高考一輪復(fù)習(xí)通用版離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差 學(xué)案

1、第六節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差最新考綱1理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性2理解超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用3理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題考向預(yù)測(cè)考情分析：離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差是高考的熱點(diǎn)，考題主要以解答題的形式呈現(xiàn)，解題時(shí)要熟悉相關(guān)公式的應(yīng)用學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)均值與方差的計(jì)算及應(yīng)用考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)分析的核心素養(yǎng)積 累 必備知識(shí)基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開(kāi)端一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)1離散型隨機(jī)變量分布列(1)定義：若離散型隨機(jī)變量X可能

2、取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1，2，n)的概率P(Xxi)pi，則表Xx1x2xixnPp1p2pipn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列，有時(shí)也用等式_表示X的分布列(2)性質(zhì)pi0(i1，2，n)；i=1npi1.提醒分布列的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機(jī)變量X所有可能取得的值，第二行是對(duì)應(yīng)于隨機(jī)變量X的值的事件發(fā)生的概率2離散型隨機(jī)變量X的均值與方差均值(數(shù)學(xué)期望)方差計(jì)算公式E(X)_D(X)_作用反映了離散型隨機(jī)變量取值的_刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的_標(biāo)準(zhǔn)差方差的_為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差3.常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布若隨機(jī)變量

3、X服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為X01P_其中p_稱為成功概率(2)超幾何分布定義：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件Xk發(fā)生的概率為P(Xk)CMkCN-Mn-k CnN，k0，1，2，m，其中m_，且_，稱分布列為超幾何分布列X01mP_均值：若X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則E(X)nMN.二、必明1個(gè)常用結(jié)論若YaXb，其中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則(1)E(k)k，D(k)0，其中k為常數(shù)(2)E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)(3)E(X1X2)E(X1)E(X2)(4)D(X)E(X2)(E(X)2.三、必練4類基礎(chǔ)題(一)判斷正

4、誤1判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與隨機(jī)變量是一種映射關(guān)系，即每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都有唯一的隨機(jī)變量的值與之對(duì)應(yīng)()(2)離散型隨機(jī)變量的分布列中，各個(gè)概率之和可以小于1.()(3)離散型隨機(jī)變量的所有取值有時(shí)無(wú)法一一列出()(4)如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出，X25P0.30.7則它服從兩點(diǎn)分布()(5)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布()(二)教材改編2選修23P68習(xí)題A組T1改編已知X的分布列為X101P121316設(shè)Y2X3，則E(Y)的值為()A.73B4C1D13選修23P68練習(xí)T2改編若隨機(jī)變量X滿足P(X

5、c)1，其中c為常數(shù)，則D(X)的值為_(kāi)(三)易錯(cuò)易混4(均值與方差的性質(zhì)不熟)已知兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y滿足X2Y4，且XN(1，22)，則E(Y)_，D(Y)_5(類型不清致誤)在一次招聘中，主考官要求應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，并獨(dú)立完成所抽取的3道題乙能正確完成每道題的概率為23，且每道題完成與否互不影響記乙能答對(duì)的題數(shù)為Y，則Y的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)(四)走進(jìn)高考62021浙江卷袋中有4個(gè)紅球，m個(gè)黃球，n個(gè)綠球現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為.若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為16，一紅一黃的概率為13，則mn_，E()_提 升 關(guān)鍵能力考點(diǎn)突破掌握類題通法考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的分

6、布列的性質(zhì)及應(yīng)用基礎(chǔ)性1若隨機(jī)變量X的概率分布列為X210123P0.10.20.20.30.10.1則當(dāng)P(Xa)0.8時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，2 B1，2C(1，2 D(1，2)2設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：X101P1212qq2則q等于()A1B122C122D1223離散型隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(Xn)ann+1(n1，2，3，4)，其中a是常數(shù)，則P12X52的值為_(kāi).反思感悟離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用 (1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；(2)利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件

7、的概率；(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列基礎(chǔ)性 例12022貴州貴陽(yáng)四校聯(lián)考某汽車(chē)美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動(dòng)：對(duì)首次消費(fèi)的顧客，按200元/次收費(fèi)，并注冊(cè)成為會(huì)員，對(duì)會(huì)員逐次消費(fèi)給予相應(yīng)優(yōu)惠，標(biāo)準(zhǔn)如表所示消費(fèi)次第第1次第2次第3次第4次5次收費(fèi)比率10.950.900.850.80該公司注冊(cè)的會(huì)員中沒(méi)有消費(fèi)超過(guò)5次的，從注冊(cè)的會(huì)員中，隨機(jī)抽取了100位進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示消費(fèi)次數(shù)12345人數(shù)60201055假設(shè)汽車(chē)美容1次，公司成本為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題(1)某會(huì)員僅消費(fèi)2次，求這2次消費(fèi)中，公司獲得的平均利潤(rùn)；(2)

