人教版初三數(shù)學上冊24.1.2垂直于弦的直徑教學設(shè)計.1.2垂直于弦的直徑教學設(shè)計

1、 24.1.2垂直于弦的直徑南寧沛鴻民族中學陳超江此教學設(shè)計的教學實錄參加 2014年第十屆全國民族中學“民教杯”信息技術(shù)與 教學融合技能競賽并榮獲一等獎.探究垂徑定理及其推論分清垂徑定理及其推論的條件和結(jié)論圓的軸對稱性.授課題目：垂直于弦的直徑授課對象：九年級學生參考教材：新人教版數(shù)學九年級上冊一、教學重難點及關(guān)鍵點（一）教學重點： 證明、計算問題.（二）教學難點：（三）教學關(guān)鍵點：二、教學目標課型：新授課授課學時：1課時（40分鐘）電子白板：普羅米修斯并運用這些結(jié)論解決一些與圓有關(guān)的（一）知識與技能：理解圓的軸對稱性，掌握圓是軸對稱圖形的證明方法；掌握 垂徑定理及其推論，并學會運用這些結(jié)論

2、解決與圓有關(guān)的證明、計算的問題.（二）過程與方法：我主要采用設(shè)疑激趣、講授、直觀演示、引導發(fā)現(xiàn)的教法 學生歷經(jīng) ”實驗、觀察、猜想、證明”的探索過程、體會探索問題的一般方法和由 一般化為特殊的化歸數(shù)學思想方法，從而對知識的發(fā)生、發(fā)展和形成的過程認識得更 加深刻.（三）情感態(tài)度與價值觀： 學生感受探索數(shù)學問題的樂趣，培養(yǎng)解決數(shù)學問題的 成就感；體會數(shù)學圖形的對稱美、知識的內(nèi)在美、形式美、和諧美，從而激發(fā)對數(shù)學 的熱愛.三、教學過程設(shè)計（一） 復習舊知如圖，復習作出已知點關(guān)于直線對稱的方法和步驟。設(shè)計意圖：電子白板和幾何畫板相結(jié)合，讓學生回顧并派代表回答作出已知點關(guān)于直線對稱的方法和步驟（教師通過

3、電子白板鏈接幾何畫板動態(tài)演示），為證明圓的軸對稱性做好知識的鋪墊.（二）直觀體會圓的軸對稱性如圖2所示，讓學生拿出手中的圓形紙片，沿著它的任意 一條直徑對折，重復做幾次.設(shè)計意圖：通過學生自主探究活動，讓學生歷經(jīng)探索圓的軸對稱性的過程，能直 觀體驗并理解圓是軸對稱圖形，學習過程能增強學生之間互相學習，學會分享的情感, 并提高學生自身的動手操作能力.最后，教師通過電子白板和幾何畫板相結(jié)合，動態(tài) 演示改變直徑，將圓沿著直徑所在的直線折疊，增強學生的理解。（三）探究并證明圓的軸對稱性如圖3,在。0中，CD為。的任意一條直徑.怎樣證明。是軸對稱圖形呢?。于點A.證明線段AM =AM .圖3圖3(1)圖

4、 3(2)如圖3 （1）,在。上任取一點A,過點A作CD的垂線，垂足為M,垂線交。證明方法1:如圖3 (2),連接OA, OA.C CD -L AA, ,垂足為 M. AMO = A MO = 900.又 OA = OA，, OM =OM. RtAOOMA - AOM RHL) ( HL ) . AM =AM.證明方法2:如圖3 (2),連接OA, OA.在；：OAA,中，OA =OA,AOAA是等腰三角形.又 AA_LCD , , AM = AM.（三線合一）設(shè)計意圖：通過電子白板和幾何畫板相結(jié)合，利用圖形的動態(tài)演示，教師拖動點A在圓上滑動，學生觀察并發(fā)現(xiàn)點A關(guān)于直徑CD的對稱點A也都在圓上

5、，讓學生體會 把證明圓的軸對稱性轉(zhuǎn)化為證明圓上任意一點的軸對稱性問題中蘊含的由一般化為 特殊的數(shù)學思想方法.（四）探究垂徑定理理解了圓的軸對稱性后，利用如圖 4所示的圖形引導學生探究垂徑定理。圖4圖 4(1)圖 4(2)如圖4（1）和4（2）,利用電子白板和幾何畫板相結(jié)合，通過動態(tài)演示將這個圖形 沿著直徑CD折疊，在折疊的過程中，學生觀察、猜想并發(fā)現(xiàn)了相等的線段和相等的 弧。就這樣，自然而然地引出了垂徑定理。為了讓學生進一步學習垂徑定理，分清定 理的條件和結(jié)論，我組織學生學習垂徑定理的內(nèi)容和幾何語言， 從幾何語言的表述中, 學生能較直觀地找出并分清垂徑定理的條件和結(jié)論 .教師讓學生觀察并找出相

