云南省迪慶2022年高三下第一次測試數(shù)學試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1為比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學素養(yǎng)，對課程標準中規(guī)定的數(shù)學六大素養(yǎng)進行指標測驗（指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），

2、根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖，則下面敘述正確的是（ ）A乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲B乙的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)C甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析最差2已知函數(shù)，則（ ）A1B2C3D43是邊長為的等邊三角形，、分別為、的中點，沿把折起，使點翻折到點的位置，連接、，當四棱錐的外接球的表面積最小時，四棱錐的體積為（ ）ABCD4已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則（ ）ABCD5數(shù)列an是等差數(shù)列，a11，公差d1，2，且a4+a10+a1615，則實數(shù)的最大值為（）ABCD6設(shè)，滿足約束條件，若的最大值為，則的展開式中項的系數(shù)為( )A60B80C

3、90D1207已知復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（ ）ABCD8有一圓柱狀有蓋鐵皮桶（鐵皮厚度忽略不計），底面直徑為cm，高度為cm，現(xiàn)往里面裝直徑為cm的球，在能蓋住蓋子的情況下，最多能裝（ ）（附：）A個B個C個D個9函數(shù)f(x)=ln(x2-4x+4)(x-2)3的圖象可能是下面的圖象( )ABCD10已知為等腰直角三角形，為所在平面內(nèi)一點，且，則（ ）ABCD11設(shè)，是非零向量，若對于任意的，都有成立，則ABCD12若為虛數(shù)單位，則復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知雙曲線（，）的左，右

4、焦點分別為，過點的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于，兩點，若，則雙曲線的離心率為_. 14已知向量滿足，則_.15已知，則_。16已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，點P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動點，若三棱錐P-ABC的外接球表面積恰為414，則此時點P構(gòu)成的圖形面積為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）為提供市民的健身素質(zhì)，某市把四個籃球館全部轉(zhuǎn)為免費民用（1）在一次全民健身活動中，四個籃球館的使用場數(shù)如圖，用分層抽樣的方法從四場館的使用場數(shù)中依次抽取共25場，在中隨機取兩數(shù)，求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學期望；（2）設(shè)四個籃球館一個月內(nèi)各

5、館使用次數(shù)之和為，其相應維修費用為元，根據(jù)統(tǒng)計，得到如下表的數(shù)據(jù)：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99用最小二乘法求與的回歸直線方程；叫做籃球館月惠值，根據(jù)的結(jié)論，試估計這四個籃球館月惠值最大時的值參考數(shù)據(jù)和公式：，18（12分）如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為梯形，為中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.19（12分）武漢有“九省通衢”之稱，也稱為“江城”，是國家歷史文化名城.其中著名的景點有黃鶴樓、戶部巷、東湖風景區(qū)等等.（1）為了解“五一”勞動節(jié)當日

6、江城某旅游景點游客年齡的分布情況，從年齡在22歲到52歲的游客中隨機抽取了1000人，制成了如圖的頻率分布直方圖：現(xiàn)從年齡在內(nèi)的游客中，采用分層抽樣的方法抽取10人，再從抽取的10人中隨機抽取4人，記4人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為，求；（2）為了給游客提供更舒適的旅游體驗，該旅游景點游船中心計劃在2020年勞動節(jié)當日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐觀光.由2010到2019這10年間的數(shù)據(jù)資料顯示每年勞動節(jié)當日客流量（單位：萬人）都大于1.將每年勞動節(jié)當日客流量數(shù)據(jù)分成3個區(qū)間整理得表：勞動節(jié)當日客流量頻數(shù)（年）244以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間段發(fā)生的概率

7、，且每年勞動節(jié)當日客流量相互獨立.該游船中心希望投入的型游船盡可能被充分利用，但每年勞動節(jié)當日型游船最多使用量（單位：艘）要受當日客流量（單位：萬人）的影響，其關(guān)聯(lián)關(guān)系如下表：勞動節(jié)當日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在勞動節(jié)當日被投入且被使用，則游船中心當日可獲得利潤3萬元；若某艘型游船勞動節(jié)當日被投入?yún)s不被使用，則游船中心當日虧損0.5萬元.記（單位：萬元）表示該游船中心在勞動節(jié)當日獲得的總利潤，的數(shù)學期望越大游船中心在勞動節(jié)當日獲得的總利潤越大，問該游船中心在2020年勞動節(jié)當日應投入多少艘型游船才能使其當日獲得的總利潤最大？20（12分）如圖，矩形和梯形所在的平面互相垂直，.（

8、1）若為的中點，求證：平面；（2）若，求四棱錐的體積.21（12分）在平面直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為；直線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），直線與曲線分別交于兩點（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若點的極坐標為，求的值22（10分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若的面積為，周長為8，求b.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】根據(jù)題目所給圖像，填寫好表格，由表格數(shù)據(jù)選出正確選項.【詳解】根據(jù)雷達圖得到如下數(shù)據(jù)：數(shù)學抽象邏

