2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)(天津卷)-試卷真題、答案及詳細解析

1、絕密 啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(天津卷,理)本試卷分為第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共150分,考試用時120分鐘.第卷1至2頁,第卷3至5頁.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上,并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時,考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上,答在試卷上的無效.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利!第卷注意事項:1.每小題選出答案后,用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.2.本卷共8小題,每小題5分,共40分.參考公式:如果事件A,B互斥,那么P(AB)=P(A)+P(B)

2、.如果事件A,B相互獨立,那么P(AB)=P(A)P(B).圓柱的體積公式V=Sh,其中S表示圓柱的底面面積,h表示圓柱的高.棱錐的體積公式V=13Sh,其中S表示棱錐的底面面積,h表示棱錐的高.一、選擇題:在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2019天津,理1)設(shè)集合A=-1,1,2,3,5,B=2,3,4,C=xR|1x3,則(AC)B=()A.2B.2,3C.-1,2,3D.1,2,3,4命題點集合的運算.解題思路先求AC,再求(AC)B.解析AC=1,2,(AC)B=1,2,3,4,故選D.答案D2.(2019天津,理2)設(shè)變量x,y滿足約束條件x+y-20,x-

3、y+20,x-1,y-1,則目標(biāo)函數(shù)z=-4x+y的最大值為()A.2B.3C.5D.6命題點線性規(guī)劃.解題思路畫出可行域,平移目標(biāo)函數(shù),確定最大值.解析畫出可行域如圖,平移目標(biāo)函數(shù)z=-4x+y可知過點A時取得最大值,由x=-1,x-y+2=0,得A(-1,1).zmax=-4(-1)+1=5.故選C.答案C3.(2019天津,理3)設(shè)xR,則“x2-5x0”是“|x-1|1”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件命題點絕對值及一元二次不等式,充分必要條件.解題思路求解絕對值不等式,一元二次不等式,根據(jù)集合的包含關(guān)系確定充分必要條件.解析由x2-5

4、x0,得0 x5.由|x-1|1,得0 x2.故“x2-5x0”是“|x-1|0,b0)的兩條漸近線分別交于點A和點B,且|AB|=4|OF|(O為原點),則雙曲線的離心率為()A.2B.3C.2D.5命題點拋物線方程、雙曲線性質(zhì).解題思路由拋物線方程求得準(zhǔn)線方程,利用|AB|=4|OF|列方程求解.解析由拋物線方程可得l的方程為x=-1.由y=bax,x=-1,得y1=-ba.由y=-bax,x=-1,得y2=ba.AB=2ba.由|AB|=4|OF|得2ba=4,故ba=2.ca2=a2+b2a2=5a2a2.e=5,故選D.答案D6.(2019天津,理6)已知a=log52,b=log0

5、.50.2,c=0.50.2,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.acbB.abcC.bcaD.cab命題點指、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.解題思路利用指、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與1及12的比較.解析a=log52log0.50.5=1,c=0.50.2=120.2121,bca.故選A.答案A7.(2019天津,理7)已知函數(shù)f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)是奇函數(shù),將y=f(x)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為g(x).若g(x)的最小正周期為2,且g4=2,則f38=()A.-2B.-2C.2D.2命題點三角函數(shù)的圖象及性質(zhì).解題思路先求函數(shù)解析式,再求值

6、.解析已知函數(shù)為奇函數(shù),且|1.若關(guān)于x的不等式f(x)0在R上恒成立,則a的取值范圍為()A.0,1B.0,2C.0,eD.1,e命題點分段函數(shù)、恒成立問題.解題思路對a進行討論,分段恒成立即可.解析(1)當(dāng)a1時,二次函數(shù)的對稱軸為x=a.需a2-2a2+2a0.a2-2a0.0a2.而f(x)=x-aln x,f(x)=1-ax=x-ax0.此時要使f(x)=x-aln x在(1,+)上單調(diào)遞增,需1-aln 10.顯然成立.可知0a1.(2)當(dāng)a1時,x=a1,1-2a+2a0,顯然成立.此時f(x)=x-ax,當(dāng)x(1,a),f(x)0,單調(diào)遞增.需f(a)=a-aln a0,ln

7、a1,ae,可知10,y0,x+2y=5,則(x+1)(2y+1)xy的最小值為.命題點基本不等式.解題思路先化簡,利用xy的范圍求解.解析(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+6xy=2xy+6xy22xy6xy=43.當(dāng)且僅當(dāng)xy=3xy,即xy=3時等號成立.答案4314.(2019天津,理14)在四邊形ABCD中,ADBC,AB=23,AD=5,A=30,點E在線段CB的延長線上,且AE=BE,則BDAE=.命題點解三角形,平面向量數(shù)量積.解題思路利用平行及EA=EB,求出EB=EA=2,將BDAE轉(zhuǎn)化為已知的邊角求解.解析ADBC,且DAB=30,ABE=30

8、.EA=EB,EAB=30.AEB=120.在AEB中,EA=EB=2,BDAE=(BA+AD)(ABBE)=-BA2+BABE+ADAB+ADBE=-12+232cos 30+523cos 30+52cos 180=-22+6+15=-1.答案-1三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.15.(2019天津,理15)(本小題滿分13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;(2)求sin2B+6的值.解(1)在ABC中,由正弦定理bsinB=csinC,得bsin C

