高中數(shù)學題型全面歸納（學生版）：9.3圓的方程40

1、第三節(jié) 圓的方程考綱解讀1.掌握確定圓的三個條件、圓的標準方程與一般方程.2.能根據(jù)所給條件選取適當?shù)姆匠绦问?，利用待定系?shù)法求出圓的方程，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)解與圓有關(guān)的問題.命題趨勢探究高考中與圓有關(guān)的問題主要是圓的方程的求解，四種方程中標準方程是運用最廣泛的，因為它能反映圓的幾何特征（圓心和半徑），通常用待定系數(shù)法求圓的方程.有關(guān)圓的考題，多在選擇題、填空題中結(jié)合參數(shù)方程、極坐標的形式出現(xiàn)，重點考查標準方程和一般方程，難度不大，有時也將圓融入圓錐曲線中作為解答題考查.預測2019年高考本專題會主要考查：（1）結(jié)合直線方程，用待定系數(shù)法求圓的方程.（2）利用圓的幾何性質(zhì)求動點的軌跡方程.知識點

2、精講一、基本概念平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓.二、基本性質(zhì)、定理與公式1.圓的四種方程（1）圓的標準方程：，圓心坐標為(a,b)，半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.注 對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點的坐標設(shè)為（為參數(shù)，(a,b)為圓心，r為半徑），以減少變量的個數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.2.點與圓的位置關(guān)系判斷（1）點與圓的位置關(guān)系：點P在圓外；點P在圓上；

3、點P在圓內(nèi).（2）點與圓的位置關(guān)系：點P在圓外；點P在圓上；點P在圓內(nèi).題型歸納及思路提示題型125 求圓的方程思路提示（1）求圓的方程必須具備三個獨立的條件，從圓的標準方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓心坐標(a,b)和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個點.因此，待定系數(shù)法是求圓的方程常用的方法.（2）用幾何法來求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等.例9.17 根據(jù)下列條件求圓的方程：（1）的三個頂點分別為A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),求其外接圓的方程；（2）經(jīng)過點A(6,5),B(0,1),且

4、圓心在直線3x+10y+9=0上；（3）經(jīng)過點P(-2,4),Q(3,-1),且在x軸上截得的弦長等于6.變式1在平面直角坐標系xOy中，曲線與坐標軸的交點都在圓C上，求圓C的方程例9.18(1)(2016天津)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點在圓C上，且圓心到直線的距離為，則圓C的方程為_(2)(2015課標全國)一個圓經(jīng)過橢圓eq f(x2,16)eq f(y2,4)1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為_變式1 求與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截得的弦長為的圓的方程例9.19 圓關(guān)于直線2x-y+3=0對稱的圓的方程是（ ）A.B.C.D.變

5、式1 若不同兩點P,Q的坐標分別為，,則線段PQ的垂直平分線l的斜率為_，圓關(guān)于直線l對稱的圓的方程為_題型126 直線系方程和圓系方程思路提示求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）.（1）直線系方程：若直線與直線相交于點P，則過點P的直線系方程為：簡記為： 當時，簡記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A,B兩點，則過A,B兩點的圓系方程為：簡記為：，不含當時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注 與圓C共根軸l的圓系例9.20 （1）設(shè)直線與直線相交于點P,求過點P且與直線平行的直線的方程.（2）求圓心在直

6、線上且過兩圓與的交點的圓的方程.變式1 過直線和圓的交點且面積最小的圓的方程是_變式2 （1）設(shè)直線與直線相交于點P，求過點P且與直線垂直的直線的方程.（2）已知圓，若直線與圓C相交于A,B兩點，且（O為坐標原點），求m的值和以AB為直徑的圓的方程.題型127 與圓有關(guān)的軌跡問題思路提示要深刻理解求動點的軌跡方程就是探求動點的橫縱坐標x,y的等量關(guān)系，根據(jù)題目條件，直接找到或轉(zhuǎn)化得到與動點有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵所在.例9.21(2016天津模擬)設(shè)定點M(3,4)，動點N在圓x2y24上運動，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡變式1 在中，若，則的最大值為_例9

