抽象函數(shù)問(wèn)題的“原型”解法(共13頁(yè))

1、抽象函數(shù)(hnsh)問(wèn)題性質(zhì)(xngzh)及其“模型(mxng)”解法所謂抽象函數(shù)，是指沒(méi)有明確給出函數(shù)表達(dá)式，只給出它具有的某些特征或性質(zhì)，并用一種符號(hào)表示的函數(shù)。一：抽象函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題定義域：解決抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題明確定義、等價(jià)轉(zhuǎn)換。 一：若函數(shù)的定義域?yàn)椋蠛瘮?shù)的定義域。值域：解決抽象函數(shù)的值域問(wèn)題定義域、對(duì)應(yīng)法則決定。二：若函數(shù)的值域?yàn)椋蠛瘮?shù)的值域?qū)ΨQ性：解決抽象函數(shù)的對(duì)稱問(wèn)題定義證明是根本、圖象變換是捷徑、特值代入是妙法。三：設(shè)函數(shù)定義在實(shí)數(shù)集上，則函數(shù)與的圖象關(guān)于（ ）直線對(duì)稱 B直線對(duì)稱 C直線對(duì)稱 D直線對(duì)稱周期性：解決抽象函數(shù)的周期性問(wèn)題充分理解與運(yùn)用相關(guān)的抽象式是關(guān)鍵。

2、四：設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱。證明是周期函數(shù)。奇偶性：解決抽象函數(shù)的奇偶性問(wèn)題緊扣定義、合理賦值。五：已知是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的，都滿足：。判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論。單調(diào)性：解決抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題緊密結(jié)合定義、適當(dāng)加以配湊。六：設(shè)是定義在-1，1上的奇函數(shù)，且對(duì)于任意的，當(dāng)時(shí)，都有：。若，試比較與的大小。二、中學(xué)階段常用抽象(chuxing)函數(shù)的“模型(mxng)”（函數(shù)(hnsh)）1、2、3、4、5、或6、三、“模型”解法例析設(shè)函數(shù)滿足，且()=0，、R；求證：為周期函數(shù)，并指出它的一個(gè)周期。已知函數(shù)滿足，若，試求(2005)。已知函數(shù)對(duì)于任意

3、實(shí)數(shù)、都有，且當(dāng)0時(shí)，0，(-1)=-2，求函數(shù)在區(qū)間-2，1上的值域。已知函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)、滿足(0)0，且當(dāng)0時(shí)，1（1）當(dāng)0時(shí)，求的取值范圍（2）判斷在R上的單調(diào)性并證明已知函數(shù)定義域?yàn)?0,+)且單調(diào)遞增，滿足(4)=1，（1）證明：(1)=0；(2)求(16)；（3）若+ (-3)1，求的范圍；（4）試證()=（nN）已知函數(shù)對(duì)于一切正實(shí)數(shù)、都有且1時(shí)，1，(2)=(1)求證：0；（2）求證：（3）求證：在（0，+）上為單調(diào)減函數(shù)（4）若=9，試求的值。數(shù)學(xué)(shxu)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練抽象(chuxing)函數(shù)1. 已知函數(shù)(hnsh)y = f (x)(xR，x0)對(duì)任意的非零

4、實(shí)數(shù)，恒有f()=f()+f(),試判斷f(x)的奇偶性。2 已知定義在-2，2上的偶函數(shù)，f (x)在區(qū)間0，2上單調(diào)遞減，若f (1-m)0.(1)求;(2)求和(qi h);(3)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并證明.14.函數(shù)的定義域?yàn)镽,并滿足以下條件:對(duì)任意,有0;對(duì)任意,有;.(1)求的值;(2)求證: 在R上是單調(diào)減函數(shù);(3)若且,求證:.15.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,且當(dāng)時(shí),.(1)證明:;(2)證明: 在R上單調(diào)遞減;(3)設(shè)A=,B=,若=,試確定的取值范圍.16.已知函數(shù)(hnsh)是定義(dngy)在R上的增函數(shù),設(shè)F.(1)用函數(shù)單調(diào)(dndio)性的定義證明:

5、是R上的增函數(shù);(2)證明:函數(shù)=的圖象關(guān)于點(diǎn)(成中心對(duì)稱圖形.17.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.(1)求的值;(2)證明: 函數(shù)是周期函數(shù);(3)若求當(dāng)時(shí),函數(shù)的解析式,并畫出滿足條件的函數(shù)至少一個(gè)周期的圖象.18函數(shù)對(duì)于x0有意義，且滿足條件減函數(shù)。（1）證明：；（2）若成立，求x的取值范圍。19設(shè)函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只有（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；（2）試求方程=0在閉區(qū)間-2005，2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論20. 已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）0，f（1）2，求f（x）在區(qū)間2，1

