高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（學(xué)生版）：10.3拋物線及其性質(zhì)44

1、第三節(jié) 拋物線及其性質(zhì)考綱解讀 掌握拋物線的定義、標準方程、幾何圖形和及其簡單幾何性質(zhì).命題趨勢探究 拋物線是圓錐曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查拋物線的方程、焦點、準線及其幾何性質(zhì)，題形上，選擇、填空、解答題都有可能出現(xiàn)，以考查學(xué)生的運算、數(shù)形結(jié)合和分析能力為主. 預(yù)測2019年高考主要考查拋物線標準方程和性質(zhì)的應(yīng)用，焦點弦是重點考查的內(nèi)容.知識點精講一、拋物線的定義 平面內(nèi)與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線. 注 若在定義中有，則動點的軌跡為的垂線，垂足為點.二、拋物線的方程、圖形及性質(zhì) 拋物線的標準方程有4種形式：，其中一次項與對

2、稱軸一致，一次項系數(shù)的符號決定開口方向（如表10-3所示）表10-3標準方程yxOFlyxOFlFyxOl圖形yxOFl對稱軸軸軸頂點原點焦點坐標準線方程三、拋物線中常用的結(jié)論1. 點與拋物線的關(guān)系（1）在拋物線內(nèi)（含焦點）.（2）在拋物線上.（3）在拋物線外.2. 焦半徑拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，.3. 的幾何意義為焦點到準線的距離，即焦準距，越大，拋物線開口越大.4. 焦點弦若為拋物線的焦點弦，則有以下結(jié)論：（1）.（2）.（3）焦點弦長公式1：，當時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為.焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）.（4）的面積公式：（為

3、直線與對稱軸的夾角）.5.拋物線的弦若AB為拋物線 的任意一條弦， ，弦的中點為 ，則弦長公式： 直線AB的方程為 線段AB的垂直平分線方程為 6求拋物線標準方程的焦點和準線的快速方法（法） （1） 焦點為 ，準線為 (2) 焦點為 ，準線為 如，即，焦點為 ，準線方程為7參數(shù)方程 的參數(shù)方程為 （參數(shù)）8切線方程和切點弦方程 拋物線的切線方程為為切點 切點弦方程為點在拋物線外 與中點弦平行的直線為此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結(jié)果。題型歸納及思路提示題型143；拋物線的定義與方程思路提示求拋物線的標準方程的步驟為

4、：先根據(jù)題設(shè)條件及拋物線定義判斷它為拋物線并確定焦點位置：根據(jù)題目條件列出P的方程解方程求出P，即得標準方程 已知拋物線的準線與圓相切,求的值為（ ）A B C 2 D4變式1 【2016高考浙江理數(shù)】若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_變式2 設(shè) 為拋物線上一點，為拋物線的焦點，以為圓心，為半徑的圓和拋物線的準線相交，則的取值范圍是（ ）A B C D 若點到直線的距離比它到點的距離小 ，則點的軌跡為（ ）A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線變式1 設(shè)圓 與圓 外切，與直線 相切，則的圓心軌跡為（ ）A拋物線 B雙曲線 C橢圓 D圓變式2 【2016高考天津理數(shù)】設(shè)

5、拋物線，（t為參數(shù)，p0）的焦點為F，準線為l.過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B.設(shè)C（p,0），AF與BC相交于點E.若|CF|=2|AF|，且ACE的面積為，則p的值為_. 設(shè)拋物線上一點 到 軸的距離是 ，則點拋物線焦點的距離是（ ）A4 B6 C8 D12變式1 已知拋物線關(guān)于 軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點 ，若點 到該拋物線焦點的距離為3，則（ ）A B C4 D 變式2 已知是拋物線的焦點， 是該拋物線上的兩點， 則線段的中點到軸的距離為（ ）A B C D 變式3 設(shè)為拋物線的焦點， 為該拋物線上三點，若 ，則（ ）A9 B6 C4 D3 過拋物線 的焦點作傾斜角為

6、的直線與拋物線分別交于兩點（點 在軸上方），則 變式 1 已知是拋物線的焦點，過且斜率為1的直線交于 兩點，設(shè)，則與的比值等于 變式2 【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)O為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線上任意一點，M是線段PF上的點，且=2,則直線OM的斜率的最大值為( )（A）（B）（C）（D）1題型144 與拋物線有關(guān)的距離和最值問題 思路提示 拋物線上任意一點到焦點的距離等于到準線的距離，利用這一定義可以把相等長度的線段進行轉(zhuǎn)化，從而把兩條線段長度之和的問題轉(zhuǎn)化為兩點間的距離問題或點到直線的距離問題，即在解題中掌握“拋物線的定義及其性質(zhì)”，若求拋物線上的點到定直線（并非準線）距離的最值問題

7、用參數(shù)法或切線法求解。已知直線 和直線，拋物線上一動點 到直線和的距離之和的最小值是（ ）A B3 C D變式 1 已知點是拋物線 上的一個動點，則點到點與到該拋物線準線的距離之和的最小值為（ ）A B3 C D變式2 已知點在拋物線上，那么當點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標為（ ）A B C D變式3 【2017課標1，理10】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A16B14C12D10題型145 拋物線中三角形，四邊形的面積問題思路提示 解決此

8、類問題經(jīng)常利用拋物線的定義，將拋物線上的點焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，并構(gòu)成直角三角形或直角梯形，從而計算其面積或面積之比。例10.28 在直角坐標系中，直線過拋物線的焦點，且與該拋物線相交于兩點，其中點在軸上方，若直線的傾斜角為，則的面積為 變式1 過拋物線 的焦點的直線交拋物線于 兩點，點是坐標原點，若，則的面積為（ ） B C D變式2 【2015高考浙江，理5】如圖，設(shè)拋物線的焦點為，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點，其中點，在拋物線上，點在軸上，則與的面積之比是（ ）A. B. C. D. 例10.29 拋物線的焦點為，準線為 ，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點，垂

9、足為，則的面積是（ ）A B C D變式1 已知拋物線的焦點為，準線與 軸的交點為，點在 上且，則的面積為（ ）A B C D變式2 【2017天津，理19】設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，離心率為.已知是拋物線的焦點，到拋物線的準線的距離為.（I）求橢圓的方程和拋物線的方程；（II）設(shè)上兩點，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點（異于點），直線與軸相交于點.若的面積為，求直線的方程. 最有效訓(xùn)練題44（限時45分鐘）1拋物線上有一點，它的橫坐標是3,它到焦點的距離是5,則拋物線的方程為( )A B C D2.若點到直線 的距離比它到點 的距離大1,則點的軌跡為( )A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線 3

10、.已知拋物線 ,以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關(guān)系是( )A相離 B相切 C相交 D不能確定4. 已知雙曲線的離心率為2,若拋物線 的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2,則拋物線 的方程為( )A B C D5. 等軸雙曲線 的中心在原點,焦點在 軸上, 與拋物線的準線交于兩點, ,則的實軸長為( )A B C D6. 已知 為拋物線 上兩點,點的橫坐標分別為,過分別作拋物線的切線,兩切線交于點 ,則點的縱坐標為( )A B C D7. 已知以為焦點的拋物線 上的兩點 滿足，則弦 的中點到準線的距離為 8若點是拋物線的一條弦的中點，且這條弦所在直線的斜率為2，則 9已知點 ，動點在拋物線上運動，則取得最小值時的點的坐標是 10已知拋物線的焦點是，點是拋物線上的動點（1）若有點，求的最小值，并求出取最小值時點的坐標（2）若點的坐標為，求的最小值（3）若點在軸上的射影是，點的坐標是