7、.22 如圖9-11所示，已知P(4,0)是圓內(nèi)的一點，A,B是圓上兩動點，且滿足，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程變式1 已知圓上一定點A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)的一定點，P，Q為圓上的動點.（1）求線段AP中點M的軌跡方程；（2）若，求線段PQ中點N的軌跡.變式2 已知點P(0,5)及圓（1）直線l過P且被圓C截得的線段長，求l的方程；（2）求過點P的圓C的動弦的中點M的軌跡方程.題型128 用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件思路提示方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關(guān)問題時，必須注意這一隱含條件.在圓的一般方程中，圓心為，半徑例9.23方程表示圓，則a的取值范

8、圍是（ ）A.B.C.D.評注 對于用二元二次方程表示圓的方程的充要條件的不等式不需要記憶，只需通過配方，然后讓右邊大于零即可變式1 方程表示圓的方程的充要條件是（ ）A.B.C.D. 變式2 若圓關(guān)于直線對稱，則實數(shù)a 的值為_題型129 點與圓的位置關(guān)系判斷思路提示在處理點與圓的位置關(guān)系問題時，應注意圓的不同方程形式對應的不同判斷方法，另外還應注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數(shù)的制約.例9.24 若點A(1,1)在圓的內(nèi)部，則實數(shù)a 的取值范圍是（ ）A.B.C.D.評注 判斷點與圓的位置關(guān)系的代數(shù)方法為若點在圓上,則；若點在圓外,則；若點在圓內(nèi),則.反之也成立.變式1 點A

9、(1,0)在圓上，則a的值為_變式2 過占P(1,2)可以向圓引兩條切線，則k的范圍是（ ）A.B.C.D.題型30 與圓有關(guān)的最值問題思路提示解決此類問題，應綜合運用方程消元法、幾何意義法、參數(shù)方程法等各種思想和方法求解，才能做到靈活、高效.例9.25 已知實數(shù)x,y滿足方程（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值評注 涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.一般地：（1）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.（2）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.（3）形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為曲線上的點到點(a,b)的距離平方的最值問題

10、例9.26（2017北京文）已知點在圓上，點的坐標為，為原點，則的最大值為_變式1 若圓上任意一點(x,y)都使不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）A.B.C.D.變式2 若圓上任意一點(x,y)都使不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）A.B.C.D.題型131 數(shù)形結(jié)合思想的應用思路提示研究曲線的交點個數(shù)問題常用數(shù)形結(jié)合法，即需要作出兩種曲線的圖像.在此過程中，尤其要注意需對代數(shù)式進行等價變形，以防出現(xiàn)錯誤.例9.26(2017新課標理)在矩形中，動點在以點為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為（ ）ABCD變式1 方程表示的曲線是（ ）A.一條射線B.一個圓C.兩條射線D.半個圓例

11、9.27 直線與曲線有且僅有一個公共點，則b的取值范圍是（ ）A.B.C.D.變式1 當曲線與直線有兩個相異交點時，實數(shù)k的取值范圍是（ ）A.B.C.D.變式2 若直線與曲線有公共點，則b的取值范圍是（ ）A.B.C.D.變式3 設(shè)集合,，若，則實數(shù)m的取值范圍是_最有效訓練題40（限時45分鐘）1.若直線y=kx與圓的兩個交點關(guān)于直線x+y+b=0對稱，則（ ）A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-22.若點(4a-1,3a+2)不在圓的外部，則a的取值范圍是（ ）A.B.C.D.3.設(shè)橢圓的離心率為，右焦點為，方程的兩個實根分別為和，則點（ ）A.必在圓內(nèi)B.必在圓上C.必在圓外D.以上三種情形都有可能4.已知圓，過點A(4,0)作圓的割線ABC，則弦BC中點的軌跡方程是（ ）A.B. C. D. 5.已知兩點A(-1,0),B(0,2)，點P是圓上任意一點，則面積的最大值與最小值分別是（ ）A.B.C. D. 6.已知圓C的方程為，當圓心C到直線的距離最大時，k的值為（ ）A.B.C.D.7.定義在上的函數(shù)f(x)的導函數(shù)恒成立，且，若，則的最小值是_8.已知圓C經(jīng)過兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程為_9.已知直線.