理論力學(xué)綜合問(wèn)題

1、理論力學(xué)綜合問(wèn)題綜合問(wèn)題習(xí)題綜-1 滑塊M的質(zhì)量為m，在半徑為R的光滑圓周上無(wú)摩擦地滑動(dòng)。此圓周在鉛直面內(nèi)，如圖所示?；瑝KM上系有一剛性系數(shù)為k的彈性繩MOA，此繩穿過(guò)光滑的固定環(huán)O，并固結(jié)在點(diǎn)A。已知當(dāng)滑塊在點(diǎn)O時(shí)線的張力為零。開(kāi)始時(shí)滑塊在點(diǎn)B，處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；當(dāng)它受到微小振動(dòng)時(shí)，即沿圓周滑下。試求下滑速度v與角的關(guān)系和圓環(huán)的支反力。解：滑塊M在下降至任意位置時(shí)的運(yùn)動(dòng)分析及受力分析如圖（a）所示?；瑝KM在下降過(guò)程中v與的關(guān)系可由動(dòng)能定理確定：解得 （1）滑塊M的法向運(yùn)動(dòng)微分方程為把式（1）代入上式，化簡(jiǎn)得 綜-3 一小球質(zhì)量為m，用不可伸長(zhǎng)的線拉住，在光滑的水平面上運(yùn)動(dòng)，如圖所示。線的

2、另一端穿過(guò)一孔以等速v向下拉動(dòng)。設(shè)開(kāi)始時(shí)球與孔間的距離為R，孔與球間的線段是直的，而球在初瞬時(shí)速度v0垂直于此線段。試求小球的運(yùn)動(dòng)方程和線的張力F（提示：解題時(shí)宜采有極坐標(biāo)）解：設(shè)小球在任意瞬時(shí)的速度為v1，由于作用于小球的力對(duì)小孔O之矩為零，故小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩守恒。即 由題意 r = R - vt得小球在任意瞬時(shí)繞小孔O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 即 兩邊求積分得 故小球的運(yùn)動(dòng)方程為 r = R - vt而線的張力為 綜-5 圖示三棱柱A沿三棱柱B光滑斜面滑動(dòng)，A和B的質(zhì)量各為m1與m2，三棱柱B的斜面與水平面成角。如開(kāi)始時(shí)物系靜止，忽略摩擦，求運(yùn)動(dòng)時(shí)三棱柱B的加速度。解：1）以A及B為系

3、統(tǒng)，由于作用于該系統(tǒng)上的外力無(wú)水平分量，因此該系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒。即 兩邊求導(dǎo)得： （1）2)以B為動(dòng)系分析A的運(yùn)動(dòng)。如圖（a）。根據(jù) aA = ae + ar = aB + ar （2） （3）3）對(duì)A進(jìn)行受力分析及運(yùn)動(dòng)分析，如圖（b），建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程由式（2）、（3）消去ar得 把式（1）代入上式得，再把該式與式（1）代入式（4）、（5）中消去FN，解得 （方向向左）綜-7 圖示圓環(huán)以角速度繞鉛直軸AC自由轉(zhuǎn)動(dòng)。此圓環(huán)半徑為R，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。在圓環(huán)中的點(diǎn)A放一質(zhì)量為m的小球。設(shè)由于微小的干擾小球離開(kāi)點(diǎn)A。圓環(huán)中的摩擦忽略不計(jì)，試求小球到達(dá)點(diǎn)B和點(diǎn)C時(shí)，圓環(huán)的角速度和小球的速

4、度。解：整個(gè)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸動(dòng)量矩守恒，機(jī)械能也守恒。 設(shè)小球至B位置時(shí)圓環(huán)繞AC軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，小球至C位置時(shí)圓環(huán)角速度為，又設(shè)小球在最低位置為零勢(shì)能點(diǎn)。1）A至B過(guò)程動(dòng)量矩守恒： （1）機(jī)械能守恒（2）把式（1）代入式（2）解得 2）A至C過(guò)程動(dòng)量矩守恒 機(jī)械能守恒 如果確定小球在位置B時(shí)相對(duì)于圓環(huán)的速度vBr，則從速度分析知vBr垂直向下，vBe垂直于圖面向里，且vBe故 綜-9 圖示為曲柄滑槽機(jī)構(gòu)，均質(zhì)曲柄OA繞水平軸O作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。已知曲柄OA的質(zhì)量為m1，OA = r，滑槽BC的質(zhì)量為m2（重心在點(diǎn)D）。滑塊A的重量和各處摩擦不計(jì)。求當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)至圖示位置時(shí)，滑槽BC的加速度

