高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：2.3 函數(shù)的性質(zhì)——奇偶性、單調(diào)性、周期性6

1、第三節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)奇偶性、單調(diào)性、周期性考綱解讀理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義，會利用單調(diào)性解決函數(shù)的最值問題.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.會利用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).命題趨勢研究有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的高考試題，考查重點(diǎn)是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值（值域）、比較大小及求解函數(shù)不等式.函數(shù)奇偶性的判斷及其應(yīng)用是?？贾R點(diǎn)，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱性、最值等結(jié)合綜合考查.知識點(diǎn)精講函數(shù)奇偶性定義設(shè)為關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間），如果對于任意的，都有，則稱函數(shù)為偶函數(shù)；如果對于任意的，都有，則稱函數(shù)為奇函數(shù).性質(zhì)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.

2、奇偶函數(shù)的圖象特征.函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱.(3)若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿足.偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相同.若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式.記，則.運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個（或多個）函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如.對于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.函數(shù)的單調(diào)性定義一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為

3、D，區(qū)間，若對于任意的，當(dāng)時，都有（或），則稱函數(shù)在區(qū)間M上是單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）的，區(qū)間M為函數(shù)的一個增（減）區(qū)間.注：定義域中的具有任意性，證明時應(yīng)特別指出“對于任意的”.單調(diào)性是針對定義域內(nèi)的某個區(qū)間討論的.熟練掌握增、減函數(shù)的定義，注意定義的如下兩種等價形式：設(shè)且，則在上是增函數(shù)過單調(diào)遞增函數(shù)圖象上任意不同兩點(diǎn)的割線的斜率恒大于零.在上是減函數(shù)過單調(diào)遞減函數(shù)圖象上任意不同兩點(diǎn)的割線的斜率恒小于零.性質(zhì)對于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：在公共區(qū)間上，增+增=增；減+減=減；增-減=增；減-增=減.一般地，對于乘除運(yùn)算沒有必然的結(jié)論.如“增增=增”不一定成立；“若為增函數(shù)，則為減函數(shù)”也是錯誤的.

4、如，則為減函數(shù)是不正確的，但若具備如下特殊要求，則結(jié)論成立:若為增函數(shù)，且或），則為減函數(shù).若為減函數(shù)，且或），則為增函數(shù).復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).函數(shù)的周期性定義設(shè)函數(shù)，如存在非零常數(shù)T，使得對任何，且，則函數(shù)為周期函數(shù)，T為函數(shù)的一個周期.若在所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，則這個最小的正數(shù)叫做最小正周期.注：函數(shù)的周期性是函數(shù)的“整體”性質(zhì)，即對于定義域D中的任何一個，都滿足；若是周期函數(shù)，則其圖像平移若干整數(shù)

5、個周期后，能夠完全重合.性質(zhì)若的周期為T，則也是函數(shù)的周期，并且有.有關(guān)函數(shù)周期性的重要結(jié)論（如表所示）函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系若函數(shù)有兩條對稱軸，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.題型歸納及思路提示題型16 函數(shù)的奇偶性思路提示：判斷函數(shù)的奇偶性，常用以下兩種方法：定義法.首先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；若，則函數(shù)為奇函數(shù)；若，則函數(shù)為偶函數(shù).圖像法.根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性進(jìn)行判斷，若函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，則為奇函數(shù)；若函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則為偶函數(shù).【例2.25】判斷下列函數(shù)的奇偶性.；.

6、解析 （1）由可知，故函數(shù)的定義域為，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故為非奇非偶函數(shù).由，故函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點(diǎn)對稱，故，所以，所以函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).因為對任意實數(shù)，都有，故定義域為R.且，故為奇函數(shù).由，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.此時，故有，所以為奇函數(shù).當(dāng)時，；當(dāng)時，.故為奇函數(shù).評注 利用定義判斷函數(shù)的奇偶性要注意以下幾點(diǎn)：首先必須判斷的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.若不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則是非奇非偶函數(shù).若關(guān)于原點(diǎn)對稱，則對定義域任意說明滿足定義.若否定奇偶性只需有一個自變量不滿足.有些函數(shù)必須根據(jù)定義域化簡解析式后才可判斷，否則可能無法判斷或判斷錯誤，如本例（2），若不化簡可能誤判為偶函數(shù)，而本

