控制工程基礎教案第四章

1、控制工程基礎教案第四章控制工程基礎教案第四章控制工程基礎教案第四章控制工程基礎 教 案 年至 年 第 學期 第 周 星期 課題名稱（含教材章節(jié)）： 第四章 根軌跡法 教學目的和要求：1、熟悉根軌跡基本概念； 2、掌握繪制根軌跡的基本法則； 3、了解廣義根軌跡； 4、了解用根軌跡分析系統(tǒng)性能。 教學重點：根軌跡基本概念，根軌跡方程，常規(guī)根軌跡的繪制及系統(tǒng)性能分析 教學難點：根軌跡的繪制法則 教 學 內 容 （ 要 點 ）1. 根軌跡的基本概念；2. 繪制根軌跡的基本法則；3. 利用根軌跡分析系統(tǒng)性能；4. 廣義根軌跡。X X X X 學 院 教 案 紙第四章 根軌跡法反饋控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，主要

2、由系統(tǒng)的極點分布所決定，但求解高階系統(tǒng)特征方程很困難，這就限制了時域分析法在二階以上的控制系統(tǒng)中的應用。1948年，伊凡思（W.R.Evans）根據(jù)反饋系統(tǒng)開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的內在聯(lián)系，提出了直接由開環(huán)傳遞函數(shù)求閉環(huán)特征根的新方法，并且建立了一套法則，這就是在工程上獲得較廣泛應用的根軌跡法。4.1根軌跡的基本概念一、根軌跡定義：根軌跡系統(tǒng)中某一參數(shù)在全部范圍內變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根隨之變化的軌跡。例：圖4-1 例圖開環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征根：該例有2個開環(huán)極點0,-2；沒有開環(huán)零點。閉環(huán)特征根是K的函數(shù)，K由0-，形成根軌跡。K取不同值：K=0，s1=0，s2=-2

3、；K =0.5，s1=-1，s2=-1；K =1，s1=-1+j，s2=-1-j；K= ，s1=-1+j，s2=-1-j；根軌跡直觀表達了K變化時閉環(huán)特征根所發(fā)生的變化。圖4-2 例題的根軌跡總結：1. 2階系統(tǒng)，2個閉環(huán)極點，2條根軌跡；2. 以開環(huán)極點為出發(fā)點；3. 根軌跡上的點與K值一一對應，是連續(xù)的；4. 通過選擇開環(huán)增益K，可使閉環(huán)極點落在根軌跡的任何位置上；5. 如果根軌跡上某一點滿足動態(tài)特性要求，可計算該點的K值實現(xiàn)設計要求。二、根軌跡方程及相角、幅值條件典型反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程（根軌跡方程）：或相角條件：幅值條件：開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成下述形式：其中： 因此相角條件、幅

4、值條件又可表示為：4.2繪制根軌跡的基本法則1根軌跡的起點與終點根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點，如果開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n, 則有條根軌跡終止于無窮遠處。根軌跡起點 ：根軌跡終點 ：當時，時，。2根軌跡的分支數(shù)根軌跡s平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù)n，也就是分支數(shù)與閉環(huán)極點的數(shù)目相同。這是因為n階特征方程對應n個特征根，當開環(huán)增益K由零變到無窮大時，這n個特征根隨K變化必然會出現(xiàn)n條根軌跡。3. 根軌跡的對稱性因為開環(huán)極點，零點或閉環(huán)極點都是實數(shù)或者為成對的共軛復數(shù)，它們在s平面上的分布對稱于實軸，所以根軌跡也對稱于實軸。4. 實軸上的根軌跡實軸上根軌跡區(qū)段的右側，開環(huán)零極點

5、數(shù)目之和應為奇數(shù)。由于成對的共軛復根在實軸上產生的相角之和總是等于360，不會影響實軸上根軌跡的位置，故上述結論由相角條件很容易得出。5. 根軌跡的漸近線如果開環(huán)零點數(shù)m小于開環(huán)極點數(shù)n，則當時，趨向無窮遠處的根軌跡共有(n-m)條，這(n-m）條根軌跡趨向于無窮遠處的方位可由漸近線決定。設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（nm）有(n-m)條漸近線。當s很大時，上式可近似為由上兩式中項系數(shù)相等，得漸近線與實軸交點的坐標為 即其分子是極點之和減去零點之和。漸近線與實軸正方向的夾角為式中k依次取0，1， 2，,一直到獲得（n-m）個傾角為止。例 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試繪制其漸近線。解：3個極點；沒有零點；

6、3條漸近線，與實軸坐標為：根軌跡如下圖所示：圖4-3 例題的根軌跡6. 根軌跡的起始角與終止角根軌跡的起始角是指根軌跡起點處的切線與水平線正方向的夾角，為： 其中： 圖4-4根軌跡的起始角與終止角根軌跡的終止角是指根軌跡終點處的切線與水平線正方向的夾角，為：其中：7. 分離點的坐標幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開（或分開后又相遇）的點，稱為根軌跡的分離點（或會合點）。兩種計算方法：方法(1)：因分離點（或會合點）是特征方程的重根，因此可用求重根的方法確定它們的位置。設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為分離點（或會合點）為重根，必然同時滿足方程由上兩式可得即根據(jù)該式，即可確定分離點（或會合點）