6、等的線段和相等的?。壕€段：AM =AM 弧：AC=AC AD =AD教師引導學生學習垂徑定理的幾何語言：CD是直徑AM = AM .AC =ACAD =AD結(jié)論）垂徑定理：Y匚 CD 1 AA（條件）（即：: CD是直徑CD AAz-V 產(chǎn)r.AM = AM , AC =AC AD =AD設(shè)計意圖：結(jié)合圓的軸對稱性，學生在圖形的動態(tài)演示過程中，通過觀察、猜想 并發(fā)現(xiàn)了垂徑定理。教師為學生創(chuàng)造了探究問題情境和實踐活動，讓他們親身歷經(jīng)探 究結(jié)論的過程，能理解并分清垂徑定理的條件和結(jié)論，掌握垂徑定理的幾何語言（五） 探究垂徑定理的推論學習了垂徑定理后，引導學生通過交換垂徑定理的條件和部分結(jié)論，進行探

7、究垂 徑定理的推論，提出這樣的猜想：如果一條直徑平分弦，那么這條直徑會不會垂直于 弦，并且平分弦所對的兩條弧呢？師生活動：提出問題后，讓學生思考，學生會回答：“不一定.”教師把握時機, 按條件畫出圖形（如圖5 （1）, 5 （2）所示），讓學生觀察、思考，得出垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧C直徑CD平分弦AB 弦AB不是直徑圖 5（1）弦AB是直徑圖 5（2）CD _ AAAC =ACAD =AD結(jié)論）接著，教師引導學生學習垂徑定理推論的幾何語言: r cd是直徑 AM =A M垂徑定理推論：Y條件）即：: CD是直徑AM = A M .CD _ AA

8、 AC =AC , .AD =AD設(shè)計意圖：通過命題中條件和結(jié)論的交換，引導學生提出垂徑定理推論的猜想， 產(chǎn)生新舊知識的碰撞，讓學生在數(shù)學問題的情境中產(chǎn)生思考的火花。根據(jù)條件，用圖 形的直觀分析，降低學習的難度，讓學生在不同條件下的 2個圖形得到不同結(jié)論的鮮 明對比中得出垂徑定理的推論，并真正理解推論中的條件“平分弦（不是直徑）的直 徑”.CCOAABD(2)OOAAAD(6)OC*E D垂直于弦.加深了學生對垂徑定理條件的理解O到AB的距離為3cm如圖6,在。O中，弦AB的長為8cm理，學生能夠正確找出這些圖形，教師進而引導學生總結(jié)這類圖形的共同特點出垂徑定理的條件：（1）過圓心設(shè)計意圖：通

9、過上述具有相同或不同特點的圖形讓學生判斷哪些能夠使用垂徑定E /BE 二/B-BOBEyBA/ E .B圖6（六） 定理辨析：判斷下列圖形，哪些能夠使用垂徑定理，為什么?C設(shè)計意圖：學生剛剛學了垂徑定理的內(nèi)容，本道練習題能讓學生初步掌握定理的簡單應用.教師還可以利用本道練習題引導學生總結(jié)使用垂徑定理解決與圓有關(guān)問題 的解題思路：（1）構(gòu)造直角三角形，把與圓有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中；（2）使2中利用垂徑定理解決實用垂徑定理和勾股定理求解.另外，這個解題思路可以為例 際問題做好鋪墊.（八）例題講解距今約有1400年的歷史, 它的跨度（弧所對的弦的例2 趙州橋（圖7所示）是我國隋代建造的石拱橋,

10、 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形, 長）為37m,拱高（弧的中點到弦的距離）為7.23m,求出趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果 保留小數(shù)點后一位）.圖7設(shè)計意圖：解題思路如圖7(1)-7(4).本例題與“課堂練習”不同，它是垂徑定理進一步的應用，首先，它讓學生學會將實物圖轉(zhuǎn)化為平面圖形來研究.通過本例題, 提高學生將所學知識聯(lián)系實際問題并利用所學知識解決實際問題的能力(九)能力提升原題：如圖8,已知在以。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦 AB交小圓于C、D兩點.求證：AC=BD.設(shè)計意圖：在學習垂徑定理之前，證明線段相等常用的方法就是證明三角形全等 然而，本道題讓學生在新舊知識中產(chǎn)生

11、了 “思考的火花”，讓他們學會選擇簡便方法證明線段相等.這是垂徑定理在證明線段相等方面的重要應用，能提高學生靈活應用 垂徑定理解決問題的能力.變式1如圖8 (1),將原題中的大圓隱去，連接 OA、OB,設(shè)OA=OB,求證:AC=BD.變式2如圖8 (2),將原題中的小圓隱去，連接AC=BD.設(shè)計意圖：變式1和變式2雖然對原題進行了條件改變，證明的結(jié)論不變，但是 解決問題的方法和思路與原題仍然是相同的.這兩道變式題有利于學生培養(yǎng)觀察、分 析、對比問題進而尋找問題共同實質(zhì)的能力(十)課堂小結(jié)教師和學生一起回顧本節(jié)課所學的主要內(nèi)容以及在學習過程中運用的數(shù)學思想 方法，并讓學生之間互相交流和分享學習心得設(shè)計意圖：課堂小結(jié)能夠讓學生對本節(jié)課學習的內(nèi)容有一個比較完整的知識結(jié) 構(gòu)框架，也有利于培養(yǎng)學生善于及時總結(jié)知識的良好學習習慣(十一)布置作業(yè)教科書第83頁練習第2題，第90頁第10題、11題.設(shè)計意圖：為了讓學生及時鞏固垂徑定理的應用.板書設(shè)計24.1.2 垂直于弦的直徑1.圓的軸對稱性: