2022新高考總復(fù)習(xí)《數(shù)學(xué)》(人教)第八章　平面解析幾何高考大題專項(五)　圓錐曲線的綜合問題

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI高考大題專項(五)圓錐曲線的綜合問題第八章2022【考情分析】 突破1圓錐曲線中的最大(小)值、范圍問題題型一最大(小)值問題突破策略一建立目標(biāo)函數(shù)求最大(小)值(1)求直線AP的斜率的取值范圍;(2)求|PA|PQ|的最大值.所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,則f(k)=-(4k-2)(k+1)2.解題心得在圓錐曲線中求范圍或最大(小)值問題,當(dāng)題目給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯時,一般先建立目標(biāo)函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最大(小)值,再求出這個函數(shù)的

2、值域或最大(小)值.常用的方法有:(1)配方法;(2)基本不等式法;(3)單調(diào)性法;(4)三角換元法;(5)導(dǎo)數(shù)法等.要特別注意自變量的取值范圍.對點訓(xùn)練1(2019全國2,理21)已知點A(-2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為- .記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程,并說明C是什么曲線.(2)過坐標(biāo)原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PEx軸,垂足為E,連接QE并延長交C于點G.證明:PQG是直角三角形;求PQG面積的最大值.突破策略二構(gòu)造基本不等式求最大(小)值【例2】 已知橢圓M: (a0)的一個焦點為F(-1,0),左、右頂點分別為A,B.

3、經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C,D兩點.(1)當(dāng)直線l的傾斜角為45時,求線段CD的長;(2)記ABD與ABC的面積分別為S1和S2,求|S1-S2|的最大值.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線方程為x=-1,此時ABD與ABC面積相等,|S1-S2|=0;當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線方程為y=k(x+1)(k0),解題心得解決圓錐曲線中有關(guān)平面幾何圖形面積的最值問題,先通過某一變量表示出圖形的面積的函數(shù)表達(dá)式,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大(小)值問題,再利用基本不等式、函數(shù)的值域求解最大(小)值,注意基本不等式應(yīng)用條件及等號成立的條件.對點訓(xùn)練2已知直線l1:ax-y+1=0,直線l2:x+5ay+5a

4、=0,直線l1與l2的交點為M,點M的軌跡為曲線C.(1)當(dāng)a變化時,求曲線C的方程;(2)已知點D(2,0),過點E(-2,0)的直線l與曲線C交于A,B兩點,求ABD面積的最大值.題型二范圍問題突破策略一條件轉(zhuǎn)化法解題心得求某一量的取值范圍,引入新的參數(shù),根據(jù)已知條件,得出參數(shù)的取值范圍,并用參數(shù)表示出所求量,進(jìn)而求出所求量的取值范圍.突破策略二構(gòu)造函數(shù)法【例4】 (2020山東高考預(yù)測卷)已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點為F,點M(a,2 )在拋物線C上.(1)若|MF|=6,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線x+y=t與拋物線C交于A,B兩點,點N的坐標(biāo)為(1,0),且滿足NAN

5、B,原點O到直線AB的距離不小于 ,求p的取值范圍.整理得x2-(2t+2p)x+t2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=2t+2p,x1x2=t2.因為NANB,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,又y1=t-x1,y2=t-x2,所以2x1x2-(1+t)(x1+x2)+t2+1=0,解題心得解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)

6、的取值范圍.(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.突破2定點、定值問題題型一圓錐曲線中的定點問題突破策略一直接法(1)求直線AP的斜率的取值范圍;(2)求|PA|PQ|的最大值.所以|PA|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,則f(k)=-(4k-2)(k+1)2.解題心得直接推理法求解圓錐曲線中定點問題的實質(zhì)及求解步驟解析幾何中的定點問題的實質(zhì)是:當(dāng)動直線或動圓變化時,這些直線或圓相交于一點,即這些直線或圓繞著定點在轉(zhuǎn)動.這類問題的求解一般可分

7、為以下三步:對點訓(xùn)練1(2020湖北武漢模擬)過拋物線C:y2=4x的焦點F且斜率為k的直線l交拋物線C于A,B兩點.(1)若|AB|=8,求直線l的方程;(2)若點A關(guān)于x軸的對稱點為D,證明直線BD過定點,并求出該點的坐標(biāo).突破策略二逆推法解題心得由特殊到一般法求定點問題的方法由特殊到一般法求解定點問題時,常根據(jù)動點或動直線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關(guān).對點訓(xùn)練2已知拋物線C的方程y2=2px(p0),焦點為F, 點P在拋物線C上,且點P到點F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1.(1)試求出拋物線C的方程;(2)若拋物線C上存在兩動點M,N(M,N在對稱軸兩側(cè)),滿足OMON(O為