7、的參數(shù)。例 某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 得 解之，得 相應的增益為 。方法(2)：設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程，得求極值，即可確定分離點（或會合點）的參數(shù)。仍以上例為例： 即解之，得相應的增益為 。圖4-5 例題根軌跡圖方法(3)：分離點（或會合點）的坐標可由方程解出，其中為開環(huán)極點，為開環(huán)零點。例 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的分離點坐標。解：得 解此方程得 d1=-2.12，d2=0.12d1在根軌跡上，是所求的分離點。d2不在根軌跡上，則舍棄。根軌跡如下圖所示：圖4-6 例題根軌跡圖8. 實軸上分離點的分離角恒為90根軌跡離開分離點時，軌跡切線的傾角稱分離角。由相角條件

8、可推出，當根軌跡從實軸二重極點上分離時，其右邊為偶數(shù)個零極點，因此該二重極點相角之和為士(2n+1)180，即實軸上分離點的分離角恒為士90。同理，實軸上會合點的會合角也恒為士90。9.根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸相交，意味著閉環(huán)極點中有極點位于虛軸上，即閉環(huán)特征方程有純虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。方法1：將s =jw 代入特征方程中得 或令，則可解出值及對應的臨界開環(huán)增益及K來。例 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求根軌跡與虛軸的交點。解: 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為令s = jw，代入上式得即聯(lián)立得方法2根軌跡與虛軸交點坐標也可通過勞斯判據(jù)求出。仍以上例為例，其勞斯表為解得即為所求。10. 系統(tǒng)閉環(huán)極點之和

9、為常數(shù)（略，不做介紹）11. 系統(tǒng)閉環(huán)極點之積（略，不做介紹）4.3 廣義根軌跡一、參量根軌跡引入等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念等效開環(huán)傳遞函數(shù)注意：在此的等效意義是在特征方程相同，或者是閉環(huán)極點相同的前提下成立；而此時閉環(huán)零點是不同的。例：設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中開環(huán)增益可自行選定。試分析時間常數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。解：閉環(huán)特征方程要繪制參數(shù)根軌跡，首先要求出等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點。等效開環(huán)極點為： 注：若分母多項式為高次時，無法解析求解等效開環(huán)極點，則運用根軌跡法求解。如本例，求解分母特征根的根軌跡方程為：在本例中，K可自行選定，選定不同K值，然后將W1(s)的零、極點畫在 s 平面上，繪

10、制出k變化時的根軌跡。二、附加開環(huán)零點的作用1附加適當?shù)拈_環(huán)零點可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 設開環(huán)傳遞函數(shù)為為附加開環(huán)實數(shù)零點，其值可在s左半平面內任意選擇，當 時，表明不存在有限零點。令 為不同的數(shù)值： （a）無開環(huán)零點；（b） ；（c） （d）2附加開環(huán)零點的目的，除了改善系統(tǒng)穩(wěn)定性之外，還可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。結論：只有當附加零點相對原有系統(tǒng)開環(huán)極點的位置選配適當，才有可能使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能同時得到明顯的改善。三、零度根軌跡在非最小相位系統(tǒng)，此時相角條件為 在一些復雜系統(tǒng)中，包含了正反饋內回路，有時為了分析內回路的特性，則有必要繪制相應的根軌跡，其相角條件為 ，具有這類相角條件的相軌

11、跡稱為：零度根軌跡 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：相應的特征方程為：1-G(s)H(s)=0即 幅值條件：G(s)H(s)=1相角條件：argG(s)H(s)=2k ,=0,1,2零度根軌跡的繪制規(guī)則：規(guī)則3：根軌跡在實軸上的分布實軸上根軌跡段右側開環(huán)零、極點數(shù)之和為偶數(shù)。規(guī)則4：根軌跡的漸近線1、漸近線的傾角：漸近線與實軸的交點：或 規(guī)則6：根軌跡的出射角和入射角出射角：根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點處的切線與實軸正方向的夾角。入射角：根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點處的切線與實軸正方向的夾角。出射角的計算： ，其中：入射角的計算：除上述條規(guī)則外，其余均與負反饋系統(tǒng)的根軌跡的繪制完全相同。四、滯后系統(tǒng)的根軌跡系統(tǒng)的閉

12、環(huán)傳遞函數(shù)為：相應的特征方程為：令s=+j帶入特征方程，得到根軌跡的相角條件和幅值條件。幅值條件：|G(s)H(s)|e-s=1/k相角條件：argG(s)H(s)=(2k+1) + ,k=0,1,2當0時，和原方式相同；當0時，幅值條件和相角條件均發(fā)生變化；當較小時， 。具體的繪制規(guī)則為：規(guī)則1：根軌跡的對稱性 根軌跡對稱于實軸規(guī)則2：根軌跡的分支數(shù) 無數(shù)多條分支規(guī)則3：根軌跡的起點、終點 起點：開環(huán)極點和；終點：開環(huán)零點和=。規(guī)則4：實軸上的根軌跡規(guī)則5：漸近線 k=0時部分根軌跡的漸近線始于處，對應的w值由下列兩式決定： n-m=奇數(shù)， n-m=偶數(shù)， k=時，部分根軌跡終止于=處，對應的w值為規(guī)則6：根軌跡的分離點 A(s)e-s B(s)-A(s) e-s B(s)=0規(guī)則7：根軌跡與虛軸的交點 4.4 系統(tǒng)性能的分析 一、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析主要有兩類：1、非最小相位系統(tǒng) 2、具有局部正反饋系統(tǒng)例 其根軌跡為： 0 0K14 穩(wěn)定64K195 14K195二 瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)確定1有（閉環(huán)系統(tǒng)極點張角）超前量因=cos1 2由閉環(huán)極點實部調節(jié)時間 3由性能指標要求閉環(huán)（主