2022新高考總復習《數(shù)學》(人教)第三章　一元函數(shù)的導數(shù)及其應用高考大題專項(一)　導數(shù)的綜合應用

1、高考總復習優(yōu)化設計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI高考大題專項(一)導數(shù)的綜合應用第三章2022內(nèi)容索引0102突破1利用導數(shù)研究與不等式有關的問題突破2利用導數(shù)研究與函數(shù)零點有關的問題必備知識預案自診關鍵能力學案突破必備知識預案自診關鍵能力學案突破【考情分析】 導數(shù)的綜合應用是高考考查的重點內(nèi)容,也是高考壓軸題之一,近幾年高考命題的趨勢是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活,縱觀近幾年的高考題,導數(shù)的綜合應用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應用能力,近兩年的難度有所降低,題目所在試卷的位置有所提前,不再固定在最后壓軸位置上,預計這一趨勢會保持下去.必備知識 預案自診【知識

2、梳理】 1.與ex,ln x有關的常用不等式的結論(1)由f(x)=ex圖象上任一點(m,f(m)的切線方程為y-em=em(x-m),得exem(x+1)-mem,當且僅當x=m時,等號成立.當m=0時,有ex1+x;當m=1時,有exex.(3)由(1),(2)得,若x(0,+),則exx+1x-1ln x.突破1利用導數(shù)研究與不等式有關的問題 2.證明含參數(shù)的函數(shù)不等式,其關鍵在于將所給的不等式進行“改造”,得到“一平一曲”,然后運用導數(shù)求出“曲”的最值,將其與“平”進行比較即可.3.函數(shù)不等式的類型與解法(1)xD,f(x)kf(x)maxk;xD,f(x)kf(x)mink;(2)x

3、D,f(x)g(x)f(x)maxg(x)min;xD,f(x)g(x)f(x)ming(x)max.4.含兩個未知數(shù)的不等式(函數(shù))問題的常見題型及具體轉化策略(1)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最大值.(2)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最小值.(3)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最小值.(4)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最大值.(5)x1a,b,當x

4、2c,d時,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域與g(x)在c,d上的值域交集非空.(6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.(7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.關鍵能力 學案突破考點1構造函數(shù)證明不等式(多考向探究)考向1“比較法”構造函數(shù)證明不等式【例1】 已知函數(shù)f(x)=ex-ax(e為自然對數(shù)的底數(shù),a為常數(shù))的圖象在點(0,1)處的切線斜率為-1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;(2)求證:當x0時,x2ex.(1)解f(x)=ex-a,f(0

5、)=-1=1-a,a=2.f(x)=ex-2x,f(x)=ex-2.令f(x)=0,解得x=ln 2.當xln 2時,f(x)ln 2時,f(x)0,函數(shù)f(x)單調遞增.當x=ln 2時,函數(shù)f(x)取得極小值為f(ln 2)=2-2ln 2,無極大值.(2)證明令g(x)=ex-x2,則g(x)=ex-2x,由(1)得:g(x)=f(x)f(ln 2)0,g(x)在R上單調遞增,因此,當x0時,g(x)g(0)=10,x2ex.解題心得在本題第(2)問中,發(fā)現(xiàn)“x2,ex”為基本初等函數(shù),故可選擇對要證明的“x2e2.由f(x1)=f(x2)=0,可得ln x1-kx1=0,ln x2-k

6、x2=0,兩式分別相加減,得ln x1+ln x2=k(x1+x2),ln x1-ln x2=k(x1-x2).要證x1x2e2,即證ln x1x22,只需證ln x1+ln x22,也就是證k(x1+x2)2,即證考向4“轉化法”構造函數(shù)證明不等式 解題心得利用不等式的性質,將“ ”等價轉化為“f(b)-bln 2-1且x0時,exx2-2ax+1.(2)已知三次函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)=-3x2+3且f(0)=-1,g(x)=xln x+ (a1).求f(x)的極值;求證:對任意x1,x2(0,+),都有f(x1)g(x2).(3)(2020安徽池州模擬)已知函數(shù)f(x)=ax-axl

7、n x+1(aR,a0).討論函數(shù)f(x)的單調性;證明:當a=-2時,f(x)x2-3x+ +2ln x.(1)解由f(x)=ex-2x+2a(xR),知f(x)=ex-2.令f(x)=0,得x=ln 2.當xln 2時,f(x)ln 2時,f(x)0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(ln 2,+)上單調遞增.所以f(x)的單調遞減區(qū)間是(-,ln 2),單調遞增區(qū)間是(ln 2,+),f(x)在x=ln 2處取得極小值f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2-2ln 2+2a,無極大值.證明要證當aln 2-1且x0時,exx2-2ax+1,即證當aln 2-1且x0時,ex-x2+2ax-