7、例（4）可能誤判為非奇非偶函數(shù).本例（3）若用奇偶性的等價形式，則，即，故為奇函數(shù)，顯然，等價形式的整理較定義法更為容易.這提醒我們，在函數(shù)解析式較復(fù)雜時，有時使用等價形式來判斷奇偶性較為方便.變式1：判斷下列函數(shù)的奇偶性.；.解析 （1）函數(shù)的定義域為，其定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù).（2）函數(shù)的定義域為（-2，2），其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又函數(shù)，可得，故函數(shù)為奇函數(shù).（3）解法一：設(shè)，則，同樣當(dāng)時，故函數(shù)為奇函數(shù).解法二：（圖象法）函數(shù)的圖象如圖2-42所示，知函數(shù)為奇函數(shù).（4）函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，故函數(shù)為偶函數(shù).變式2：已知函數(shù)，試判斷其奇偶性.解析 函數(shù)

8、的定義域為R,又，故函數(shù)為奇函數(shù).【例2.26】已知函數(shù)，試判斷其奇偶性.分析 利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷.解析 當(dāng)時，滿足，故為偶函數(shù)；當(dāng)時，假設(shè)對任意，恒成立，則此時，與前提矛盾；假設(shè)對任意，恒成立，則此時，即，與條件定義域矛盾.綜上所述，當(dāng)時，為偶函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).評注 函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).奇偶函數(shù)的前提是函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.若要說明一個函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，可以舉一個反例.本題的結(jié)論還可以借用運(yùn)算函數(shù)的的奇偶性的規(guī)律獲得，已知函數(shù)是一個由與通過加法法則運(yùn)算得到的函數(shù)，而為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，故當(dāng)時，為“偶+奇”形式，故為非奇非偶函數(shù)；當(dāng)時，則為偶函數(shù).變式1：

9、函數(shù)是偶函數(shù)，并且不等于零，則是（ ）A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既奇又偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)解析 可證明為奇函數(shù)，要使是偶函數(shù)，由運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律可知，是奇函數(shù)，故選A. 變式2：對于函數(shù)，“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析 若函數(shù)是奇函數(shù)，則，此時，因此是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，但當(dāng)?shù)膱D象關(guān)于y軸對稱時，未必推出是奇函數(shù)，如是偶函數(shù)，且，其圖象關(guān)于y軸對稱，并非奇函數(shù)，故“的圖象關(guān)于y軸對稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選B.【例2.27】定義在實數(shù)集上的函數(shù)，對任意都有，且，試判斷的

10、奇偶性.分析 對于抽象函數(shù)的奇偶性判斷通常利用賦值法得到與的關(guān)系.解析 由函數(shù)定義域為R可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.依題意可令，得，因為，所以.令，可得，即，所以，故函數(shù)為偶函數(shù).評注 對于抽象函數(shù)奇偶性的判斷，常通過賦值法（如令等）湊成含有與的關(guān)系的式子，然后進(jìn)行判斷.變式1：已知函數(shù)在R上有定義，且對任意都有，試判斷的奇偶性.解析 令，得，令，得，所以函數(shù)是奇函數(shù).變式2：若定義在R上的函數(shù)滿足對任意有，則下列說法正確的是（ ） A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù) C.+1為奇函數(shù) D.+1為偶函數(shù)解析 解法一：由有，設(shè)，則，所以，令，故，所以是奇函數(shù)，故選C.變式3：已知函數(shù)在上有定義，且對任意都有

11、，試判斷函數(shù)的奇偶性.分析 對于抽象函數(shù)的奇偶性判斷通常利用賦值法，如令轉(zhuǎn)化.解析 由于，令，得，即；令，則，所以，故為奇函數(shù).變式4：已知，在R上有定義，對任意的，有，且.求證：為奇函數(shù)；若，求的值.解析 解法一：令，則=0，令，則，又，所以 ，令，則，所以為奇函數(shù).解法二：令，則所以，所以為奇函數(shù).（2）令,則，所以，又因為，所以，故的值為1.【例2.28】已知偶函數(shù)的定義域為，則_.分析 定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件.解析 因為為偶函數(shù)，故其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，且，解得.由函數(shù)為偶函數(shù)得的系數(shù)為0，則，即，故.變式1：若函數(shù)為奇函數(shù)，則（ ） 解析 解法一： 由函

12、數(shù)的定義域為且，有因為奇函數(shù)，可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故，故選A.解法二：為奇函數(shù)，由于分子為奇函數(shù)，則分母為偶函數(shù)，又知分母為二次函數(shù)，則一次項系數(shù)為0，所以，故選A.變式2：若函數(shù)是奇函數(shù)，則_.分析 由函數(shù)的定義域含有數(shù)0，則必有解析 函數(shù)且）為定義域為R的奇函數(shù)，且在有意義，故滿足，從而得又且，所以.變式3：若是奇函數(shù)，則_.解析 解法一：因為為奇函數(shù)，所以，即，整理得，得.解法二：（賦值法）因為為奇函數(shù)，所以，解得.變式4：函數(shù)為常數(shù)）為其定義域上的奇函數(shù)，則_.解析 依題意，函數(shù)（k為常數(shù)）為其定義域上的奇函數(shù)，則，得故，若k=1，得故為奇函數(shù)；若k=-1，得故為奇函數(shù)；故k=1或

13、k=-1變式5：函數(shù)為其定義域上的奇函數(shù)，則_.解析 依題意，函數(shù)為其定義域上的奇函數(shù)，則即若k=1，得無意義，故舍去；若k=-1，得滿足為奇函數(shù)，故k=-1【例2.29】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，則當(dāng)時，=_.解析 當(dāng)時，則，因為是偶函數(shù)，所以，故當(dāng)時，.評注 解此類題分三步：第一步將所求解析式自變量的范圍轉(zhuǎn)化為已知解析式中自變量的范圍；第2步將轉(zhuǎn)化后的自變量代入已知解析式；第3步利用函數(shù)的奇偶性求出解析式.變式1：已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，求函數(shù)的解析式.解析 當(dāng)x0時，-x0，所以f(-x)=-x-(-x)2=-x-x2,因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)=- f(-x)

14、= x2+x,所以當(dāng)x0時f(x)=- f(-x)= x2+x；當(dāng)x=0時，f(0)=0,所以【例2.30】已知為定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上的函數(shù)，求證：一定可以寫成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和的形式.分析 先設(shè)能寫成一個函數(shù)和一個偶函數(shù)之和，再利用奇偶函數(shù)的定義列方程組，解方程組即得.解析 先假設(shè)存在其中為奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則由+得，由-得，.由此，我們得出結(jié)論，對定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)，都可以寫成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和.變式1：已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足.若，則=（ ） 解析 因為f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，所以由f(x)+g(x)=ax-a-x+2得f(-x)+g(-

15、x)=a-x-ax+2即-f(x)+g(x)= a-x-ax+2. + ，得g(x)=2，-得f(x)= ax-a-x，又g(2)=a，所以a=2,所以f(x)= 2x-2-x，f(2)= 22-2-2=15/4,故選B變式2：設(shè)函數(shù)和分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A.是偶函數(shù) 是奇函數(shù)是偶函數(shù) 是奇函數(shù)解析 令f(x)=x2,g(x)=x3,則A.f(x)+|g(x)|= x2+| x3|, f(-x)+|g(-x)|= x2+| x3|= f(x)+|g(x)|,故選項A正確.同理B,C,D錯誤.【例2.31】函數(shù)，若，則的值為（ ） 分析 函數(shù)中為奇函數(shù)，借助奇函數(shù)