6、上的值域。21. 已知函數(shù)(hnsh)f（x）對(duì)任意(rny)，滿足條件f（x）f（y）2 + f（xy），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。22. 設(shè)函數(shù)(hnsh)f（x）的定義域是（，），滿足條件：存在，使得，對(duì)任何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）對(duì)任意值x，判斷f（x）值的正負(fù)。23. 是否存在函數(shù)f（x），使下列三個(gè)條件：f（x）0，x N；f（2）4。同時(shí)成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說(shuō)明理由。24. 設(shè)函數(shù)yf（x）的反函數(shù)是yg（x）。如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正確，試說(shuō)明理由。25. 己知函數(shù)f

7、（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足以下三條件：當(dāng)是定義域中的數(shù)時(shí)，有；f（a）1（a0，a是定義域中的一個(gè)(y )數(shù)）；當(dāng)0 x2a時(shí)，f（x）0。答案(d n)：1. 解：令= -1，=x，得f (-x)= f (-1)+ f (x) 為了(wi le)求f (-1)的值，令=1，=-1，則f(-1)=f(1)+f(-1),即f(1)=0,再令=-1得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0代入式得f(-x)=f(x),可得f(x)是一個(gè)偶函數(shù)。2. 分析：根據(jù)函數(shù)的定義域，-m，m-2,2，但是1- m和m分別在-2，0和0，2的哪個(gè)區(qū)間內(nèi)呢？如果就此討論，將十分復(fù)雜

8、，如果注意到偶函數(shù)，則f (x)有性質(zhì)f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一場(chǎng)大規(guī)模討論。解：f (x)是偶函數(shù)， f (1-m)f(m) 可得，f(x)在0，2上是單調(diào)遞減的，于是 ，即 化簡(jiǎn)得-1m0, 令得,(2)任取任取,則令,故 函數(shù)的定義域?yàn)镽,并滿足以下條件:對(duì)任意,有0;對(duì)任意,有;函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù).(3) 由（1）（2）知，而15. (1)證明:令,則當(dāng)時(shí),故,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),則(2)證明(zhngmng): 任取,則,0,故0是R上的增函數(shù);(2)設(shè)為函數(shù)=的圖象上任一點(diǎn),則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(的對(duì)稱點(diǎn)為N(),則,故把代入F得, =-函數(shù)=的圖象關(guān)于點(diǎn)(成中心對(duì)

9、稱圖形.17.(1)解:為R上的奇函數(shù), 對(duì)任意都有,令則=0(2)證明: 為R上的奇函數(shù), 對(duì)任意都有,的圖象關(guān)于直線對(duì)稱, 對(duì)任意都有, 用代得,即是周期函數(shù),4是其周期.(3)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，圖象如下： y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x18.(1)證明(zhngmng)：令，則，故（2），令，則， 成立(chngl)的x的取值范圍是。19解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)(hnsh)的對(duì)稱軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù)的周期為又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(2)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個(gè)解,從而可知函數(shù)在

10、0,2005上有402個(gè)解,在-2005.0上有400個(gè)解,所以函數(shù)在-2005,2005上有802個(gè)解.20. 解：設(shè)，當(dāng)，即，f（x）為增函數(shù)。在條件中，令yx，則，再令xy0，則f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）為奇函數(shù)，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域?yàn)?，2。21. 解：設(shè)，當(dāng)，則， 即，f（x）為單調(diào)增函數(shù)。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解為1 a 3。22. 解：（1）令y0代入，則，。若f（x）0，則對(duì)任意，有，這與題設(shè)矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，則，又由（1）知f（x）0，f（

11、2x）0，即f（x）0，故對(duì)任意(rny)x，f（x）0恒成立(chngl)。23. 分析：由題設(shè)可猜想(cixing)存在，又由f（2）4可得a2故猜測(cè)存在函數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）x1時(shí)，又x N時(shí)，f（x）0，結(jié)論正確。（2）假設(shè)時(shí)有，則xk1時(shí)，xk1時(shí)，結(jié)論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時(shí)。24. 解：設(shè)f（a）m，f（b）n，由于g（x）是f（x）的反函數(shù)，g（m）a，g（n）b，從而，g（m）g（n）g（mn），以a、b分別代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）g（b）。25. 解：（1）f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且是定義域中的數(shù)時(shí)有，在定義域中。，f（x）是奇函數(shù)。（2）設(shè)0 x1x22a，則0 x2x12a，在（0，2a）上f（x）0，f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，進(jìn)而知中的，于是f（x1） f（x2），在（0，2a）上f（x）是增函數(shù)。又，f（a）1，f（2a）0，設(shè)2ax4a，則0 x2a2a，于是f（x）0，即在（2a，4a）上f（x）0。設(shè)2ax1x24a，則0 x2x12a，從而知f（x1），f（