專(zhuān)訓(xùn)1用二次函數(shù)解決問(wèn)題的四種類(lèi)型

1、專(zhuān)訓(xùn)1用二次函數(shù)解決問(wèn)題的四種類(lèi)型名師點(diǎn)金：利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，巧妙地運(yùn)用二次函數(shù)解 析式實(shí)行建模，從而達(dá)到應(yīng)用二次函數(shù)的某些性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題的目的.二實(shí).矍工建立平面直角坐標(biāo)系解決實(shí)際問(wèn)題題型1拱橋（隧道）問(wèn)題A和Ai、點(diǎn)B1 .如圖是某地區(qū)一條公路上隧道入口在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，點(diǎn) 和Bi分別關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).隧道拱部分 BCBi為一段拋物線，最高點(diǎn) C離路面AAi的距離為8 m,點(diǎn)B離路面AAi的距離為6 m,隧道寬 AAi為16 m.（1）求隧道拱部分 BCBi對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.（2）現(xiàn)有一大型貨車(chē)，裝載某大型設(shè)備后，寬為 4 m,裝載設(shè)備的頂部離路面均為7 m

2、,問(wèn)：它能否安全通過(guò)這個(gè)隧道？并說(shuō)明理由.題型2建筑物問(wèn)題2.某公園草坪的防護(hù)欄由100段形狀相同的拋物線組成，為了牢固，每段防護(hù)欄需要間距0.4 m加設(shè)一根不銹鋼的支柱，防護(hù)欄的最高點(diǎn)到底部距離為0.5 m（如圖），則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長(zhǎng)度為（）（第2題）50 m100 m160 m200 m題型3物體運(yùn)動(dòng)類(lèi)問(wèn)題.如圖，在水平地面點(diǎn) A處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球飛行路線是一條拋 物線，在地面上的落點(diǎn)為B.有人在直線AB上點(diǎn)C（靠點(diǎn)B一側(cè)）處豎直向上擺放無(wú)蓋的圓柱形桶，試圖讓網(wǎng)球落入桶內(nèi).已知AB = 4米，AC =3米，網(wǎng)球飛行最大高度 OM=5米,圓柱形桶的直徑為 0.

3、5米，高為0.3米（網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計(jì)）.（1）如果豎直擺放5個(gè)圓柱形桶，網(wǎng)球能不能落入桶內(nèi)？（2）當(dāng)豎直擺放多少個(gè)圓柱形桶時(shí)，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi)？重建立二次函數(shù)模型解決幾何最值問(wèn)題題型1利用二次函數(shù)解決圖形高度的最值問(wèn)題（第4題）.如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹(shù)間拴了一根繩子，給小明做了一個(gè)簡(jiǎn)易的秋千.拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高 1米的小明距較近的那棵樹(shù)0.5米時(shí)，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點(diǎn)距地面的高度為 米.題型2利用二次函數(shù)解決圖形面積的最值問(wèn)題.如圖所示，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為3a,兩動(dòng)點(diǎn)E, F分別從頂點(diǎn)B, C同時(shí)開(kāi)始

4、以 相同速度沿邊BC , CD運(yùn)動(dòng)，與4BCF相應(yīng)的4EGH在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持 EGHABCF, B, E, C, G 在一條直線上.若BE = a,求DH的長(zhǎng).(2)當(dāng)E點(diǎn)在BC邊上的什么位置時(shí)， DHE的面積取得最小值？并求該三角形面積的 最小值.(第5題) 士 建立二次函數(shù)模型解決動(dòng)點(diǎn)探究問(wèn)題 ，八1 . 一，.如圖所不，直線 y=2x 2與x軸、y軸分別交于點(diǎn) A, C,拋物線過(guò)點(diǎn) A, C和點(diǎn)B(1, 0).(1)求拋物線的解析式；(2)在x軸上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D,當(dāng)D與直線AC的距離DE最大時(shí)，求出點(diǎn) D的坐標(biāo)，并求出最大距離.(第6題)E委至4建立二次函數(shù)模型作決策問(wèn)題題型

5、i幾何問(wèn)題中的決策.如圖，有長(zhǎng)為24 m的圍欄，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為10 m）,圍成中間隔有 一道柵欄的長(zhǎng)方形雞舍.設(shè)雞舍的一邊AB為x m,面積為S m2（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出x的取值范圍）.（2）如果圍成面積為45 m2的雞舍，AB的長(zhǎng)是多少米？（3）能?chē)擅娣e比 45 m2更大的雞舍嗎？如果能，請(qǐng)求出最大面積；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明 理由.MJc （第 7 題）題型2實(shí)際問(wèn)題中的決策8.12016武漢】某公司計(jì)劃從甲、乙兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷(xiāo)售，每年產(chǎn)銷(xiāo)x件.已知產(chǎn)銷(xiāo)兩種產(chǎn)品的有關(guān)信息如表：產(chǎn)品每件售價(jià)（力兀）每件成本（力兀）每年其他 費(fèi)用（力兀）每年最大產(chǎn) 銷(xiāo)量（