16、的性質(zhì)求解.解析 令，得，依題意得，所以.由為奇函數(shù)，故，所以，故選B.評注 本題中雖然函數(shù)整體沒有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是當(dāng)為奇函數(shù)時，特別地.變式1：對于函數(shù)（其中），選取的一組計算和，所得出的正確結(jié)果一定不可能是（ ）A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2解析 f(1)+ f(-1)=asin1+b+c+asin(-1)-b+c=2c,因為cZ,則f(1)+ f(-1為偶數(shù)，在4個選項中，只有選項D中1+2=3不是偶數(shù)，故選D.變式2：已知函數(shù)，則( )A. B. C. D.4分析 根據(jù)函數(shù)y=ax3+bsinx為奇函數(shù)求解.解析 由則f()+f(=8,故f(=3

17、，故選C.變式3：設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為，則解析 將函數(shù)解析式化簡，利用函數(shù)的奇偶性求解.，設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖像的對稱性知所以題型17 函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）思路提示判斷函數(shù)的單調(diào)性一般有四種方法：定義法、圖像法、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法和導(dǎo)數(shù)法.【例2.32】求證：函數(shù)在上是增函數(shù).分析 利用函數(shù)單調(diào)性的定義來證明.解析 設(shè)任意的兩個實數(shù)且，則有.因為，所以，故在上是增函數(shù).評注 利用函數(shù)單調(diào)性的定義判定時，其步驟為：（1）取值；（2）作差比較；（3）定量；（4）判斷.解題時注意所設(shè)的在區(qū)間內(nèi)須具有任意性.若否定函數(shù)單調(diào)性時，只要取兩個特殊自變量說明不滿足即可.變式1：已知函數(shù)對任

18、意，滿足，當(dāng)時，求證：在R上是增函數(shù).分析 判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性利用定義法求解.解析 任取x1,x2R，設(shè)x1x2, x2- x10,因為x0,時，f(x)2,所以f( x2- x1) 2,由f(x)+ f(y)= f(x+y)+2,可得f(x+y)- f(x)= f(y)-2，設(shè)x+y=x2,x=x1,則y=x2-x1,所以f( x2)- f( x1)= f( x2- x1)-2.因為f( x2- x1) 2,所以 f( x2)- f( x1)= f( x2- x1)-20，所以f( x2) f( x1)，當(dāng)即x1x2, f( x2) f( x1)，所以f(x)在R上是增函數(shù).評注：判定抽象

19、函數(shù)的單調(diào)性時，常利用賦值法和定義法比較f( x2)和 f( x1)的大小變式2：定義在R上的函數(shù)，當(dāng)時，且對任意的，有.求證：；求證：對任意的，恒有；證明：是R上的增函數(shù)；若，求的取值范圍.解析 （1）令a=b=0,則f(0)= f(0)2,因為f(0)0，所以f(0)=1.（2）當(dāng)x0 時，f( x)10；當(dāng)x=0 時，f( 0)=10；當(dāng)x0 時，f( x) f(- x)= f( 0)=1，則f( x)= 【f(- x)】-10，故對任意的xR，恒有f( x)0.（3）令a0，則a+bb,f(a+b)- f(b)= f(a) fb)- f(b)= f(a)-1 fb),當(dāng)a0時，f( a

20、)1,且bR,恒有f(b)0.故f(a+b) f(b)，所以f(x)在R上是增函數(shù).（4）因為f(x). f(2x-x2)= f(3x-x2) 1= f( 0),所以3x-x2 0，所以0 x3,故x的取值范圍時（0,3）【例2.33】設(shè)是函數(shù)的一個減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（ ） 分析 作出函數(shù)的圖象，找出遞減區(qū)間，從而確定的取值范圍.解析 由得，知為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱.只要畫出當(dāng)時的圖象，然后作出其關(guān)于軸對稱的圖形即可得到部分的圖象，如圖所示.可知，若為函數(shù)的減區(qū)間，則.故選B.變式1：下列區(qū)間中，函數(shù)在其上為增函數(shù)的是（ ） 解析 用圖象法解決，將y=lnx的圖像關(guān)于y軸對稱得到y(tǒng)