9、輯推理數(shù)學建模直觀想象數(shù)學運算數(shù)據(jù)分析甲454545乙343354由數(shù)據(jù)可知選C.【點睛】本題考查統(tǒng)計問題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應用意識.2C【解析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得，則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.3D【解析】首先由題意得，當梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時，外接球的半徑最小，通過圖形發(fā)現(xiàn)，的中點即為梯形的外接圓圓心，也即四棱錐的外接球球心，則可得到，進而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖，四邊形為等腰梯形，則其必有外接圓，設(shè)為梯形的外接圓圓心，當也為四棱錐的外接球球心時

10、，外接球的半徑最小，也就使得外接球的表面積最小，過作的垂線交于點，交于點，連接，點必在上，、分別為、的中點，則必有，即為直角三角形.對于等腰梯形，如圖：因為是等邊三角形，、分別為、的中點，必有，所以點為等腰梯形的外接圓圓心，即點與點重合，如圖，所以四棱錐底面的高為，.故選：D.【點睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問題，關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置，這個是一個難點，考查了學生空間想象能力和分析能力，是一道難度較大的題目.4C【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可得，又由，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則，有，又由在上單調(diào)遞增，則有，故選C.【點睛】本題主要考查

11、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應用，注意函數(shù)奇偶性的應用，屬于基礎(chǔ)題5D【解析】利用等差數(shù)列通項公式推導出，由d1，2，能求出實數(shù)取最大值【詳解】數(shù)列an是等差數(shù)列，a11，公差d1，2，且a4+a10+a1615，1+3d+（1+9d）+1+15d15，解得，d1，2，2是減函數(shù)，d1時，實數(shù)取最大值為故選D【點睛】本題考查實數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題6B【解析】畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)平移得到，再利用二項式定理計算得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標函數(shù)，即，故表示直線與截距的倍，根據(jù)圖像知：當時，的最大值為，故.展開式的通項為：，取

12、得到項的系數(shù)為：.故選：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值，二項式定理，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.7A【解析】先化簡求出，即可求得答案.【詳解】因為，所以所以故選：A【點睛】此題考查復數(shù)的基本運算，注意計算的準確度，屬于簡單題目.8C【解析】計算球心連線形成的正四面體相對棱的距離為cm，得到最上層球面上的點距離桶底最遠為cm，得到不等式，計算得到答案.【詳解】由題意，若要裝更多的球，需要讓球和鐵皮桶側(cè)面相切，且相鄰四個球兩兩相切，這樣，相鄰的四個球的球心連線構(gòu)成棱長為cm的正面體，易求正四面體相對棱的距離為cm，每裝兩個球稱為“一層”，這樣裝層球，則最上層球面上的點距離桶底最遠為c

13、m，若想要蓋上蓋子，則需要滿足，解得，所以最多可以裝層球，即最多可以裝個球故選：【點睛】本題考查了圓柱和球的綜合問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.9C【解析】因為fx=lnx2-4x+4x-23=lnx-22x-23，所以函數(shù)fx的圖象關(guān)于點（2,0）對稱，排除A，B當x0,x-230，所以fx0，排除D選C10D【解析】以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系，結(jié)合向量的坐標運算，可求得點的坐標，進而求得，由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，由，易得，則.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用、數(shù)量積的運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、

14、運算求解能力.11D【解析】畫出，根據(jù)向量的加減法，分別畫出的幾種情況，由數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】由題意，得向量是所有向量中模長最小的向量，如圖，當，即時，最小，滿足，對于任意的，所以本題答案為D.【點睛】本題主要考查了空間向量的加減法，以及點到直線的距離最短問題，解題的關(guān)鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于基礎(chǔ)題.12B【解析】由共軛復數(shù)的定義得到，通過三角函數(shù)值的正負，以及復數(shù)的幾何意義即得解【詳解】由題意得，因為，所以在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限故選：B【點睛】本題考查了共軛復數(shù)的概念及復數(shù)的幾何意義，考查了學生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，

15、每小題5分，共20分。13【解析】設(shè)，由雙曲線的定義得出：，由得為等腰三角形，設(shè)，根據(jù)，可求出，得出，再結(jié)合焦點三角形，利用余弦定理：求出和的關(guān)系，即可得出離心率.【詳解】解：設(shè)，由雙曲線的定義得出：，由圖可知：，又，即，則，為等腰三角形，設(shè)，則，即，解得：，則，解得：，解得：，在中，由余弦定理得：，即：，解得： ，即. 故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的定義的應用，以及余弦定理的應用，求雙曲線離心率.141【解析】首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律求出，再根據(jù)計算可得；【詳解】解：因為，所以又所以所以故答案為：【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.15【解析】由已知求，再利用和角正