8、10.設g(x)=ex-x2+2ax-1(x0).則g(x)=ex-2x+2a,由(1)知g(x)min=g(ln 2)=2-2ln 2+2a.又aln 2-1,則g(x)min0.于是對xR,都有g(x)0,所以g(x)在R上單調遞增.于是對x0,都有g(x)g(0)=0.即ex-x2+2ax-10,故exx2-2ax+1.(2)解依題意得f(x)=-x3+3x-1,f(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),知f(x)在(-,-1)和(1,+)上單調遞減,在(-1,1)上單調遞增,所以f(x)極小值=f(-1)=-3,f(x)極大值=f(1)=1.證明易得當x0時,f(x)最大值=1

9、,注意到h(1)=0,當x1時,h(x)0;當0 x1時,h(x)1時,h(x)0;當0 x1時,h(x)0.若a0,則當x(0,1)時,f(x)0;當x(1,+)時,f(x)0.若a0,則當x(0,1)時,f(x)0.綜上,當a0時,f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+)上單調遞減;當a1時,g(x)0,g(x)在1,+)上單調遞增,所以g(x)的最小值為g(1)=1,則a1.故a的取值范圍是(-,1.解題心得分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題的思路與關鍵(1)分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題的思路用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題是指在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)的正負的情況下,可以根據(jù)不等式

10、的性質將參數(shù)分離出來,得到一個一端是參數(shù),另一端是變量表達式的不等式,只要研究變量表達式的最值就可以解決問題.(2)求解含參不等式恒成立問題的關鍵是過好“雙關”轉化關通過分離參數(shù)法,先轉化為f(a)g(x)(或f(a)g(x)對xD恒成立,再轉化為f(a)g(x)max(或f(a)g(x)min)求最值關求函數(shù)g(x)在區(qū)間D上的最大值(或最小值)問題考向2最值定位法解決雙參不等式恒成立問題 解題心得不等式能成立問題的解題關鍵點 考向3不等式能成立求參數(shù)的取值范圍【例7】 (2020廣東汕頭一模)已知函數(shù)f(x)=x-aln x,g(x)=- (aR).若在1,e上存在一點x0,使得f(x0)

11、g(x0)成立,求a的取值范圍.令h(x)=0,得x=a+1.當a+11,即a0時,h(x)0,h(x)單調遞增,h(x)min=h(1)=a+20,得a-2;當1a+1e,即0a2,與h(x)0,f(x) (a2-1)成立,求實數(shù)a的取值范圍.(2)(2020湖南百所重點名校大聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=-aln x+x+ .討論函數(shù)f(x)的單調性;設g(x)=ex+mx2-2e2-3,當a=e2+1時,對任意x11,+),存在x21,+),使g(x2)f(x1),求實數(shù)m的取值范圍.(3)(2020安徽江南十校聯(lián)考)已知a為實數(shù),函數(shù)f(x)=aln x+x2-4x.若x=3是函數(shù)f(x)的

12、一個極值點,求實數(shù)a的值;設g(x)=(a-2)x,若存在x0 ,使得f(x0)g(x0)成立,求實數(shù)a的取值范圍.(1)解f(x)的定義域為(0,+),f(x)= -1.當a0時,在(0,+)上,f(x)0時,令f(x)=0,得x=a,在(0,a)上,f(x)0,f(x)單調遞增;在(a,+)上,f(x)0時,f(x)有極大值f(a)=aln a-a+1,無極小值.令f(x)=0,得x=1或x=a-1.當a1時,a-10,由f(x)0得0 x0得x1,所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+)上單調遞增.當1a2時,0a-11,由f(x)0得a-1x0得0 x1,所以函數(shù)f(x)在

13、(a-1,1)上單調遞減,在(0,a-1)和(1,+)上單調遞增.當a=2時,a-1=1,可得f(x)0,此時函數(shù)f(x)在(0,+)上單調遞增.當a2時,a-11,由f(x)0得1x0得0 xa-1,所以函數(shù)f(x)在(1,a-1)上單調遞減,在(0,1)和(a-1,+)上單調遞增.當a=e2+1時,由得函數(shù)f(x)在(1,e2)上單調遞減,在(0,1)和(e2,+)上單調遞增,從而f(x)在1,+)上的最小值為f(e2)=-e2-3.對任意x11,+),存在x21,+),使g(x2)f(x1),即存在x21,+),使g(x2)的函數(shù)值不超過f(x)在區(qū)間1,+)上的最小值-e2-3.當x1

14、,2時,顯然有exx+2(e2-ex)0,p(x)exx-2ex0,p(x)0時,討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù).解 (1)略.(2)函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x)=ex+(x-1)ex-kx=xex-kx=x(ex-k),當00,解得x0.f(x)在(-,ln k)和(0,+)上單調遞增,在ln k,0上單調遞減.由f(0)=-1,當x(-,0)時,此時f(x)無零點,當x0,+)時,f(2)=e2-2ke2-20.又f(x)在0,+)上單調遞增,f(x)在0,+)上有唯一的零點,函數(shù)f(x)在定義域(-,+)上有唯一的零點.當k1時,令f(x)0,解得xln k,f(x)在(-,0)和(l