8、坐標(biāo)原點),過點F作直線交拋物線C于A,B兩點,若ABMN,則線段MN上是否存在定點E,使得 恒成立?若存在,請求出E的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.(4,0),經(jīng)檢驗,此點滿足y2 .解題心得 對于證明問題,一般是根據(jù)已知條件,運用所涉及的知識通過運算化簡,利用定義、定理、公理等,直接推導(dǎo)出所證明的結(jié)論即可,證明不等式常用不等式的性質(zhì),或基本不等式求得最值.本題易錯點是忽略對于取等號時條件能否成立的驗證.突破策略二轉(zhuǎn)化法【例2】 (2018全國1,理19)設(shè)橢圓C: +y2=1的右焦點為F,過F的直線l與C交于A,B兩點,點M的坐標(biāo)為(2,0).(1)當(dāng)l與x軸垂直時,求直線AM的方程;(2)

9、設(shè)O為坐標(biāo)原點,證明:OMA=OMB.解題心得幾何證明問題的解題策略(1)圓錐曲線中的證明問題,主要有兩類:一是證明點、直線、曲線等幾何元素間的位置關(guān)系,如:某點在某直線上、某直線經(jīng)過某個點、某兩條直線平行或垂直等;二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等).(2)解決證明問題時,主要根據(jù)直線、圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等,通過相關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算等進(jìn)行證明.題型二圓錐曲線中的探索性問題突破策略一肯定順推法【例3】已知F為拋物線C:y2=2px(p0)的焦點,過點F的動直線交拋物線C于A,B兩點,當(dāng)直線與x軸垂直時,|AB|=4.(1)求拋

10、物線C的方程;(2)設(shè)直線AB的斜率為1且與拋物線C的準(zhǔn)線l相交于點M,拋物線C上存在點P使得直線PA,PM,PB的斜率成等差數(shù)列,求點P的坐標(biāo).解題心得 存在性問題通常用“肯定順推法”,將不確定性問題明朗化,其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在,用待定系數(shù)法設(shè)出,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(組),若方程(組)有實數(shù)解,則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在;否則,元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)在x軸上是否存在一點T,使得當(dāng)直線l變化時,總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱?若存在,請求出點T的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.(2)存在.當(dāng)直線l垂直于

11、x軸時,顯然x軸上任意一點T都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱.當(dāng)直線l不垂直于x軸時,假設(shè)存在T(t,0)滿足條件,設(shè)l的方程為y=k(x-1),R(x1,y1),S(x2,y2).突破策略二探究轉(zhuǎn)化法【例4】(2019全國2,文20)已知F1,F2是橢圓C: (ab0)的兩個焦點,P為C上的點,O為坐標(biāo)原點.(1)若POF2為等邊三角形,求C的離心率;(2)如果存在點P,使得PF1PF2,且F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.解題心得 轉(zhuǎn)化探究方向,是指將所探究的問題轉(zhuǎn)化為其他明確的問題,使所探究的問題更加具體,易求.對于范圍最值的探究,一般轉(zhuǎn)化為對函數(shù)性質(zhì)的研究,或?qū)Σ坏?/p>

12、式的研究問題.(2)對于橢圓上兩點P,Q,PCQ的平分線總是垂直于x軸,PC與CQ所在直線關(guān)于x=1對稱,設(shè)kPC=k(k0,且k1),則kCQ=-k,C(1,1),PC的直線方程為y=k(x-1)+1,QC的直線方程為y=-k(x-1)+1,突破策略三利用假設(shè)法 (1)求橢圓C的方程;(2)若A,B為橢圓的左、右頂點,P(x0,y0)(y00)為橢圓上一動點,設(shè)直線AP,BP分別交直線l:x=6于點M,N,判斷以線段MN為直徑的圓是否恒過定點,若恒過定點,求出該定點坐標(biāo);若不恒過定點,說明理由.解題心得1.利用假設(shè)法一般地先假設(shè)定點存在,并設(shè)出定點坐標(biāo),再把其作為已知條件,求解定點坐標(biāo).2.探索直線過定點時,可設(shè)直線方程為y=kx+b,然后利用條件建立關(guān)于k,b的等量關(guān)系,再借助于直線系的思想找出定點.3.從特殊情況入手,先探求定點,再證明與變量無關(guān).對點訓(xùn)練5已知圓O:x2+y2=4,點F(1,0),P為平面內(nèi)一動點,以線段FP為直徑的圓內(nèi)切于圓O,設(shè)動點P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)M,N為曲線C上的動點,且直線MN經(jīng)過定點 ,問在y軸上是否存在定點Q,使得MQO=NQO,若存在,請求出定點Q,若不存在,請說明理由.解(1)設(shè)PF的中點為S,切點為T,連接OS,ST,則|OS|+|SF|=|OT|=2,取F關(guān)于y軸的對稱點F,連接FP,所以