16、切公式，求得，【詳解】因為所以cos因此.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與和角的正切公式。16.【解析】設(shè)三棱錐P-ABC的外接球為球O，分別取AC、A1C1的中點O、O1，先確定球心O在線段AC和A1C1中點的連線上，先求出球O的半徑R的值，然后利用勾股定理求出OO的值，于是得出OO1=OO1-OO，再利用勾股定理求出點P在上底面軌跡圓的半徑長，最后利用圓的面積公式可求出答案【詳解】如圖所示，設(shè)三棱錐P-ABC的外接球為球O，分別取AC、A1C1的中點O、O1，則點O在線段OO1上，由于正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則ABC的外接圓的半徑為OA=2，設(shè)球O的半徑為R，

17、則4R2=414，解得R=414.所以，OO=R2-OA2=34，則OO1=OO1-OO=2-34=54而點P在上底面A1B1C1D1所形成的軌跡是以O(shè)1為圓心的圓，由于OP=R=414，所以O(shè)1P=R2-OO12=1，因此，點P所構(gòu)成的圖形的面積為O1P2=.【點睛】本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)問題，根據(jù)立體幾何中的線段關(guān)系求動點的軌跡，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）見解析，12.5（2）20【解析】(1) 運用分層抽樣，結(jié)合總場次為100，可求得的值，再運用古典概型的概率計算公式可求解果;(2) 由公式可計算的值，進而可求與的回歸直線方

18、程；求出，再對函數(shù)求導，結(jié)合單調(diào)性，可估計這四個籃球館月惠值最大時的值.【詳解】解：（1）抽樣比為，所以分別是，6，7，8，5所以兩數(shù)之和所有可能取值是：10，12，13，15，所以分布列為期望為（2）因為所以，；，設(shè)，所以當遞增，當遞減所以約惠值最大值時的值為20【點睛】本題考查直方圖的實際應用，涉及求概率，平均數(shù)、擬合直線和導數(shù)等問題，關(guān)鍵是要讀懂題意，屬于中檔題.18（1）見解析；（2）【解析】(1)取的中點，結(jié)合三角形中位線和長度關(guān)系，為平行四邊形，進而得到，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；(2)以，為，軸建立空間直角坐標系,分別求得兩面的法向量，求得法向量夾角的余弦值；根據(jù)二面角為銳

19、角確定最終二面角的余弦值；【詳解】（1）取的中點，連結(jié)，因為為中點，所以，為平行四邊形，所以，又因為，所以；（2）由題及（1）易知，兩兩垂直，所以以，為，軸建立空間直角坐標系,則，易知面的法向量為設(shè)面的法向量為則可得所以,如圖可知二面角為銳角，所以余弦值為【點睛】本題考查立體幾何中直線與平面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角,正確求解法向量是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.19（1）；（2）投入3艘型游船使其當日獲得的總利潤最大【解析】（1）首先計算出在，內(nèi)抽取的人數(shù)，然后利用超幾何分布概率計算公式，計算出.（2）分別計算出投入艘游艇時，總利潤的期望值，由此確定當日游艇投放量.【詳解】（1）年齡在內(nèi)

20、的游客人數(shù)為150，年齡在內(nèi)的游客人數(shù)為100；若采用分層抽樣的方法抽取10人，則年齡在內(nèi)的人數(shù)為6人，年齡在內(nèi)的人數(shù)為4人.可得.（2）當投入1艘型游船時，因客流量總大于1，則（萬元）.當投入2艘型游船時，若，則，此時；若，則，此時；此時的分布列如下表：2.56此時（萬元）.當投入3艘型游船時，若，則，此時；若，則，此時；若，則，此時；此時的分布列如下表：25.59此時（萬元）.由于，則該游船中心在2020年勞動節(jié)當日應投入3艘型游船使其當日獲得的總利潤最大.【點睛】本小題主要考查分層抽樣，考查超幾何分布概率計算公式，考查隨機變量分布列和期望的求法，考查分析與思考問題的能力，考查分類討論的數(shù)

21、學思想方法，屬于中檔題.20 (1)見解析(2) 【解析】（1）設(shè)EC與DF交于點N，連結(jié)MN，由中位線定理可得MNAC，故AC平面MDF；（2）取CD中點為G，連結(jié)BG，EG，則可證四邊形ABGD是矩形，由面面垂直的性質(zhì)得出BG平面CDEF，故BGDF，又DFBE得出DF平面BEG，從而得出DFEG，得出RtDEGRtEFD，列出比例式求出DE，代入體積公式即可計算出體積【詳解】（1）證明：設(shè)與交于點，連接，在矩形中，點為中點，為的中點，又平面，平面，平面.（2）取中點為，連接，平面平面，平面平面，平面，平面，同理平面，的長即為四棱錐的高，在梯形中，四邊形是平行四邊形，平面，又平面，又，平面，.注意到，.【點睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法分割法、補形法、等體積法. 割補法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進行解決等積法：等