21、=ln（-x），再向右平移兩個單位，得到y(tǒng)=ln（-（x-2）的圖像，將得到的圖像在x軸下方的部分翻折上來，即得到f(x)=|ln(2-x)|的圖像，由圖2-43知，選項中f(x)是增函數(shù)的顯然只有D.故選D.評注：要得到函數(shù)f(x)=|ln(2-x)|的圖像，也可先作函數(shù)y=ln(x+2)的圖像，將其關(guān)于y軸對稱得函數(shù)y=ln(-x+2)的圖像，在x軸下方的部分翻折上來，即得到f(x)=|ln(2-x)|的圖像.變式2：已知函數(shù)為常數(shù)）.若在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是_.解析 如圖2-44所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間【a,+)上單調(diào)遞增，因此【1,+) 【a,+)，故a的取值范圍是（-，1】

22、.變式3：定義在R上的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間上是減函數(shù)，則（ ）在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)分析 根據(jù)題意，作出函數(shù)f(x)的草圖，判斷函數(shù)的單調(diào)性即求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解析 由f(x)= f(2-x)可知f(x)的圖像關(guān)于x=1對稱，又因為f(x)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于x=0對稱，可得到f(x)為周期函數(shù)且最小正周期為2，結(jié)合f(x)在區(qū)間1,2是減函數(shù)，可得到如圖2-45所示的函數(shù)f(x)的草圖，觀察可知，f(x)在區(qū)間-2,-1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù).故選B.變式4：已

23、知是R上的減函數(shù)，那么的取值范圍是（ ） 分析 本題所給的函數(shù)為分段的形式，要滿足在R上的遞減不僅要滿足在每個子區(qū)間上遞減，而且要滿足在整個定義域上都遞減.解析 函數(shù)f(x)在R上遞減，故x1時，f(x)=(3a-1)x+4a單調(diào)遞減，因此3a-10，得a；當(dāng)x1時，f(x)=logax單調(diào)遞減，故0 a1.同時結(jié)合f(x)的圖像（如圖2-46所示），當(dāng)x=1時，（3a-1）+4aloga1,解得a1/7,綜上a的取值范圍是1/7, 1/3).故選C.評注：關(guān)于分段函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)注意：若，g(x)在a,b上是增函數(shù)，h(x)在c,d上是增函數(shù)，則f(x)在區(qū)間a,b c,d上不一定是增函數(shù)，若

24、使f(x)在區(qū)間a,b c,d上一定是增函數(shù)，需補(bǔ)充條件g(b)h(c).即有下面的重要結(jié)論：分段函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)分段函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)題型18 函數(shù)的周期性思路提示； ； .（3）.【例2.34】已知函數(shù)對任意實數(shù)都滿足，若，則_.解析 ，有，所以，故，所以.變式1：函數(shù)對任意實數(shù)都滿足，若，則_.解析 有所以f(x+4)=f(x),故T=4，f(5)=f(1)=-5,所以f(f(5)=f(-5)=f(-1)=1/f(1)=-1/5【例2.35】已知函數(shù)滿足，則_.解析 令，所以，又令，有，所以.【例2.36】已知函數(shù)是定義在實數(shù)集R上的不恒等于零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)都有，則的值是（ ）A.

25、0 B. C.1 D.分析 為偶函數(shù)，有，只能從或者時入手.解析 當(dāng)時，即時，得，故選A.評注 本題也可以從另外一方面解答，先構(gòu)造一個函數(shù)，當(dāng)時，.令，則.所以，令，得.因為，即.故.變式1：已知為非零常數(shù)，且，試判斷的周期性.解析 ,所以，即所以f(x+4a)=f(x),T=4|a|,故(x)為周期函數(shù)，且T=4|a|.題型19 函數(shù)性質(zhì)的綜合思路提示（1）奇偶性與單調(diào)性綜合解題，尤其要重視利用偶函數(shù)（或軸對稱函數(shù)）與單調(diào)性綜合解不等式和比較大小.（2）奇偶性、單調(diào)性、周期性綜合解題，尤其要注意對稱性與周期性之間的關(guān)系，周期是兩條對稱軸（或?qū)ΨQ中心）之間距離的2倍，是對稱中心與對稱軸之間距離