8、以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，設(shè)該公司為1位會(huì)員服務(wù)的平均利潤(rùn)為X元，求X的分布列聽(tīng)課筆記：反思感悟求離散型隨機(jī)變量X的分布列的步驟 提醒求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機(jī)變量所有取值對(duì)應(yīng)的概率，在求解時(shí)，注意計(jì)數(shù)原理、排列組合等知識(shí)的應(yīng)用或利用概率和為1從反面入手對(duì)于抽樣問(wèn)題，要特別注意放回與不放回的區(qū)別，一般地，不放回抽樣由組合數(shù)公式求隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率，放回抽樣由分步乘法計(jì)數(shù)原理求隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】2022河南檢測(cè)某班為了活躍元旦晚會(huì)的氣氛，主持人請(qǐng)12位同學(xué)做一個(gè)游戲，第一輪中，主持人將標(biāo)有數(shù)字1到12的十二張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中，每人依次從中取出

9、一張卡片，取到標(biāo)有數(shù)字7到12的卡片的同學(xué)留下，其余的淘汰；第二輪將標(biāo)有數(shù)字1到6的六張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標(biāo)有數(shù)字4到6的卡片的同學(xué)留下，其余的淘汰；第三輪將標(biāo)有數(shù)字1，2，3的三張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標(biāo)有數(shù)字2，3的卡片的同學(xué)留下，其余的淘汰；第四輪用同樣的辦法淘汰一位同學(xué)，最后留下的這位同學(xué)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品已知同學(xué)甲參加了該游戲(1)求甲獲得獎(jiǎng)品的概率；(2)設(shè)X為甲參加游戲的輪數(shù)，求X的分布列考點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量的期望與方差綜合性、應(yīng)用性 例2為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開(kāi)展滑雪促

10、銷活動(dòng)，該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)甲、乙兩人(彼此相互獨(dú)立)來(lái)該滑雪場(chǎng)滑雪，設(shè)甲、乙兩人不超過(guò)1小時(shí)離開(kāi)的概率分別為14，16；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開(kāi)的概率分別為12，23；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí)(1)求甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與均值E()，方差D()聽(tīng)課筆記：反思感悟期望與方差的一般計(jì)算步驟(1)理解X的意義，寫(xiě)出X的所有可能取的值；(2)求X取各個(gè)值的概率，寫(xiě)出分布列；(3)根據(jù)分布列，正確運(yùn)用期望與方差的定義或公式進(jìn)

11、行計(jì)算提醒求出分布列后，注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列是否正確【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】2021八省市新高考適應(yīng)性考試一臺(tái)設(shè)備由三個(gè)部件構(gòu)成，假設(shè)在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1，2，3需要調(diào)整的概率分別為0.1，0.2，0.3，各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立(1)求設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1，2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率；(2)記設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望考點(diǎn)四兩點(diǎn)分布和超幾何分布及應(yīng)用綜合性、應(yīng)用性 例3在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品(1)若從10件產(chǎn)品中任意抽取1件，求抽到一等品件數(shù)的分布列；(2)若從這10件產(chǎn)品中隨機(jī)連續(xù)抽取3次，每次抽取1件每次抽

12、取后都不放回，設(shè)取到一等品的件數(shù)為X，求：X的分布列；抽到的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率聽(tīng)課筆記：一題多變 (變問(wèn)題)若例3條件不變，從這10件產(chǎn)品中隨機(jī)連續(xù)抽取3次，每次抽取1件每次抽取后都放回，設(shè)取到一等品的件數(shù)為，求的分布列反思感悟1超幾何分布的關(guān)注點(diǎn)(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)，其實(shí)質(zhì)是古典概型(2)超幾何分布的特征是：考察對(duì)象分兩類；已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)的分布列2超幾何分布與二項(xiàng)分布關(guān)系：共同點(diǎn)：每次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果：成功或失敗當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布不同點(diǎn)：超幾何分布是

13、不放回抽取，二項(xiàng)分布是放回抽取；超幾何分布需要知道總體的容量，二項(xiàng)分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的

14、分布列第六節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差積累必備知識(shí)一、1(1)P(Xxi)pi，i1，2，n2x1p1x2p2xipixnpni=1n (xiE(X)2pi平均水平平均偏離程度算術(shù)平方根DX3(1)1ppP(X1)(2)minM，nnN，MN，n，M，NN*CM0CN-Mn-0 CNn CM1CN-Mn-1 CNn CMmCN-Mn-m CNn 三、1答案：(1)(2)(3)(4)(5)2解析：E(X)11201311613，則E(X)2E(X)332373.答案：A3解析：因?yàn)镻(Xc)1，所以E(X)c1c，D(X)(cc)210.答案：04解析：由XN(1，22)得：E(X)1

