件是否發(fā)

5、生沒有影響，所以它們是相互獨立事件.(2) “從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率為看 假設這一事件發(fā)O4生了，那么“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為亍假設前 一事件沒有發(fā)生，那么后一事件發(fā)生的概率為點可見，前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨立事件.金版點睛兩個事件是否相互獨立的判斷(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.(2)定義法：如果事件A, 5同時發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件5 發(fā)生的概率的積，那么事件A, 5為相互獨立事件.跟蹤訓練1(1)以下事件中，4 3是相互獨立事件的是()A. 一枚硬幣

6、擲兩次，A= 第一次為正面，B= 第二次為反面”B.袋中有2個白球，2個黑球，不放回地摸兩球，A= 第一次摸到白球”， B=”第二次摸到白球”C.擲一枚骰子，A= ”出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)” ,B= 出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”D. A= 一個節(jié)能燈泡能用1000小時”，B= 一個節(jié)能燈泡能用2000小 時”(2)甲、乙兩名射擊手同時向一目標射擊，設事件A： “甲擊中目標”，事件 B： “乙擊中目標”，那么事件A與事件3()A.相互獨立但不互斥B.互斥但不相互獨立C.相互獨立且互斥D.既不相互獨立也不互斥答案(1)A (2)A解析(1)把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結果不受先后 次序的影響，故A中

7、A, 8事件是相互獨立事件；B中是不放回地摸球，顯然A 事件與5事件不相互獨立；對于C, A, 5事件應為互斥事件，不相互獨立；D中 事件8受事件A的影響，應選A.(2)對同一目標射擊，甲、乙兩射擊手是否擊中目標是互不影響的，所以事件 A與8相互獨立；對同一目標射擊，甲、乙兩射擊手可能同時擊中目標，也就是 說事件A與3可能同時發(fā)生，所以事件A與3不是互斥事件，應選A.題型二相互獨立事件概率的計算例2根據(jù)資料統(tǒng)計，某地車主購買甲種保險的概率為0.5,購買乙種保險的概率為0.6,購買甲、乙兩種保險相互獨立，各車主間相互獨立.(1)求一位車主同時購買甲、乙兩種保險的概率；(2)求一位車主購買乙種保險

8、但不購買甲種保險的概率.解記A表示事件“購買甲種保險”，B表示事件“購買乙種保險“，那么 由題意，得A與8, A與萬，才與5,有與了都是相互獨立事件，且P(A)=0.5, P=06(1)記。表示事件“同時購買甲、乙兩種保險”，那么所以 P(O = P(AB) = P(A)P(3) = 0.5X0.6 = 0.3.記。表示事件“購買乙種保險但不購買甲種保險，那么。=叢所以P(Q)=P(AB)=P(A)P(B) = (l-0.5)X0.6=0.3.金版點睛求相互獨立事件同時發(fā)生概率的步驟(1)首先確定各事件之間是相互獨立的；確定這些事件可以同時發(fā)生；求出每個事件的概率，再求積.(2)使用相互獨立事

9、件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件, 即各個事件是相互獨立的，而且它們同時發(fā)生.跟蹤訓練2甲、乙兩人獨立地破譯某密碼，他們能破譯的概率分別為導心.求：兩人都能破譯的概率；兩人都不能破譯的概率；恰有一人能破譯的概率；(4)至多有一人能破譯的概率.解 設“甲能破譯”為事件A, “乙能破譯”為事件8那么A, B相互獨立,從而A與不、彳與3、彳與不均相互獨立.“兩人都能破譯”為事件A3,貝！) P(AB) = P(A)P(B)=|x1=.“兩人都不能破譯”為事件無耳，那么P(A B)=P(A)P(B) = 1-P(A) 1 -P(B)=P(A B)=P(A)P(B) = 1-P(A) 1

10、 -P(B)=“恰有一人能破譯”為事件A月又AB與AB互斥,所以 P(AB U A8) = P(A8) + P(AB) = P(A)P(8) + P(A)P(3)=xU一 +“至多一人能破譯”為事件AB U ABU A 3,而A3, AB, A B互斥,故 P(AB U ABU A B) = P(AB) + P(AB) + P(A B) = P(A)P(B) + P(A)P(B) +P(彳)P(百)=R1 - J + (l -3 X：+0 -3 X (1-4)=12-題型三相互獨立事件概率的實際應用1 3 3例3三個元件Ti, Tz, A正常工作的概率分別為今i a將它們中的某兩 4-I I個