26、的4倍.如函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)中心對稱，可得.，所以，可得.如函數(shù)的圖象關(guān)于直線和直線軸對稱，可得.，所以，可得.如函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，且關(guān)于直線軸對稱，可得.，所以，故，.【2.37】定義在R上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，則當(dāng)時，有（ ） 分析 偶函數(shù)關(guān)于軸對稱，關(guān)于軸對稱的兩部分圖象單調(diào)性相反.解析 由，有可得時，單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以自變量絕對值越小，所對應(yīng)的的函數(shù)值越大.因為，所以，故選C.變式1：已知定義域為R的函數(shù)在區(qū)間上減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ） 解析 因為s(x+8)為周期函數(shù)，所以f(-x+8)=f(x+8),所以f(x)關(guān)于x=8對稱，又因x

27、(8,+ )時，f(x)為減函數(shù)，所以x(-，8)時，f(x)為增函數(shù)，所以|x-8|越小，f(x)越大，|6-8|7-8|f(6)|9-8|f(6)f(9)|7-8|=|9-8|f(7)=f(9) ;|7-8|f(10).故選D.變式2：已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍是（ ） 解析 偶函數(shù)f(x)在區(qū)間（- ，0）上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,+ ）上單調(diào)遞減，即|x|越小，f(x)越大，由f(2x-1)=f (|2x-1|)f(1/3)可得|2x-1|1/3，解得1/3x0所以f(msin) - f(1-m) =f(m-1),所以msin m-1，令t=sin0,1,構(gòu)

28、造函數(shù)g(t)=mt-m+1, t0,1,由函數(shù)g(t)在0,1上恒大于0，則-m+10,故m0時，得t1-t7,g(t1) g(-t7)=- g(t7),即g(t1) + g(t7)0，同理g(t2) + g(t6)0，g(t3) + g(t5)0，g(t4) 0，故t1+t70得g(t1) + g(t2) + g(t7)0.當(dāng)t1+t70得g(t1) + g(t2) + g(t7) f(-2) f(-1)，所以cba,故選B.變式2：已知定義在R上奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則（ ） 解析 由f(x-4)= -f(x)，可得T=8，所以f(80)=f(0), f(-25)=f(-1),

29、f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1),因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)且在0,2上單調(diào)遞增，所以f(x)在-2,2上單調(diào)遞增，所以f(1) f(0) f(-1),即f(-25) f(80) f(1),故選D.【例2.39】定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，且是以2為周期的周期函數(shù)，則=( ) 解析 因為的T=2，且是定義在R上的奇函數(shù)，所以，則，故選B.變式1：已知是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)時，則函數(shù)的圖象在區(qū)間上與軸的交點(diǎn)的個數(shù)為（ ）A.6 B.7 C.8 D.9解析 因為當(dāng)0 x2時，f(x)=x3-x=x(x2-1),又因為f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)=

30、0,所以f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,又因為f(1)=0,f(3)=0,f(5)=0,故函數(shù)y=f(x)的圖像在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)為7個，故選B.【例2.40】函數(shù)的定義域為D，若對任意的，當(dāng)時，都有，則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù)，設(shè)函數(shù)在上為非減函數(shù)，且滿足以下3個條件：；，則( ) 解析 ，也可得，由可得，所以.因為當(dāng)時都有，所以可由得，即，所以.故選A.變式1：定義在R上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，則_.分析 當(dāng)x1x2時，f(x1) f(x2),可知f(x)為非減函數(shù)，求這類函數(shù)值時用夾逼的方法解答.解析 由f(0)=0,f(x)=+f(1-x)=1,可得f()=,f(1