5、、軸承O的約束反力以及作用在曲柄上的力偶矩M。解：曲柄OA和滑槽BC、滑塊A的受力分析與運(yùn)動(dòng)分析分別如圖（a）、（b）和（c）所示，其中p ( x )表示在BC在槽上受到的分布力但我們不求這些力。建立如圖所示坐標(biāo)系Oxy。1）求BCD的加速度及水平力。選取BC為動(dòng)系，OA曲柄上滑塊A為動(dòng)點(diǎn)，A點(diǎn)加速度分析如圖（c）所示。根據(jù)加速度合成定理 aa = ae + ar由于 故 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，由圖（b）得滑槽BC的運(yùn)動(dòng)微分方程 2）求軸承O的動(dòng)反力及作用在曲柄OA上的力矩M曲柄OA的質(zhì)心在E點(diǎn)，E點(diǎn)加速度的方向沿曲柄OA方向，且指向O點(diǎn)（見(jiàn)圖a），其大小為 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理及剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方

6、程 （1） （2） (3)將 及= 0代入方程（1）、（2）、（3）中，解得軸承動(dòng)反力作用在曲柄OA上的力矩 綜-11 圖示均質(zhì)桿長(zhǎng)為2l，質(zhì)量為m，初始時(shí)位于水平位置。如A端脫落，桿可繞通過(guò)B端的軸轉(zhuǎn)動(dòng)、當(dāng)桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)，B端也脫落了。不計(jì)各種阻力，求該桿在B端脫落后的角速度及其質(zhì)心的軌跡。解：（一）B脫落前瞬時(shí)B脫落后桿以此角速度在鉛直面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。（二）B脫落后瞬時(shí) B脫落后桿質(zhì)心作拋體運(yùn)動(dòng) （1） （2）式（1）、（2）消去t，得 即 此即所求脫落后質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡。綜-13 圖示機(jī)構(gòu)中，物塊A、B的質(zhì)量均為m，兩均質(zhì)圓輪C、D的質(zhì)量均為2m，半徑均為R。輪C鉸接于無(wú)重懸臂梁CK上，D

7、為動(dòng)滑輪，梁長(zhǎng)度為3R，繩與輪間無(wú)滑動(dòng)。系統(tǒng)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求：（1）A物塊上升的加速度；（2）HE段繩的拉力；（3）固定端K處的約束反力。解：圖（a） （各自正向如圖示）重力功：即 上式求導(dǎo)：圖（b）：由系統(tǒng)動(dòng)量矩定理圖（c）圖（d）圖（c）綜-15 均質(zhì)細(xì)桿OA可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端有一均質(zhì)圓盤，圓盤可繞A在鉛直面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖所示。已知桿OA長(zhǎng)l，質(zhì)量為m1；圓盤半徑R，質(zhì)量為m2。摩擦不計(jì)，初始時(shí)桿OA水平，桿和圓盤靜止。求桿與水平線成角的瞬時(shí)，桿的角速度和角加速度。解：系統(tǒng)由水平位置轉(zhuǎn)至與水平成任意角位置的過(guò)程中機(jī)械能守恒。設(shè)水平位置OA為零勢(shì)能位置，而圓盤在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，因無(wú)外力

8、偶作用，只能作平動(dòng)。因而有（1） （順）式（1）對(duì)t求導(dǎo)后消去，得 （與同向）綜-17 圖示質(zhì)量為m、半徑為r的均質(zhì)圓柱，開(kāi)始時(shí)其質(zhì)心位于與OB同一高度的點(diǎn)C。設(shè)圓柱由靜止開(kāi)始沿斜面滾動(dòng)而不滑動(dòng)，當(dāng)它滾到半徑為R的圓弧AB上時(shí)，求在任意位置上對(duì)圓弧的正壓力和摩擦力。解：圓柱由靜止開(kāi)始沿斜面然后進(jìn)入圓弧軌道過(guò)程中只滾不滑，受力及運(yùn)動(dòng)分析見(jiàn)圖（a）設(shè)圓柱質(zhì)心速度為v，則由動(dòng)能定理得由圖（a），根據(jù)以點(diǎn)D為矩心的動(dòng)量矩定理有：（必須指出，這里的點(diǎn)D為圓柱的速度瞬心，且圓柱在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度瞬心至質(zhì)心的距離不變，才有如下的表達(dá)式）而 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：代入解得 （與原設(shè)反向）綜-19 均質(zhì)細(xì)桿AB長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，起初緊靠在鉛垂墻壁上，由于微小干擾，桿繞B點(diǎn)傾倒如圖。不計(jì)摩擦，求：（1）B端未脫離墻時(shí)AB桿的角速度、角加速度及B處的反力；（2）B端脫離墻壁時(shí)的角；（3）桿著地時(shí)質(zhì)心的速度及桿的角速度。解：（1）圖（a） （未脫離時(shí)定軸轉(zhuǎn)