11、元件并聯(lián)后再和第三個元件串聯(lián)接入電路，如下圖，求電路不發(fā)生故障的概 率.解記三個元件。，小，73正常工作”分別為事件4, A2, A3,那么P(4)133=29 P(A2)=w, P(A3)=疝不發(fā)生故障的事件為(A2UA3)4,不發(fā)生故障的概率為 P=P(A2 u A3)A 1 = P(A2 u A3)P(AI) = 1 -P( A 2)P( a3)P(Ai) = 1-1xx|=1|.金版點睛求較為復雜事件的概率的方法(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當?shù)姆柋硎荆?2)理清事件之間的關系(兩事件是互斥還是對立，或者是相互獨立)，列出關 系式；(3)根據(jù)事件之間的關系準確選取概率公式進行計

12、算；(4)當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時，可先間接地計算其對立事件 的概率，再求出符合條件的事件的概率.跟蹤訓練3小王某天乘火車從重慶到上海去辦事，假設當天從重慶到上海的三列火車正點 到達的概率分別為0.8,070.9,假設這三列火車之間是否正點到達互不影響.求:(1)這三列火車恰好有兩列正點到達的概率；(2)這三列火車至少有一列正點到達的概率.解用A, B,。分別表示這三列火車正點到達的事件，那么尸(A)=0.8, P =0.7, P(C)=0.9,所以 P(彳)=0.2, P(一)=0.3, P(C)=0.1.(1)由題意，得A, B,。之間互相獨立，所以恰好有兩列正點到達的概率為

13、P = P(A BC) + P(AB Q + P(AB C ) = P( A )P(B)P(C) + P(A)P( B )P(Q +P(A)P(B)P(C) = 0.2 X 0.7 X 0.9+0.8 X 0.3 X 0.9+0.8 X 0.7 X 0.1 =0.398.(2)三列火車至少有一列正點到達的概率為P2=1-P(AB C)=l-p( A )P(B)P(C)= 1-0.2X0.3X0.1=0.994.隨堂水平達標1 .打靶時: 甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，假設兩人同時射擊，那么他們同時中靶的概率是()A 14A-25c 12 -3 -3B25 C,4 D5答案A8

14、47解析 由題意，知。甲=卡=與，。乙=木，由于甲、乙中靶是相互獨立事件,同時中靶=尸甲尸乙=去.袋內(nèi)有3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸 得白球”，用3表示“第二次摸得白球”，那么A與6是()A.互斥事件B.相互獨立事件C.對立事件D.不相互獨立事件答案D解析 事件A的結果對事件8有影響.根據(jù)相互獨立事件的定義可知，A與 B不是相互獨立事件.甲、乙兩人各進行一次射擊，如果兩人擊中目標的概率都是0.8,那么其中 恰有一人擊中目標的概率為()B. 0.32A. 0.64C. 0.56D. 0.48答案B解析 設“甲擊中目標”為事件A, “乙擊中目標”為事件&那么“兩人各 射

15、擊一次，恰好有一人擊中目標”包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中(即 A萬)，另一種是甲未擊中、乙擊中(即彳8),根據(jù)題意，這兩種情況在各射擊一次 時不可能同時發(fā)生，即事件A看與18是互斥的，所以所求概率為尸=P(A方)+P(彳B) = P(A)P(豆)+P(彳)P(8)=0.8X(l0.8)+(10.8)義0.8=0.32.應選 B.加工某零件需經(jīng)過三道工序，設第一、二、三道工序的次品率分別為由,卷卷且各道工序互不影響，那么加工出來的零件的次品率為3套案 u木70解析加工出來的零件的正品率為(14)x(1一點)x(1表)=黑，所以次口多山1673口口率為 I1 2.甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為5與W甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求恰好命中一次的概率；(2)甲、乙兩人在罰球線各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的概率.解