6、件）甲6a20200乙201040+0.05x280其中a為常數(shù)，且3a 5.若產(chǎn)銷(xiāo)甲、乙兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn)分別為yi萬(wàn)元、y2萬(wàn)元，直接寫(xiě)出yi, y2與x的函數(shù)關(guān)系式;（2）分別求出產(chǎn)銷(xiāo)兩種產(chǎn)品的最大年利潤(rùn)；（3）為獲得最大年利潤(rùn)，該公司應(yīng)該選擇產(chǎn)銷(xiāo)哪種產(chǎn)品？請(qǐng)說(shuō)明理由.答案(第1題).解：(1)由已知得 OA = OAi = 8 m, OC=8 m, AB = 6 m.故 C(0 , 8), B(8,6).設(shè)拋物線BCBi對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為 y=ax2+8,將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得a(-8)2+8=6, TOC o 1-5 h z 一 一 1 1 斛得 a=,所以 y= - x2+ 8( 8 x

7、 7,所以該貨車(chē)能安全通過(guò)這個(gè)隧道.8. C(第3題).解：(1)以點(diǎn)。為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立如圖的3直角坐標(biāo)系，則有 M(0, 5), B(2, 0), C(1, 0), D 2, 0 .設(shè)拋物線的解析式為 y=ax2+c,由拋物線過(guò)點(diǎn) M和點(diǎn)B ,可得a= 7, c= 5.故拋物線的解析式為 y= 1x2+5.當(dāng)x= 1時(shí)，4y=；當(dāng)x=3時(shí)，y = 15.故1,，2, 35兩點(diǎn)在拋物線上.當(dāng)豎直擺放5個(gè)圓柱形桶.33 15 3 35時(shí)，桶圖為0.3 X 5= 1.5= 2(米),2且216,，網(wǎng)球不能洛入桶內(nèi). 35一一 15(2)設(shè)豎直擺放 m個(gè)圓柱形桶

8、時(shí)，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi).由題意，得 0.3m ,解得7-17升 m122.m 為整數(shù)，m 的值為 8, 9, 10, 11, 12.，當(dāng)豎直擺放8個(gè)，9個(gè)，10個(gè)，11個(gè)或12個(gè)圓柱形桶時(shí)，網(wǎng)球可以落入桶內(nèi).4. 0.55.解：(1)連接 FH, . A EGHA BCF,，BC=EG, HG = FC, /G=/BCF,.CG=BE, HG / FC, 四邊形 FCGH 是平行四邊形，F(xiàn)H p CG ,RtADFH 中，DF=3aa= 2a,丁./ DFH = Z DCG = 90.由題意可知， CF=BE = a.在FH=a,DH = DF11 O , 5 (y+y+2)X4-2(y+2)

9、x-2(4-x) y=2y-x+ 4.將 y= 3x2 +2x2 代入，得 SAACD=2y-x + 4 = x2+ 4x= (x 2)2 + 4 ,當(dāng) x=2 時(shí)，y = 1,此時(shí) Sacd 最大，且最大值為4.,. D(2 , 1). .Sacd = |aC-DE, AC = 2泌.，當(dāng) ACD 的面積最大時(shí)，高 DE最大，則+ FH2 = /a.(2)設(shè)BE = x, ADHE的面積為y.依題意，得y=S4cDE+S梯形CDHG SAEGH = 5X 3ax (3a x) + 萬(wàn)(3a+ X)X _ 2 X 3ax x ,1 2 39 2 M 13 2 27 2y=2x2-2ax+2a2

10、,即 y=2x2a +ya2.3 當(dāng)x = 3a,即E是BC的中點(diǎn)時(shí)，y取得最小值，即 DHE的面積取得最小值，最小值是27a21，人，r人，r6.解：(1)在 y = 2x- 2 中，令 x=0,得 y = 2;令 y=0,得 x=4,.Ae, 0), C(0,-2).設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c(aw0). 點(diǎn) A(4 , 0), B(1 , 0), C(0 , -2)在拋物線上，a=-1,16a + 4b+c= 0,2a+b + c= 0,解得,5b = 2,c= 2.c= - 2.5.拋物線的解析式為y=-11x2 + |x-2.（第6題）(2)設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(x, y)

11、,則 y=-2x2+|x-2(1x4),在 RtAAOC 中，OA=4, OC=2,由勾股定理得 AC=2&.如圖所示，連接 CD, AD.過(guò)點(diǎn)D作DFy軸于點(diǎn)F,過(guò) 點(diǎn) A 作 AG，F(xiàn)D 交 FD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G,則 FG=AO=4, FD = x, DG = 4-x, OF = AG =1111y, FC=y+2./.SAacd = S 梯形 agfc $ cdf-Saadg =(AG + FC) FG-FC FD-DG AG =DE的最大值為 片=4一 = 455，當(dāng)D與直線AC的距離DE最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2, 2AC 2X2755i),最大距離為w.解：(1)因?yàn)?AB=x m,所以 BC=(24 3x) m,此時(shí) S= x(24 3x) = 3x2+24x.(2)由已知得3x2+24x = 45,整理可得 x28x+15 = 0.解得 x = 5, x2= 3.丁 0V 24 3x 10,得?w x8,，x2=3 不符合題意，故 AB =5 m.3(3)能.S= 3x2+24x = 3(x28x) = 3(x 4)2+48.14Wxv8, .當(dāng) x= :時(shí),S 最 33大值=463.能?chē)擅娣e比 45 m2更大的雞舍.圍法是：BC的長(zhǎng)是10 m, AB的長(zhǎng)是43 m,這時(shí)雞舍的面積最大，為462 m2.3.解