9、=csin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C,即3b=4a.又因為b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=a2+49a2-169a22a23a=-14.(2)由(1)可得sin B=1-cos2B=154,從而sin 2B=2sin Bcos B=-158,cos 2B=cos2B-sin2B=-78,故sin2B+6=sin 2Bcos 6+cos 2Bsin 6=-15832-7812=-35+716.點評本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和的正弦公式,二倍角的正弦與余弦公式,以及正弦定理、

10、余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力.16.(2019天津,理16)(本小題滿分13分)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間,每天7:30之前到校的概率均為23.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響,且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中,甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率.解(1)因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立,且每天7:30之前到校的概率均為23,故XB3,23,從而P(X=k)=C3k23k133-k,k=0,1,

11、2,3.所以,隨機變量X的分布列為X0123P1272949827隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=323=2.(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為Y,則YB3,23,且M=X=3,Y=1X=2,Y=0.由題意知事件X=3,Y=1與X=2,Y=0互斥,且事件X=3與Y=1,事件X=2與Y=0均相互獨立,從而由(1)知P(M)=P(X=3,Y=1X=2,Y=0)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=82729+49127=20243.點評本小題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等

12、基礎(chǔ)知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.17.(2019天津,理17)(本小題滿分13分)如圖,AE平面ABCD,CFAE,ADBC,ADAB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求證:BF平面ADE;(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角E-BD-F的余弦值為13,求線段CF的長.(1)證明依題意,可以建立以A為原點,分別以AB,AD,AE的方向為x軸,y軸,z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).設(shè)CF=h(h0),則F(1,2,h).依題意,AB=(1,0,0)是平面

13、ADE的法向量,又BF=(0,2,h),可得BFAB=0,又因為直線BF平面ADE,所以BF平面ADE.(2)解依題意,BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),CE=(-1,-2,2).設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則nBD=0,nBE=0,即-x+y=0,-x+2z=0,不妨令z=1,可得n=(2,2,1).因此有cos=CEn|CE|n|=-49.所以,直線CE與平面BDE所成角的正弦值為49.(3)解設(shè)m=(x,y,z)為平面BDF的法向量,則mBD=0,mBF=0,即-x+y=0,2y+hz=0,不妨令y=1,可得m=1,1,-2h.由題意,有|cos|=|mn|m

14、|n|=4-2h32+4h2=13,解得h=87,經(jīng)檢驗,符合題意.所以,線段CF的長為87.點評本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.18.(2019天津,理18)(本小題滿分13分)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦點為F,上頂點為B.已知橢圓的短軸長為4,離心率為55.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)點P在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點M為直線PB與x軸的交點,點N在y軸的負半軸上.若|ON|=|OF|(O為原點),且OPMN,求直線PB的斜率.解(1)設(shè)橢圓的半焦

15、距為c,依題意,2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.所以,橢圓的方程為x25+y24=1.(2)由題意,設(shè)P(xP,yP)(xP0),M(xM,0).設(shè)直線PB的斜率為k(k0),又B(0,2),則直線PB的方程為y=kx+2,與橢圓方程聯(lián)立y=kx+2,x25+y24=1,整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-20k4+5k2,代入y=kx+2得yP=8-10k24+5k2,進而直線OP的斜率yPxP=4-5k2-10k.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-2k.由題意得N(0,-1),所以直線MN的斜率為-k2.由OPMN,得4-5k2-1

16、0k-k2=-1,化簡得k2=245,從而k=2305.所以,直線PB的斜率為2305或-2305.點評本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運算求解能力,以及用方程思想解決問題的能力.19.(2019天津,理19)(本小題滿分14分)設(shè)an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2-2,b3=2a3+4.(1)求an和bn的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列cn滿足c1=1,cn=1,2kn2k+1,bk,n=2k,其中kN*.求數(shù)列a2n(c2n-1)的通項公式;求i=12naici(nN*).解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公

17、差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.依題意得6q=6+2d,6q2=12+4d,解得d=3,q=2,故an=4+(n-1)3=3n+1,bn=62n-1=32n.所以,an的通項公式為an=3n+1,bn的通項公式為bn=32n.(2)a2n(c2n-1)=a2n(bn-1)=(32n+1)(32n-1)=94n-1.所以,數(shù)列a2n(c2n-1)的通項公式為a2n(c2n-1)=94n-1.i=12naici=i=12nai+ai(ci-1)=i=12nai+i=1na2i(c2i-1)=2n4+2n(2n-1)23+i=1n(94i-1)=(322n-1+52n-1)+94(1-4n)1-4-

18、n=2722n-1+52n-1-n-12(nN*).點評本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式等基礎(chǔ)知識.考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運算求解能力.20.(2019天津,理20)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)=excos x,g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)x4,2時,證明f(x)+g(x)2-x0;(3)設(shè)xn為函數(shù)u(x)=f(x)-1在區(qū)間2n+4,2n+2內(nèi)的零點,其中nN,證明2n+2-xncos x,得f(x)0,則f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x2k-34,2k+4(kZ)時,有sin x0,則f(x)單調(diào)遞增.所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2k-34,2k