15、，D(X)4，又X2Y4，所以Y2X2，所以E(Y)212E(X)32，D(Y)14D(X)1.答案：3215解析：由題意，YB(3，23)，Y的所有可能值為0，1，2，3，則E(Y)3232，即Y的數(shù)學(xué)期望為2.答案：26解析：由題意得P(2)C42 Cm+n+42 6Cm+n+42 16，所以Cm+n+4236，所以mn49.因?yàn)镻(一紅一黃)C41Cm1 Cm+n+42 4m36m913，所以m3，所以n2，所以mn1.所以P(2)16，P(1)C41C51 C92 453659，P(0)C52 C92 518.所以E()162591518013+5989.答案：189提升關(guān)鍵能力考點(diǎn)一

16、1解析：因?yàn)镻(X2)P(X1)P(X0)P(X1)0.8，P(X2)P(X1)P(X0)P(X1)P(X2)0.9，所以P(Xa)0.8時(shí)，1a2.答案：C2解析：由題意可得1212qq21，可得2q24q10，解得q122，q122(舍去)答案：C3解析：由112+123+134+145a1，知45a1，得a54.故P12X52P(X1)P(X2)1254+165456.答案：56考點(diǎn)二例1解析：(1)因?yàn)榈?次消費(fèi)200元，利潤(rùn)為50元，第2次消費(fèi)190元，利潤(rùn)為40元所以2次消費(fèi)的平均利潤(rùn)為45元 (2)若該會(huì)員消費(fèi)1次，則X50，P(X50)0.6；若該會(huì)員消費(fèi)2次，則X50+402

17、40，P(X45)0.2；若該會(huì)員消費(fèi)3次，則X50+40+30340，P(X40)0.1；若該會(huì)員消費(fèi)4次，則X50+40+30+20435，P(X35)0.05；若該會(huì)員消費(fèi)5次，則X50+40+30+20+10530，P(X30)0.05.故X的分布列為X5045403530P0.60.20.10.050.05對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練解析：(1)設(shè)“甲獲得獎(jiǎng)品”為事件A，在每輪游戲中，甲留下的概率與他摸卡片的順序無(wú)關(guān)，則P(A)612362312112.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，4，則P(X1)61212，P(X2)6123614，P(X3)6123613112，P(X4)612362

18、316.所以隨機(jī)變量X的分布列為X1234P121411216考點(diǎn)三例2解析：(1)兩人所付費(fèi)用相同，可能為0元，40元，80元甲、乙兩人2小時(shí)以上且不超過(guò)3小時(shí)離開(kāi)的概率分別為(114-12)14，(116-23)16.兩人都付0元的概率P11416124，兩個(gè)都付40元的概率為P2122313，兩人都付80元的概率為P31416124，則兩人所付的費(fèi)用相同的概率為PP1P2P3124+13+124512. (2)設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為，的可能取值為0，40，80，120，160，則P(0)1416124，P(40)1423+121614，P(80)1416+1223+1416512，P(1

19、20)1216+142314，P(160)1416124，所以的分布列為04080120160P1241451214124E()01244014805121201416012480.D()(080)2124(4080)214(8080)2512(12080)214(16080)212440003.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練解析：(1)設(shè)部件1，2，3需要調(diào)整分別為事件A，B，C.則P(A)0.1，P(B)0.2，P(C)0.3且A，B，C彼此相互獨(dú)立，記部件1，2都不需要調(diào)整為事件D，則P(D)P(A B)P(A)P(B)(10.1)(10.2)0.72.故部件1，2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率為P1P(D)10

20、.720.28. (2)依題意X0，1，2，3.則P(X0)P(A B C)P(A)P(B)P(C)0.90.80.70.504，P(X1)P(A B C)P(A B C)P(A B C)0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.398.P(X3)P(ABC)0.10.20.30.006.P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)0.092.故X的分布列為X0123P0.5040.3980.0920.006E(X)00.50410.39820.09230.0060.6.考點(diǎn)四例3解析：(1)抽取一次，只有抽到一等品和抽不到一等品兩種情況，故的取值只有0和1兩種情況，服從兩點(diǎn)分布P(1)310，則P(0)1P(1)1310710.因此的分布列為01P710310(2)若每次抽取后都不放回，則隨機(jī)抽取3次可看成隨機(jī)抽取1次但1次抽取了3件，因此一等品件數(shù)X服從超幾何分布，所以從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率為P(Xm)C3mC73-m C103 ，m0，1，2，3.所以隨機(jī)變量X的分布列是X012