31、)=1-f(0)=1,f()=f(1)= ,當(dāng)x ,時，,所以同理又因為變式2：設(shè)是定義在R上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則在區(qū)間上的值域為_.解析 設(shè)x13,4,f(x1)=x1+g(x1) -2,5,因為g(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，所以當(dāng)x2=x1+14,5時，f(x2)=x1+1+g(x1+1)= x1+g(x1) +1-1,6, 當(dāng)x3=x2+15,6時，f(x3)=x1+2+g(x1+2)= x1+g(x1) +20,7；當(dāng)x7=x1+69,10時，f(x7)=x1+6+g(x1+6)= x1+g(x1) +64,11.同理當(dāng)x-10,-9時，f(x)=f(

32、x1-13)=x1-13+g(x1-13)= x1+g(x1) -13-15,-8,綜上，當(dāng)x-10,10時，函數(shù)f(x)的值域為-15,11.變式3：對于定義域為的連續(xù)函數(shù)，如果同時滿足以下3個條件：對任意的，總有；若，都有成立，則為理想函數(shù).若函數(shù)為理想函數(shù)，求的值域；判斷函數(shù)是否為理想函數(shù)，并予以證明；若函數(shù)為理想函數(shù)，假定存在，使得，且，求證：.解析 (1)由得f(1)f(1)+f(0) f(0) 0, 由得f(0) 0,所以f(0) =0，當(dāng)0 x0且t+x=1,由得f(1)f(x)+f(t),又因為f(x)為0,1上的連續(xù)函數(shù)，所以f(x) 1，所以0f(x)1，所以f(x)的值域

33、為0,1.(2) g()x=2x-1(x0,1)是理想函數(shù)，證明如下：x0,1時，12x2，所以2x-10，所以滿足；f(1)= 21-1=1,所以滿足；X10, x20,x1+x21時，g(x1+x2)-g(X1)-g(x2)=2x1+x2 -2x1-2x2+1=(2x1-1)(2x2-1) 0,所以g(x1+x2)-g(X1)-g(x2)0,即g(x1+x2) g(X1)+ -g(x2)，所以滿足.故函數(shù)g()x=2x-1(x0,1)是理想函數(shù).（3）證明：假設(shè)f(x0)=t,當(dāng)x0t時，f(f(x0)=f(t)=x0,因為x0t,函數(shù)f(x)在0,1上非減，所以f(x) f(t),即tx

34、0與x0t矛盾，故當(dāng)x0t時不成立，同理當(dāng)x0t時，也與已知矛盾.所以f(x0)= x0.最有效訓(xùn)練題6（限時45分鐘）已知函數(shù)，現(xiàn)使為減函數(shù)的區(qū)間是（ ） 已知函數(shù)，如果存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)，都有，則的值是（ ）A.0 B.2 C.3 D.5函數(shù)的圖象如圖所示，則下列哪個區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間（ ） 已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ） 函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時，則的值為（ ） 設(shè)，若，則( ) 設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)_.52(1)奇函數(shù)的定義域為，若當(dāng)時，的圖象如圖所示，則不等式的解集是_.(2)已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是_.9已知分

35、別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則_.10.已知函數(shù)的最大值為,最小值為，則的值為_.11.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)恒有.當(dāng)時, .（1）求證: 是周期函數(shù)；（2）當(dāng)時，求的解析式；（3）計算.12已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性；（3）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.最有效訓(xùn)練61.D 解析 由x2-2x-3 0得函數(shù)的定義域為（-，-1）（3，+），且二次函數(shù)t= x2-2x-3在（-，-1）上是減函數(shù)，在（3，+）上是增函數(shù)，而y=log2t是增函數(shù)，所以復(fù)合函數(shù)f(x)= log2(x2-2x-3)在（-，-1）上是減函數(shù).故選D.2.C 解析 由于f(x)=x2在-2,0上單調(diào)遞減，在0,3上單調(diào)遞增，故最小值點(diǎn)x1=0，最大值點(diǎn)x2=3，x1- x2=3.故選C.3.C 解析 令t=logax(0a1),則此函數(shù)為減函數(shù)，由圖2-6知y=f(t)在（-，0）和（，+）上都是減函數(shù)，在0, 上是增函數(shù)，當(dāng)t0, 時，x,1,所以，函數(shù)