2022新高考總復(fù)習(xí)《數(shù)學(xué)》(人教)第七章　空間向量與立體幾何7.3　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI7.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第七章2022內(nèi)容索引0102必備知識(shí) 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破必備知識(shí) 預(yù)案自診【知識(shí)梳理】 圖形文字語言符號(hào)語言基本事實(shí)1過不在,有且只有一個(gè)平面A,B,C三點(diǎn)不共線有且只有一個(gè)平面,使A,B,C基本事實(shí)2如果一條直線上的在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)Al,Bl,且A,Bl一條直線上的三個(gè)點(diǎn) 兩個(gè)點(diǎn) 圖形文字語言符號(hào)語言基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們 過該點(diǎn)的公共直線P,且P =l,且Pl基本事實(shí)4平行于同一條直線的兩條直線平行若直線ab

2、,cb,則ac有且只有一條2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 3.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線aa,bb,把a(bǔ)與b所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍:090.4.等角定理:如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).常用結(jié)論1.利用基本事實(shí)1和基本事實(shí)2,再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”,得到三個(gè)推論推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.2.異面直線判定的一個(gè)定理過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不過

3、該點(diǎn)的直線是異面直線.3.唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)兩個(gè)不重合的平面只能把空間分成四個(gè)部分.()(2)兩個(gè)平面,有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說,相交于A點(diǎn),記作=A ()(3)已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,則c與b不可能是平行直線.()(4)兩個(gè)不重合的平面,有一條公共直線a,就說平面,相交,并記作=a.()(5)若a,b是兩條直線,是兩

4、個(gè)平面,且a,b,則a,b是異面直線.()2. 下列命題正確的個(gè)數(shù)為()梯形一定是平面圖形;若兩條直線和第三條直線所成的角相等,則這兩條直線平行;兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面;如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合.A.0B.1C.2D.3答案 C解析 因梯形有一組對(duì)邊平行,所以梯形可以確定一個(gè)平面,故正確;如等腰三角形中,AB,AC與底邊直線BC所成的角相等,而直線AB,AC不平行,故錯(cuò)誤;兩兩相交的三條直線,比如墻角處的三條交線最多可以確定三個(gè)平面,故正確;如果兩個(gè)平面有三個(gè)共線的公共點(diǎn),這兩個(gè)平面不重合,故錯(cuò)誤.故選C.3.(2020浙江,6)已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線

5、l,m,n.“l(fā),m,n共面”是“l(fā),m,n兩兩相交”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案 B解析 由條件可知,當(dāng)m,n,l在同一平面內(nèi)時(shí),三條直線不一定兩兩相交,有可能兩條直線平行;或三條直線平行;反過來,當(dāng)空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m,n,l兩兩相交時(shí),如圖,三個(gè)不同的交點(diǎn)確定一個(gè)平面,則m,n,l在同一平面內(nèi),所以“m,n,l”共面是“m,n,l兩兩相交”的必要不充分條件.故選B.4.(2020黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三線上測(cè)試)已知如圖,點(diǎn)E,F,G,H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中棱AA1,AB,BC,C1D1的中點(diǎn),則()A.

6、GH=2EF,且直線EF,GH是相交直線B.GH=2EF,且直線EF,GH是異面直線C.GH2EF,且直線EF,GH是相交直線D.GH2EF,且直線EF,GH是異面直線答案 C 所以GH2EF.設(shè)M,N分別為CC1和A1D1的中點(diǎn),則六邊形EFGMHN是過E,F,G,H四點(diǎn)的平面截正方體的截面,所以EF與GH是共面直線,且EF與GH不平行,所以EF與GH是相交直線.故選C.5.(2020全國(guó)2,16改編)設(shè)有下列四個(gè)命題:p1:兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2:過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.p3:若空間兩條直線不相交,則這兩條直線平行.p4:若直線l平面,直線m平面,則m

7、l.則上述命題中的真命題是.答案 p1,p4解析對(duì)于命題p1,可設(shè)l1與l2相交,這兩條直線確定的平面為;若l3與l1相交,則交點(diǎn)A在平面內(nèi),同理,l3與l2的交點(diǎn)B也在平面內(nèi),所以,AB,即l3,命題p1為真命題;對(duì)于命題p2,若三點(diǎn)共線,則過這三個(gè)點(diǎn)的平面有無數(shù)個(gè),命題p2為假命題;對(duì)于命題p3,空間中兩條直線可能相交、平行或異面,命題p3為假命題;對(duì)于命題p4,若直線m平面,則直線m垂直于平面內(nèi)所有直線,直線l平面,直線m直線l,命題p4為真命題.綜上可知,p1,p4為真命題,p2,p3為假命題.關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用【例1】 四邊形BCHG的形狀是;點(diǎn)C,D,E,

8、F,G中,能共面的四點(diǎn)是.(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O,AC與BD交于點(diǎn)M,則點(diǎn)O與直線C1M的關(guān)系是.答案 (1)平行四邊形C,D,E,F(2)點(diǎn)O在直線C1M上解析 (1)因?yàn)镚,H分別為FA,FD的中點(diǎn),所以GH AD.又BC AD,所以GH BC,所以四邊形BCHG為平行四邊形.由BE= FA,G為FA的中點(diǎn),知BE=FG,又BEAF,所以四邊形BEFG為平行四邊形,所以EFBG.由知BGCH,所以EFCH,所以EF與CH共面.又DFH,所以C,D,E,F四點(diǎn)共面.(2)如圖所示,連接A1C,因?yàn)锳1C平面A1ACC1,OA1C,所以O(shè)

9、平面A1ACC1,而O是平面BDC1與直線A1C的交點(diǎn),所以O(shè)平面BDC1,所以點(diǎn)O在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上.因?yàn)锳CBD=M,所以M平面BDC1.又M平面A1ACC1,所以平面BDC1平面A1ACC1=C1M,所以O(shè)C1M.解題心得共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明點(diǎn)或線共面問題的兩種方法:首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面,然后證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi);將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合.(2)證明點(diǎn)共線問題的兩種方法:先由兩點(diǎn)確定一條直線,再證其他各點(diǎn)都在這條直線上;直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上.(3)證明線共點(diǎn)問題的常用方法是

10、:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()(2)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB和AA1的中點(diǎn).求證:E,C,D1,F四點(diǎn)共面;CE,D1F,DA三線共點(diǎn).答案 (1)D解析 A,B,C圖中四點(diǎn)一定共面,D中四點(diǎn)不共面.(2)證明 如圖,連接EF,CD1,A1B.E,F分別是AB,AA1的中點(diǎn),EFA1B.又A1BD1C,EFCD1,E,C,D1,F四點(diǎn)共面.EFCD1,EFCD1,CE與D1F必相交,設(shè)交點(diǎn)為P,如圖所示.則由PCE,CE平面ABCD,

11、得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=DA,P直線DA,CE,D1F,DA三線共點(diǎn).考點(diǎn)2空間兩直線位置關(guān)系的判定【例2】 (2019全國(guó)3,理8)如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,ECD為正三角形,平面ECD平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則()A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BMEN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BMEN,且直線BM,EN是異面直線答案 B解析 如圖,連接BD,BE.在BDE中,N為BD的中點(diǎn),M為DE的中點(diǎn),BM,EN是相交直線,排除選項(xiàng)C,D.作EOCD于點(diǎn)O,連接ON.作M

12、FOD于點(diǎn)F,連接BF.平面CDE平面ABCD,平面CDE平面ABCD=CD,EOCD,EO平面CDE,EO平面ABCD.同理,MF平面ABCD.MFB與EON均為直角三角形.解題心得異面直線的判定方法 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面內(nèi),l2在平面內(nèi),l是平面與平面的交線,則下列命題正確的是()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交(2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),有以下四個(gè)結(jié)論:直線AM與CC1是相交直線;直線AM與BN是平行直線;直線

13、BN與MB1是異面直線;直線AM與DD1是異面直線.其中所有正確的結(jié)論為(填序號(hào)).答案 (1)D(2)解析 (1)由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行,故l1,l2中至少有一條與l相交.(2)直線AM與CC1是異面直線,直線AM與BN也是異面直線,故錯(cuò)誤.結(jié)論正確.考點(diǎn)3求異面直線所成的角【例3】 如圖,在底面為正方形,側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()答案 D 變式發(fā)散1(變條件)將本例條件“AA1=2AB=2”變?yōu)椤癆B=1,若平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到頂點(diǎn)A1的距離為1”,其他條件不變,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.變式發(fā)散2(變?cè)O(shè)問)將本例條件“AA1=2AB=2”變?yōu)椤癆B=1,若異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為 ”,其他條件不