15、n k,+)上單調遞增,在0,ln k上單調遞減.當x(-,ln k)時,f(x)f(x)max=f(0)=-12,g(t)0,g(t)在(2,+)上單調遞增,g(t)g(2)=e2-20,g(t)在(2,+)上單調遞增,得g(t)g(2)=e2-20,即f(k+1)0.f(x)在ln k,+上有唯一的零點,故函數(shù)f(x)在定義域(-,+)上有唯一的零點.綜合可知,當k0時,函數(shù)f(x)在定義域(-,+)上有且只有一個零點.解題心得有關函數(shù)的零點問題的解決方法主要是借助數(shù)形結合思想,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值,利用函數(shù)的單調性模擬函數(shù)的圖象,根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)的要求,控制極值點函數(shù)值的正負

16、,從而解不等式求出參數(shù)的取值范圍.(1)當m=-1時,求函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)的零點個數(shù);(2)若x01,+),使得f(x0)g(x0),求實數(shù)m的取值范圍.考點2與函數(shù)零點有關的證明問題【例2】 (2019全國1,理20)已知函數(shù)f(x)=sin x-ln(1+x),f(x)為f(x)的導數(shù).證明:(2)f(x)有且僅有2個零點.(2)f(x)的定義域為(-1,+).當x(-1,0時,由(1)知,f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調遞增,而f(0)=0,所以當x(-1,0)時,f(x)1,所以f(x)0,從而f(x)在區(qū)間(,+)上沒有零點.綜上,f(x)有且僅有2個零點.解題心得1.

17、如果函數(shù)中沒有參數(shù),一階導數(shù)求出函數(shù)的極值點,判斷極值點大于0小于0的情況,進而判斷函數(shù)零點的個數(shù).2.如果函數(shù)中含有參數(shù),往往一階導數(shù)的正負不好判斷,這時先對參數(shù)進行分類,再判斷導數(shù)的符號,如果分類也不好判斷,那么需要對一階導函數(shù)進行求導,在判斷二階導數(shù)的正負時,也可能需要分類.對點訓練2(2020安徽合肥二模,文21)已知函數(shù)f(x)=exsin x.(e是自然對數(shù)的底數(shù))(1)求f(x)的單調遞減區(qū)間;(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-2x,證明g(x)在(0,)上只有兩個零點.(參考數(shù)據(jù):考點3已知函數(shù)零點情況求參數(shù)的取值范圍【例3】 已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1

18、)討論f(x)的單調性;(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.所以h(x)在R上單調遞增,而h(0)=0,所以當x0時,h(x)0時,h(x)0,于是當x0,當x0時,g(x)0,所以g(x)在(-,0)上單調遞增,在(0,+)上單調遞減.g(0)=1,當x-時,g(x)-,當x+時,g(x)0+.函數(shù)g(x)的簡圖如圖所示.若f(x)有兩個零點,則y=a與g(x)有兩個交點,所以a的取值范圍是(0,1).解題心得對函數(shù)的零點問題,解題策略是轉化為兩個函數(shù)圖象的交點,三種方式中(一平一曲、一斜一曲、兩曲)最為常見的是一平一曲.方法一是直接考慮函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點情況,方法二是分

19、離參數(shù)法,兩種方法的本質都是一平一曲.另外我們對某些函數(shù)或許可以通過換元,降低函數(shù)的解決難度.對點訓練3(2020全國1,文20)已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).(1)當a=1時,討論f(x)的單調性;(2)若f(x)有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.解 (1)當a=1時,f(x)=ex-x-2,則f(x)=ex-1.當x0時,f(x)0時,f(x)0.所以f(x)在(-,0)上單調遞減,在(0,+)上單調遞增.(2)f(x)=ex-a.當a0時,f(x)0,所以f(x)在(-,+)上單調遞增,故f(x)至多存在1個零點,不合題意.當a0時,由f(x)=0可得x=ln a.當x(-,ln

20、a)時,f(x)0.所以f(x)在(-,ln a)上單調遞減,在(ln a,+)上單調遞增,故當x=ln a時,f(x)取得最小值,最小值為f(ln a)=-a(1+ln a).考點4利用導數(shù)解決存在性問題【例4】 (2019全國3,理20)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+b.(1)討論f(x)的單調性.(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間0,1的最小值為-1且最大值為1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說明理由.(2)滿足題設條件的a,b存在.當a0時,由(1)知,f(x)在0,1上單調遞增,所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)=b,最大值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設條件當且僅當b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.當a3時,由(1)知,f(x)在0,1上單調遞減,所以f(x)在區(qū)間0,1上的最大值為f(0)=b,最小值為f(1)=2-a+b.此時a,b滿足題設條件當且僅當2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.